Tóm tắt Luận án Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
……..….***…………
BÙI THỊ THUÝ
DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA
CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC
Hà Nội – 2017
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ -
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH Nguyễn Văn Khang
Người hướng dẫn khoa học 2: TS Trần Đình Sơn
Phản biện 1: GS. TSKH Đỗ Sanh
Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Tiến Khiêm
Phản biện 3: PGS. TS Lê Lương Tài
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Học
viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng …
năm 2017
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của luận án
Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo
dựa trên các mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt,
mô hình Maxwell và mô hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với
sự phát triển của khoa học công nghệ nói chung và cơ học nói riêng,
càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su tổng hợp,
silicone…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp
nguyên không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó
xuất hiện các mô hình đàn nhớt cấp phân số.
Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với
phần tử đạo hàm cấp phân số. Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng
đối với những biến dạng lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện.
Quy luật dao động của cơ hệ không còn đơn thuần là quy luật tuyến
tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến. Do đó các nhà khoa học cần
phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ
có đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối
ưu phục vụ nhu cầu cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương
trình vi phân mô tả đặc tính dao động phi tuyến của cơ hệ là rất cần
thiết trong kỹ thuật hiện đại.
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án
Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu các hệ dao động
cơ học được biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân
cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Cụ thể, tìm nghiệm của các
phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số hệ đàn nhớt có
chứa đạo hàm cấp phân số.
2
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu của luận án
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu
diễn bởi các phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân
số. Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark,
phương pháp số Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm
phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số hệ đàn nhớt cấp
ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất dao động mới của cơ hệ.
4. Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung,
phần kết luận chung và những đóng góp mới của luận án.
Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số”. Chương này giới
thiệu một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích
phân cấp phân số, mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi
tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng quan về đạo hàm và tích phân
cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số.
Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số bằng phương pháp số”. Chương này áp dụng hai phương
pháp số Newmark và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao
động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết
quả giữa hai phương pháp số..
Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến
cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”.
Trong chương này, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều
kiện ổn định của nghiệm dừng dựa trên lý thuyết Lyapunov được
khảo sát. Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu ảnh hưởng của các
tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số,
điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và
đạo hàm cấp phân số.
3
CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ
Chương 1 trình bày một số định nghĩa về đạo hàm và tích phân
cấp phân số của các tác giả khác nhau. Sử dụng định nghĩa đạo hàm
và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville, luận án đã trình
bày mối quan hệ giữa định nghĩa này với các định nghĩa khác về đạo
hàm và tích phân cấp phân số. Phần tiếp theo của chương trình bày
một số mô hình đàn nhớt cấp phân số trong các hệ dao động.
1.1. Một số kiến thức bổ trợ
Hàm Gamma
ex xs1dx, s 0
(1.12)
(1.32)
s
0
Hàm Mittag – Leffler
zk
z
, 0.
k 1
k0
Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên
n
N1
j n
t a
N
t a
Dn f t lim
f t j
.
(1.62)
a
n j 1
N
N
j0
1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số
Theo Riemann – Liouville p 0,n p n 1
t
1
dn
n p1
RDp f t
t
f d,
(1.65)
(1.66)
(1.83)
a
n
(n p)
dt
a
Theo Grünwald – Letnikov
p
N1
j p
t a
N
t a
GDp f t lim
f t j
.
a
p j 1
N
N
j0
Theo Caputo 0 n 1 p n
t
1
n p1
n
CDp f t
t
f d,
a
a
n p
4
Theo hàm biến phức
p 1
f
Dp f z
p1 d
(1.88)
2i
z
C
1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính
Đàn nhớt tuyến tính là sự hợp thành từ các mô hình: đàn hồi
tuyến tính,nhớt tuyến tính cấp nguyên và nhớt tuyến tính cấp phân số
σ
σ
c, α
E
η
σ
σ
σ
Hình 1.3. Mô hình Hình 1.4. Mô hình Hình 1.5. Mô hình
đàn hồi tuyến tính
E.D0
nhớt tuyến tính cấp nhớt tuyến tính cấp
nguyên .D1
phân số
c.D
t
1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigt cấp phân số (hình 1.6 )
Phương trình vi phân chuyển động
mD x t kx t F t .
