›
›

Tóm tắt Luận văn Về một số lớp bất phương trình hàm

Download
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  
  
ĐINH THÁNH ĐUA  
VỀ MỘT SỐ LỚP  
BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM  
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp  
Mã số: 60.46.01.13  
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC  
Đà Nẵng – Năm 2016  
Công trình được hoàn thành tại  
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN  
Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu  
Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu  
Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt  
nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp  
tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.  
Tìm hiểu luận văn tại:  
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng  
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng  
1
MỞ ĐẦU  
1. Lý do chọn đề tài  
Cùng với phương trình hàm, bất phương trình hàm là dạng toán  
thường có mặt trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và  
Olympic toán quốc tế. Đây là những dạng toán thường là rất khó.  
Những dạng toán tìm các hàm số thỏa mãn những bất đẳng thức  
hàm cho trước được xem là những bài toán giải bất phương trình  
hàm.  
Lý thuyết và các bài giảng về bất phương trình hàm sẽ được đề  
cập sâu hơn ở các giáo trình cơ bản bậc đại học. Tuy nhiên, các tài  
liệu về bất phương trình hàm như là một chuyên đề chọn lọc cho  
giáo viên và học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông, ngoài tài  
liệu [3], vẫn chưa có nhiều, còn chưa được hệ thống theo dạng toán  
cũng như phương pháp giải.  
Năm 2011, luận văn thạc sĩ [2] (cùng người hướng dẫn khoa học  
luận văn này) đã được bảo vệ, chủ yếu đề cập đến một số dạng bất  
phương trình hàm cơ bản, tương tự như những dạng phương trình  
hàm Cauchy. Nhiều dạng toán tổng hợp khác, liên quan đến bất  
phương trình hàm chưa được đề cập. Luận văn [2] cũng chưa khảo  
sát các dạng toán liên quan trên tập số nguyên.  
Tiếp nối hướng nghiên cứu ấy, luận văn này tiếp tục khai thác  
các dạng tổng hợp khác của các bài toán giải bất phương trình hàm.  
Các dạng toán liên quan trên tập số nguyên cũng sẽ được luận văn  
nghiên cứu. Nhiều phương pháp giải các bài toán khó trong các đề  
thi học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế đã được đề cập.  
2
Do đó, đề tài là có cơ sở khoa học và mang tính thực tiễn đối với  
chương trình toán học phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán,  
phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp.  
2. Mục tiêu nghiên cứu  
Đề tài sẽ đề cập đến một số lớp bất phương trình hàm trên tập số  
thực và trên tập số nguyên, cùng với những áp dụng của chúng trong  
việc giải nhiều dạng toán khó, thường xuất hiện trong các đề thi học  
sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế. Nhiều dạng toán và các  
phương pháp giải khác nhau sẽ được trình bày trong luận văn.  
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu  
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu  
Một số lớp bất phương trình hàm trên tập số thực và tập số  
nguyên.  
3.2. Phạm vi nghiên cứu  
Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.  
4. Phƣơng pháp nghiên cứu  
Từ các tài liệu sưu tầm được, dưới sự định hướng của người  
hướng dẫn khoa học, luận văn sẽ đề cập đến một số lớp bất phương  
trình hàm trên tập số thực và trên tập số nguyên, cùng với những áp  
dụng của chúng.  
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài  
Với mục đích nghiên cứu nêu trên, việc nghiên cứu của luận văn  
là có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên  
ngành Phương pháp Toán sơ cấp.  
Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho giáo viên,  
học sinh và bạn đọc quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.  
3
6. Cấu trúc luận văn  
Với mục đích nêu trên, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu  
tham khảo theo quy định, nội dung chính của luận văn được chia  
thành 3 chương sau đây:  
Chương 1: Một số dạng bất phƣơng trình hàm  
Nội dung chương này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất  
phương trình hàm một biến và nhiều biến tự do, cùng một số định lý  
và hệ quả có liên quan, áp dụng cho việc giải các bài tập cụ thể.  
Chương 2: Một số hệ bất phƣơng trình hàm dạng tuyến tính  
Chương này ta chủ yếu trình bày các định lý và hệ quả liên  
quan, được xem như những bài tập dạng tổng quát của hệ bất phương  
trình hàm tuyến tính, từ đó có thể giải được các bài tập cụ thể.  
Chương 3: Một số bất phƣơng trình hàm trên tập số nguyên  
Nội dung của chương này là trình bày một số bài toán trên tập số  
nguyên và các phương pháp giải đặc trưng trên tập số nguyên.  
4
CHƢƠNG 1  
MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM  
Nội dung chương này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phương  
trình hàm nhiều biến tự do và các bài toán về bất phương trình hàm  
một biến số.  
1.1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO  
Bài toán 1.1. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các  
điều kiện sau:  
(i) f (x y) f (x) f (y)  
(ii) f x 0  
x  
,
x, y  
;
,
.
   