(1.107)
t
F t
x t
F t
x t
F t
x(t)
x1
x1
k1
k
x2
x2
k
k2
c,α
c,α
c,α
Hình 1.6. Mô hình
Kelvin – Voigt
Hình 1.8. Mô hình
Hình 1.10. Mô hình
tuyến tính tiêu chuẩn
Maxwell
1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (hình 1.8)
Phương trình vi phân chuyển động
cm
k
c
D D2x t cD x t F t D F t . (1.113)
t
t
t
t
k
5
1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (hình 1.10)
Phương trình vi phân chuyển động
cmD k mD2x t k cD x t k k x t
2
t
1
t
1
t
1 2
(1.119)
cD F t k k F t .
2
t
1
1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân
số
x1
m1
x
c1
m
x2
u
m2
z
k
c1,α
c2,α
k
c2
u
Hình 1.12. Mô hình ô tô
Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô
Ví dụ 1. Phương trình vi phân dao động của ô tô (hình 1.12)
Gọi x và u là dịch chuyển của vật và bánh xe. Giả thiết độ cứng
của lót trục có thể được biểu diễn bằng một lò xo tương đương với
độ cứng k. Phương trình vi phân dao động của ô tô
k
c
k
kc
c
k
kc
c2
m
m
mc2
m
m
mc2
(1.128)
Ví dụ 2. Phương trình vi phân dao động của giá treo ô tô (hình 1.14)
Gọi x1, x2 và u là dịch chuyển của các vật và bánh xe. Ta có
phương trình vi phân dao động
cc
c
k
cc
kc1
x2
x2
t
m
m2
m2
m2
m m2
m1m2
1
1
c2
k
cc
kc1
D 1u
u
Du
u.
(1.138)
t
t
m2
m2
m m2
m m2
1
1
6
1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến
Fn
F
v
x
x
Hình 1.16. Mô hình cổ điển
Hình 1.17. Mô hình mới
Lực đáp ứng của hệ đàn nhớt cổ điển có dạng
Fn kx cx
(1.139)
Với các vật liệu mới, lực đáp ứng có chứa đạo hàm cấp phân số
c x Dp xb x
(1.140)
F kx
v
Trong đó:
- Các hệ số: k,c,
là các hệ số của vật liệu.
- Các hàm điều chỉnh c x ,b x là hàm của x với c 0 b 0 1
.
Hàm b x để giải thích tác động của lực cản nhớt trong trường hợp
biến dạng lớn.
1.5. Kết luận chương 1
Chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của
đạo hàm và tích phân cấp phân số. Đồng thời cũng trình bày các mô
hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và các mô hình đàn nhớt cấp
phân số phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng quan về đạo hàm
và tích phân cấp phân số.
CHƯƠNG 2. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA HỆ CẤP BA CÓ
CHỨA ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
Shimizu và Zhang [74] đã mở rộng phương pháp Newmark và
Dương Văn Lạc [4] đã mở rộng phương pháp Runge – Kutta để tính
toán dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp hai
có chứa đạo hàm cấp phân số. Trong chương này, luận án phát triển
7
ý tưởng trong các tài liệu [74] và [4] trình bày thuật toán tính toán
dao động của hệ được mô tả bằng phương trình vi phân cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số.
2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực
cấp ba
2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark
Ta xây dựng phương pháp giải hệ phương trình vi phân cấp ba
dựa trên phương pháp Newmark giải hệ phương trình vi phân cấp hai
Trong đó véc tơ trạng thái của hệ ở thời điểm tn1 tn h được suy
ra từ véc tơ trạng thái đã biết ở thời điểm tn qua các khai triển
Taylor của dịch chuyển, vận tốc và gia tốc
qq
q
q
(2.14)
1
qqq
q
q
(2.15)
2
h2
1
6
qn1 qn hqq
q
q
(2.16)
2
2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số
2.1.4.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 0 p 1
Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số
RDpx t cx t f t
0 p 1
(2.25)
0
trong đó a,b,c là các hằng số.
Kết quả tính toán của hệ dao động được trình bày trong công bố số 1.
Ví dụ 2. Lấy các số liệu
3
p 0.5, a 1.3, b 0.5, c 0.25, f sin t
, h 0.01
.
Ta có phương trình vi phân dao động:
D1/2x t 0.25x 0
(2.45)
0
8
Với các điều kiện
đầu x 0 0,
Ta có đồ thị dao
động hình 2.2.
Hình 2.2 cho thấy
dao động của hệ có
dạng dao động tuần
hoàn.
Hình 2.2. Dịch chuyển theo thời gian của
hệ dao động cấp ba (2.45)
2.1.4.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số p 1 p 2
Xét phương trình vi phân dao động cấp phân số
f t
1 p 2
(2.47)
trong đó a,b,c là các hằng số.
RDp x t
Áp dụng quy tắc hợp thành ta có
tại thời điểm t tn
0
n
1
RDp x t
I In1 In
(2.54)
0
n
0
2 p
Trong đó
x 0 x
(2.51)
(2.56)
I 1 p
0
tnp
tn
p1
2
h
hp1
In1
p1
2
,
n 2.
p1
2 t
t ih
i1
n
n
h2 p
In
x x
n1
x
n
h2
2 p 3 p
h
(2.59)
3 p
2
6
Thay phương trình (2.59) cùng các công thức Newmark của
9
và vào (2.47) ta tính được giá trị của
như sau
xn
1
h3
h p
h
1
a
b
c x f t a
I I
n1
n
n
0
4 p
2 p
1
1
1
1
xn1
x
h3
h2 p
4 p
h2
2 h
6
h2
h
a
xn1
x
2
6
h
1
b
xn1
1 xn1
1 h
2)
2
6
2
3
Ví dụ 5. Lấy các số liệu p 3 2,a 1,b 1,c 1, f sin t
.
Ta có phương trình vi phân dao động:
3
t
(2.65)
Với các điều kiện
ban đầu x 0 0,
Đồ thị dao động
được biểu diễn trên
hình 2.5 có dạng dao
động tuần hoàn theo
thời gian.
Hình 2.5. Dịch chuyển theo thời gian của
hệ dao động cấp ba (2.65)
Ví dụ 6. Lấy các số liệu
. Ta
p 3 2,a 10,b 1,c 10, f 5sin t
có phương trình vi phân dao động
sin t
(2.66)
10
Các điều kiện ban
đầu x 0 0,
.
Với các giá trị khác
nhau của , ta có đồ
thị dao động hình
2.6. Từ hình 2.6 cho
thấy khi tần số lực
kích động tăng thì
biên độ dao động
giảm.
Hình 2.6. Dịch chuyển theo thời gian của
hệ dao động cấp ba (2.66)
2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động
lực cấp một
2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta
Xét hệ phương trình vi phân dao động cấp một
y f ,y
t0 t T
0
(2.70)
(2.72)
y t y
0
yi1
.
Tính gần đúng giá trị y t
bởi
i1
1
yi1 yi k 2k 2k k ,
4
1
2
3
6
k hf t ,y ;
i
1
i
h
1
k2 hf ti ,yi k1 ;
2
2
1
Với
(2.73)
h
k3 hf ti ,yi k2
;
2
2
k hf t h,y k .
3
4
i
i
2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số
11
2.2.2.1. Phương trình vi phân dao động cấp phân số
p 0 p 1
Xét dao động của hệ cấp ba được mô tả bởi phương trình
RDpx t cx t F t
0 p 1
(2.74)
0
Trong đó a,b,c là những hằng số.
Đặt y t x t , z t x
(2.75)
Phương trình (2.74) đưa được về hệ phương trình cấp một sau
y ,
z ,
(2.76)
(2.80)
s t b RDp y t cy t F t
0
Áp dụng quy tắc hợp thành
t
y 0
y
d
p
1
RDp y t
t p
,
0
1 p
1 p
t
0
t
y
Sau khi tích phân từng phần,
d
p
đưa được về tích phân
t
t
0
t
1 p d
)d
(2.82)
I t
g (
xác định
t
0
0
Xấp xỉ tích phân I t bởi công thức hình thang.
i
i2 h
h
I t
g g
j j1
g t , i 1
(2.86)
i1
i
2
t
t
t
i
i
i
2
j0
Khi đó, hệ phương trình (2.76) trở thành
q f ,q
(2.88)
(2.89)
T
T
q y, z,s ;
f f , f , f
;
Trong đó
3
1
2
f z t ,
1
f s t ,
(2.90)
2
z 0 t1 p I t
1
f as t b
y 0 t p
cy t F t .