Bài toán 1.2. Cho trước a
. Xác định các hàm số f x thỏa  
   
mãn đồng thời các điều kiện sau:  
(i) f x y f x f y  
,
x, y  
;
   
   
(ii) f x ax  
   
,
x  
.
Bài toán 1.3. Cho trước a 0 . Xác định các hàm số f x thỏa  
   
mãn đồng thời các điều kiện sau:  
(i) f x y f x f y  
     
,
x, y  
;
x
(ii) f x a  
   
,
x  
.
Bài toán 1.4. Xác định các hàm số f :U thỏa mãn đồng thời  
các điều kiện sau:  
(i) f x y f x f y  
x, yU  
, ;  
     
(ii) f x 1x  
   
,
xU .  
5
Định lí 1.1. Nếu hàm số f :U thỏa mãn đồng thời các điều  
kiện sau  
(i) f x y f x f y  
     
x, yU  
, ;  
(ii) f x g x  
     
xU  
, ;  
trong đó g x là hàm số cho trước khả vi tại  
0
,
g 0 1  
   
,
   
kx  
g' 0 k , thì f x e  
.
   
   
Hệ quả 1.1. Giả sử f :U thỏa mãn điều kiện (i) với mọi  
'
x, yU . Nếu  
f
khả vi tại 0, f 0 1 và f 0 k thì  
   
   
kx  
f x e  
   
xU  
, .  
Hệ quả 1.2. Giả sử  
và thỏa mãn  
F
U
là hàm xác định trên khoảng mở chứa 0  
F x y F x F y  
   
với mọi x, yU sao cho x yU . Nếu  
hàm  
trong đó  
Định lí 1.2. Nếu hàm số f :U thỏa mãn điều kiện sau  
f x y f x g y  
x, yU  
   
F
bị chặn trên bởi một  
G
khả vi tại 0 và thỏa mãn G 0 1, thì F x kx  
     
,
xU  
,
k
là một hằng số.  
,
,
     
trong đó g x là hàm số cho trước khả vi tại  
0
,
g 0 1  
   
,
   
g' 0 k , thì mọi nghiệm của bất phương trình hàm trên đều có  
   
kx  
dạng f x Ce  
,
C
là hằng số.  
   
kx  
kx  
Hệ quả 1.3. Ta có f x e và g x e là nghiệm duy nhất  
   
   
của hệ bất phương trình hàm  
6
f x y f x g y ;  
     
     
g x y g x f y ,  
với điều kiện f 0 1  
   
,
g x là khả vi tại 0, g 0 1 và g' 0 k  
       
.
Định nghĩa 1.1. Hàm g(x) xác định trên một khoảng mở U chứa 0  
được gọi là hàm tựa bởi l tại 0 nếu tồn tại một hàm k x xác định  
   
   
'
trên U sao cho k 0 g 0  
     
,
k 0 l tồn tại và k x g x với  
   
   
mọi xU  
Hệ quả 1.4. Bất phương trình hàm  
f x y f x g y  
.
,
     
trong đó  
g
là một hàm cho trước xác định trên I với g 0 1 và là  
   
khi và chỉ khi  
hàm tựa bởi  
l 0 f  
tại , có nghiệm không âm  
lx  
e
g x trên  
   
I
và trong trường hợp này mọi nghiệm không âm  
lx  
đều có dạng f x Ce , trong đó C 0 là hằng số.  
   