3
1 p
1 p
12
Ví dụ 8. Lấy các số liệu như ví dụ 2 (trang 7).
Ta có đồ thị dao
động hình 2.9. So
sánh ví dụ 2 và ví dụ
8 ta thấy: hình 2.2
(sử dụng phương
pháp Newmark) và
hình 2.9 (sử dụng
phương pháp Runge
– Kutta) có sự phù
Hình 2.9. Dịch chuyển theo thời gian của
hệ dao động cấp ba (2.45)
hợp giữa các kết quả
được tính toán.
2.2.2.2. Phương trình vi phân dao động cấp phân số
p 1 p 2
Xét dao động của hệ cấp ba được mô tả bởi phương trình
F t
1 p 2
(2.96)
Trong đó a,b,c là những hằng số.
Từ (2.75), phương trình vi phân cấp ba (2.96) đưa được về hệ
phương trình vi phân cấp một
y ,
z ,
(2.98)
s RDp y t bz t cy t F t .
0
RDp y t
Áp dụng quy tắc hợp thành đối với
với 1 p 2
0
y 0
y
RDp y t
t p
t
p1 d,
0
1 p
2 p
2 p
t
0
(2.100)
t
Tích phân
p1 d đưa được về tích phân xác định
t
0
13
t
t
2 p d
)d
(2.102)
(2.106)
I t
g (
t
0
0
Xấp xỉ tích phân I t bởi công thức hình thang.
i
i2 h
h
I t
gt
g
g t , i 1
i1
j
j1
i
2
t
t
i
i
i
2
j0
Khi đó, hệ phương trình (2.96) trở thành
q f ,q
(2.108)
(2.109)
T
T
Trong đó q y, z,s ;
f f , f , f
;
3
1
2
f z t ,
1
f s t ,
2
s 0 t2 p I t
(2.110)
1
f3 a
1 p y 0 t p z 0 t1 p
2 p
2 p
bz t cy t F t .
Ví dụ 10.
Lấy các số liệu như
ví dụ 5 (trang 9). Từ
hình 2.5 ( sử dụng
phương
Newmark) và hình
2.11 (sử dụng
pháp
phương pháp Runge
– Kutta), ta nhận
thấy có sự phù hợp
giữa các kết quả
được tính toán.
Hình 2.11. Dịch chuyển theo thời gian của
hệ dao động cấp ba (2.65)
14
Ví dụ 11. Lấy các số liệu như ví dụ 6 (trang 9).
Với các giá trị
khác nhau của
, ta có đồ thị
dao động (hình
2.12). Từ hình
2.6 và hình 2.12,
ta thấy có sự phù
hợp giữa các kết
quả được tính
toán thông qua
hai phương pháp
Hình 2.12. Dịch chuyển theo thời gian của
hệ dao động cấp ba (2.66)
số.
2.3. Kết luận chương 2
Nhóm nghiên cứu của GS.Nguyễn Văn Khang (Trường Đại học
Bách Khoa Hà Nội) đã phát triển các phương pháp số Newmark và
Runge – Kutta xây dựng các thuật toán số giải hệ phương trình vi
phân có chứa đạo hàm cấp phân số. Một số kết quả đã được trình bày
trong các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [5] và [6].
Trong chương này, dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân
Newmark và định nghĩa đạo hàm cấp phân số của Riemann –
Liouville, một thuật toán số được phát triển để tính toán đáp ứng
động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Dựa trên ý
tưởng của phương pháp Runge – Kutta, xây dựng một thuật toán giải
phương trình vi phân cấp ba của hệ có chứa đạo hàm cấp phân số.
Đối với phương pháp Runge – Kutta, ta biến đổi phương trình vi
phân dao động cấp ba có đạo hàm cấp phân số về hệ ba phương trình
15
vi phân cấp một. Do đó, phương pháp Runge – Kutta được tính toán
và lập trình trên phần mềm Matlab thuận tiện hơn so với phương
pháp Newmark. Qua các thí dụ tính toán trong nhóm nghiên cứu của
tác giả nhận thấy hai phương pháp này cho kết quả chính xác tương
đương nhau.