Bài toán 1.5. Tìm tất cả các hàm số f x , xác định trên khoảng mở  
   
e ; , thỏa mãn hệ bất phương trình hàm sau:  
f x y f x .log f y ;  
   
   
f x x e.  
   
Bài toán 1.6. Trên khoảng mở chứa  
0
có một nghiệm của hệ bất  
phương trình hàm  
f y  
   
f x y f x .e  
   
;
2
f x x .  
   
7
Định lí 1.3. Xét bất phương trình hàm  
f x y f x g y f y g x  
,
x, yU  
,
     
     
trong đó g x là một hàm giới nội, khả vi tại 0, g 0 1 và  
     
g' 0 k . Thế thì f x 0 là hàm số duy nhất thỏa mãn bất  
     
phương trình đã cho, với điều kiện  
f x  
   
lim  
x0  
0  
.
x
Bài toán 1.7. (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 1998) Chứng minh rằng  
không tồn tại hàm số f :thỏa mãn:  
f 2 (x) f (x y) f (x) y  
,
(1.1)  
với mọi cặp số thực dương x, y.  
Bài toán 1.8. (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 2008) Tìm tất cả các hàm  
f :thỏa mãn:  
f (x y2 ) (y 1) f (x)  
,
(1.5)  
với mọi cặp số thực x, y.  
Bài toán 1.9. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2013) Cho hàm số  
f
xác định trên tập  
và nhận giá trị trong tập  
thỏa mãn đồng  
thời các điều kiện sau:  
(i) f (x) f (y) f (xy) với mọi x, y  
;
(1.8)  
(1.9)  
(ii) f (x y) f (x) f (y) với mọi x, y  
(iii) tồn tại một số hữu tỉ a 1 sao cho f (a) a.  
;
(1.10)  
Chứng minh rằng f (x) x với mọi x  
.
8
Bài toán 1.10. Tìm tất cả các hàm số f :thỏa mãn đồng thời  
các điều kiện:  
(i) f (x 1) f (x) 1 với mọi x;  
(ii) f (xy) f (x) f (y) với mọi x, y.  
(1.13)  
(1.14)  
Bài toán 1.11. (Olympic Toan Liên Bang Nga, 2000) Tìm tất cả các  
́
hàm số  
f :  
thỏa mãn điều kiện  
:
f (x y) f (y z) f (z x)3f (x 2y 3z), x, y, z.(1.18)  
Bài toán 1.12. Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn các điều  
kiên sau:  
̣
f (x y) f (x) f (y), x, y;  
f (x) f (0), x.  
(1.21)  
(1.22)  
Bài toán 1.13. (Olympic Toꢀn châu ꢁ Thꢀi Bꢂnh Dương, 1994) Tìm  
tât ca cac ham sô  
f : thỏa mãn các điều kiện sau:  
́
́
̉
́
̀
f (x) f (y) 1f (x y), x, y;  
f (x y) f (x) f (y), x, y;  
f (x) f (0), x(0;1);  
(1.23)  
(1.24)  
(1.25)  
(1.26)  
f (1) 1; f (1)  1.  
Bài toán 1.14. Cho  
k
là số thực dương . Tìm tất cả các hàm số  
f :thỏa mãn điều kiện: Vơi moi  
̣
̣
số thưc x, y, z thì  
́
3
f (xy) f (yz) f (zx) k[ f (x) f (yz) f (y) f (zx) f (z) f (xy)]   
.
4k  
(1.28)  
9
Bài toán 1.15. (Học sinh giỏi Việt Nam , 1991) Tìm tất cả các hàm  
số  
f :thỏa mãn điều kiện:  
1
1
1
f (xy) f (xz) f (x) f (yz) , x, y, z.  
(1.31)  
2
2
4
Bài toán 1.16. (Toꢀn học vꢃ tuꢄi trꢅ sꢆ 435 - 2014) Tìm tất cả các  
hàm số f , g : thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:  
f (x) 2g(x) g(y) 4y, x, y;  
f (x)g(x) 33x2, x.  
(1.34)  
(1.35)  
Bài toán 1.17. (Cuôc  
cả các hàm số f , g:thỏa mãn các điều kiện sau:  
(i) 2 f (x) g(x) f (y) y, x, y  
(ii) f (x)g(x) x 1, x  
̣
thi toan vung Flanders nươc Bi, 1999) Tìm tất  
́ ̀ ́  
̉
;
(1.36)  
(1.37)  
.
Bài toán 1.18. Tìm các hàm số f :[0;1]thỏa mãn điều kiện sau  
x y 2 f (x) f (y) x y , x, y[0;1].  
(1.39)  
Bài toán 1.19. (Thi học sinh giỏi Toán Rusia) Tồn tại hay không  
hàm số f :thỏa mãn điều kiện:  
f (x y) sin x sin y 2.  
(1.44)  
Bài toán 1.20. Gọi  
X
là tập tất cả các số thực lớn hơn  
1
. Tìm tất cả  
các hàm số  
f
xác định trên tập  
X
sao cho  
1
1
f (xa yb ) ( f (x))4a ( f (y))4b .  
(1.45)  
Với mọi x 1, y 1 và mọi số thực dương a, b.  
10  
Bài toán 1.21. (Thi học sinh giỏi Trung Quꢆc, 1993) Cho hàm số  
f :thỏa mãn:  
f (xy) f (x) f (y)  
với mọi x, y 0. Chứng minh rằng với mọi x 0 và n
thì  
f (xn ) f (x) f (x2 ) 3 f (x3)  n f (xn )  
(1.48)  
(1.47)  
.
Bài toán 1.22. Tìm tất cả các số a 0 sao cho tồn tại hằng số  
K 0 và hàm f :thỏa mãn:  
f (x) f (y)  
x y  
2
a
f  
K x y .  
2
Bài toán 1.23. Cho hàm số f :[0;1]thỏa điều kiện:  
(i) f (x y) f (x) f (y) ; x, y, x y[0;1]  
;
(ii) f (x) 0, x[0;1]  
(iii) f (1) 1.  
;
Chứng minh rằng f (x) 2x, x[0;1].  
Bài toán 1.24. Cho số a 1 và hàm số f :thỏa mãn điều  
kiện:  
n
1ak f (x ky) f (x ky) 1, nvà x, y. (1.54)  
*
k1  
Xác định hàm số f (x).  
Bài toán 1.25. Tìm tất cả các hàm số f :thỏa mãn đồng thời  
các điều kiện sau:  
(i) f (x y) f (x) f (y), x, y;  
f (x)  
(1.57)  
(1.58)  
(ii) lim  
a  
(
a 0 ), x
  
.
x0  
x
11  
Bài toán 1.26. Tìm hàm số f :thỏa mãn điều kiện sau:  
f (x) f (y) 2 x y k , x, y, k và k 3  
.
(1.59)  
Bài toán 1.27. Tìm các hàm số f , g :thỏa mãn điều kiện:  
f (y) f (x) g(x)(x y) M x y 2a  
,
(1.60)  
với mọi x, yvà M, a là các số dương.  
Bài toán 1.28. Tìm tất cả hàm số f :thỏa mãn các điều kiện:  
(i)  
f (x y) f (x) f (y)  
,
x, y  
;
(1.63)  
(1.64)  
(ii)  
f (x) ex 1, x  
.
Bài toán 1.29. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f :  
các điều kiện:  
(i) f (0) 0  
(ii) f (x y) f (x) yf ( f (x))  
1.2. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN SỐ  
;
(1.68)  
(1.69)  
,
x, y  
.
Bài toán 1.30. (Toán học và tuꢄi trꢅ tháng 6/1995) Tìm các hàm số  
liên tục f :[0;1]thỏa mãn điều kiện:  
f (x) 2xf (x2 ), x[0;1]  
.
(1.73)  
Bài toán 1.31. Cho hàm số  
điều kiện:  
f
xác định trên tập số thực  
thỏa mãn  
9
4
4
3
3 f (x) 3 f (x)   
f
x 1, x  
.
(1.82)  
Tìm số thực  
a
lớn nhất để có: f (x) a, x  
.
12  
Bài toán 1.32. Cho hàm số f :thỏa mãn:  
*
f (x) f (q) m(x q)2, m, qvà x  
.
Chứng minh  
f
là hàm hằng.  
Bài toán 1.33. Tìm tất cả các hàm số f :[1;) [1;) thỏa mãn  
các điều kiện:  
(i) f (x) 2(1x), x[1;)  
(ii) xf (1x) f 2 (x) 1, x[1;)  
Bài toán 1.34. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2003)  
;
.
Đặt F {f :f (3x) f ( f (2x))x, x}  
Tìm giá trị lớn nhất của sao cho với mọi f F ta luôn có  
f (x) x  
Bài toán 1.35. (Thi học sinh giỏi Belarus, 1997) Cho hàm số  
.
.
f :thỏa mãn:  
f (2x) x f ( f (x)), x  
.
Chứng minh rằng f (x) x, x  
.
Bài toán 1.36. (Thi học sinh giỏi Trung Quꢆc, 1998) Cho hàm số  
f :thỏa mãn các điều kiện:  
x
   
(i) f 2 (x) 2x2 f  
, x  
;
   
2
   
(ii) f (x) 1, x(1;1)  
.
x2  
Chứng minh rằng f (x) , x  
.
2
13  
CHƢƠNG 2  
MỘT SỐ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM  
DẠNG TUYẾN TÍNH  
Chương này ta chủ yếu trình bày các định lí, bổ đề và hệ quả liên  
quan, được xem như những bài tập dạng tổng quát, từ đó có thể giải  
được các bài tập cụ thể. Các kiến thức trong chương được tham khảo  
trong các tài liệu [1], [2], [3].  
Ta xét các hệ bất phương trình hàm dạng tuyến tính, với các dạng  
tổng quát sau đây:  
f a x f x , x;  
   
- Dạng 1:  
- Dạng 2:  
- Dạng 3:  
- Dạng 4:  
f b x f x , x.  
   
f a x f x , x;  
   
f b x f x , x.  
   
f ax f x , x;  
   
f bx f x , x.  
   
f ax f x , x;  
   
f bx f x , x.  
   
trong đó a, b, , là các số thực cho trước.  
Chú ý rằng, nếu f a f b , thì hệ bất phương trình hàm  
,
     
dạng 1 trở thành bất phương trình hàm Cauchy cổ điển  
f x y f x f y  
     
,
x, y  
.
Trước hết, ta nhắc lại rằng, một tập hợp  
M
trù mật trong tập số  
thực  
nếu như trong mọi lân cận của một điểm tùy ý của tập  
đều có ít nhất một điểm của tập  
là tập trù mật trong tập  
M
. Chẳng hạn, tập  
các số hữu tỷ  
.
14  
Tính chất sau đây là một kết quả quen thuộc (Định lí Kronecker),  
có thể tìm thấy chứng minh ở các tài liệu lý thuyết cơ bản:  
“Nếu  
a
và  
b
là các số thực không thông ước với nhau, thì tập  
”.  
A ma nb ; m, ntrù mật trong  
Hơn nữa, ta có thể chứng minh được các kết quả sau đây  
Bổ đề 2.1. Giả sử a, bvà a 0 b là các số cho trước. Ký hiệu  
A ma nb ; m, n  
.
b
1) Nếu , thì tập  
A
trù mật trong  
.
a
b
2) Nếu , thì tồn tại d 0 sao cho: A kd ; k  
.
a
Bổ đề 2.2. Giả sử a, bvà 0 a 1b là các số cho trước. Ký  
hiệu  
m n  
M a b ; m, n  
.
logb  
loga  
1) Nếu  
2) Nếu  
, thì tập  
M
trù mật trong 0,  
.
logb  
loga  
k
, thì tồn tại d 0 sao cho: M d ; k   
.
Định lí 2.1. Giả sử a, b, , là các số thực cho trước thỏa mãn  
a
b
a 0 b  
,
và giả sử rằng hàm f :liên tục tại ít nhất một điểm.  
b
1) Nếu , thì  
f
thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm  
a
15  
f a x f x , x;  
   
(2.1)  
f b x f x , x.  
   
a
khi và chỉ khi f x px f 0  
     
,
x
, trong đó p :  
.
b
2) Nếu , thì tồn tại duy nhất một nghiệm là hàm liên tục  
a
f :của hệ phương trình hàm tương ứng  
f a x f x , x;  
   
(2.2)  
f b x f x , x.  
   
sao cho  
f
f0 , trong đó  
0,d  
d :min ma nb 0 ; m, n  
tồn tại, là số dương và f : 0,d là hàm liên tục cho trước thỏa  
0
mãn điều kiện  
a
f d d f 0  
0   0    
.
Hơn nữa, nếu f0 là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm  
trên đoạn 0,d  
f
.
Định lí 2.2. Giả sử a, bvà , 0 là các số cho trước thỏa  
mãn  
loglog  
a 0 b  
,
a
b
và giả sử rằng hàm f :liên tục tại ít nhất một điểm.  
b
1) Nếu , thì  
f
thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm  
a
16  
f a x f x , x;  
   
(2.5)  
f b x f x , x.  
   
log  
a
px  
khi và chỉ khi f x f 0 e  
     
,
x
, trong đó p :  
.
b
2) Nếu , thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục  
a
f :của hệ phương trình hàm tương ứng  
f a x f x , x;  
   
(2.6)  
f b x f x , x.  
   
sao cho  
f
f0 , trong đó  
0,d  
d :min ma nb 0 ; m, n  
tồn tại, là số dương và f : 0,d là hàm liên tục cho trước thỏa  
0
mãn điều kiện  
log  
a
d
f d f 0 e  
0   0    
.
Hơn nữa, nếu f0 là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm  
trên đoạn 0,d  
f
.
Định lí 2.3. Giả sử a, b, , là các số thực cho trước thỏa mãn  
0 a 1b  
,
loga logb  
và giả sử rằng hàm f : I liên tục tại ít nhất một điểm.  
logb  
1) Nếu  
, thì  
f
thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm  
loga  
17  
f ax f x , xI;  
   
(2.8)  
f bx f x , xI.  
   
thì  
i) Trường hợp I 0,  
:
f x plog x f 1  
x 0  
, ,  
   
   
ii) Trường hợp I  ,0  
:
f x plog x f 1  
, x 0,  
   
loga  
trong đó p :  
.
logb  
2) Nếu  
, thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục  
loga  
f : I của hệ phương trình hàm tương ứng  
f ax f x , xI;  
   
(2.9)  
f bx f x , xI.  
   
sao cho  
f
f0 , trong đó  
1,d  
m n  
d :min a b 1 ; m, n  
tồn tại, lớn hơn 1 và f : 1,d là hàm liên tục cho trước thỏa  
mãn điều kiện  
0
loga  
f d   
0    
.logd f 1  
0    
.
Hơn nữa, nếu f0 là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm  
trên đoạn 1, d  
f
.
18  
Hệ quả 2.1. Giả sử a, b, , thỏa mãn các giả thiết của Định  
lý 2.1, phần 1. Nếu hàm f : ,0 0,  thỏa mãn hệ bất  
   
,
đẳng thức (2.8) và trong mỗi khoảng ,0  
0,tồn tại ít nhất  
   
một điểm mà tại đó hàm  
f
liên tục, thì  
plog x f 1 , khi x0,,  
   
f x   
   
plog x f 1 , khi x ,0 ,  
log a  
trong đó p :  
.
Chú ý 2.1. Giả sử a, b, , là các số thực cho trước thỏa mãn  
0 a 1b và  
nào thỏa mãn hệ (2.8).  
. Nếu 0I , thì không tồn tại hàm  
loga logb  
Định lí 2.4. Giả sử a, b, , là các số thực cho trước thỏa mãn  
loglog  
a 1b  
,
loga logb  
và giả sử rằng hàm f : I liên tục tại ít nhất một điểm.  
logb  
1) Nếu  
, thì  
f
thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm  
loga  
f ax f x , xI;  
   
(2.11)  
f bx f x , xI.  
   
thì  
p
i) Trường hợp I 0,  
:
f x f 1 x  
     
,
,
x 0 ,  
ii) Trường hợp I  ,0  
:
p
f x f 1 x  
    
,
x 0  
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 26 trang yennguyen 16160 Free
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Luận văn Về một số lớp bất phương trình hàm", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdftom_tat_luan_van_ve_mot_so_lop_bat_phuong_trinh_ham.pdf