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỘNG HƯỞNG CỦA
HỆ PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA ĐẠO HÀM CẤP
PHÂN SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN
Dao động cộng hưởng của các hệ phi tuyến cấp ba, cấp bốn và
cấp n không chứa đạo hàm cấp phân số đã được GS.Nguyễn Văn
Đạo nghiên cứu kỹ trong các tài liệu [18], [47]. Trong chương này,
luận án áp dụng phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động cộng
hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Các kết
quả tính toán bằng phương pháp tiệm cận trong một số trường hợp
được so sánh với các kết quả tính toán bằng phương pháp số.
3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi
phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số
Xét dao động của hệ Duffing được mô tả bởi phương trình vi
phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số sau
2x t x3 t Dp x t Esint,
p
(3.1)
Kết quả tính toán của hệ Duffing được trình bày trong công bố số 3.
3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba
có chứa đạo hàm cấp phân số
Xét dao động cưỡng bức của hệ phi tuyến cấp ba van der Pol
cưỡng bức được mô tả bởi phương trình vi phân
16
(3.41)
p Dp x t
Esint,
Kết quả tính toán của hệ phi tuyến cấp ba van der Pol cưỡng bức
được trình bày trong công bố số 4.
3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số
3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản
nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số
3.2.1.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận
Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi
phân cấp ba sau
cxcost 0
(3.78)
Trong đó
,
,k,h,h0,
p ,c, là những hằng số.
2
Giả thiết hệ có cộng hưởng
2 12
,
(3.79)
Áp dụng phương pháp tiệm cận tương tự như phần 3.1, ta được
biểu thức nghiệm của phương trình (3.78) có dạng
2
x acos
t
(3.114)
da
dt
3
8
1
ac
k 2h a3 accos2
sin 2
2 2
4
2
1
p
2
p
2
2
ap p1 cos
sin
h0
2
d
dt
1
3
ac
2 2 a
k 4h a3 sin 2
2a 2 2
4
4
ac
1
p
2
p
2
cos2 ap p1 cos
sin
h0
2
2
2
17
3.2.1.2. Đường cong biên độ tần số
2
3
p
2
ka02 p p cos
4
(3.118)
c2
2
3
4
p
4
2
2ha02 p p1 sin
h
0
0
2
a0
4
3.2.1.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng
Ta có điều kiện ổn định của hệ
4h0
p
2
p
2
3 k 2h a3 2a p1 cos
sin
0 (3.127)
0
0 p
3
p
2
3
3ka ka02 p p cos
22 2ha02
0
4
4
(3.128)
p
2
4
3
2
4
p p1 sin
h
2ha0
h
0
0
0
a0
a02
3.2.1.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số
Chọn bộ tham số
1,
1,
1,p 0.01, p 0.5,k 0.1,
2
h 0.05,h0 0.0025,c 0.05,
. Ta có đồ thị đường cong biên
độ tần số (hình 3.16 – 3.20).
Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi
18
Hình 3.17. Đường cong biên độ
tần số khi p thay đổi
Hình 3.18. Đường cong biên độ
tần số khi h0 thay đổi
Đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, nét đứt biểu diễn
các nghiệm không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn
định. Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số
đối với đường cong biên độ tần số. Nếu cấp phân số p 0.5 và cho
hệ số p thay đổi, các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên
hình 3.16. Nếu hệ số p 0.01 và cấp phân số p thay đổi, ta được
các đường cong biên độ tần số trên hình 3.17. Ta cũng có được các
đường cong biên độ tần số trên hình 3.18 với hệ số ma sát h0 thay
đổi. Từ các đồ thị trên, ta nhận thấy rằng khi cấp phân số p và hệ số
ma sát h0 tăng thì biên độ dao động giảm; hệ số
p tăng thì biên độ
dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi.
Với mỗi một giá trị của , ta có một phương trình vi phân dao
động tương ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính
toán dao động của hệ. Sau đó, xác định được các biên độ dao động
của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với từng giá trị
của . Trên hình 3.20, những chấm tròn là những nghiệm tìm được
thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp tốt
giữa các kết quả giải tích và kết quả số.
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
19140
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Luận án Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tom_tat_luan_an_dao_dong_phi_tuyen_yeu_cua_he_cap_ba_co_dao.pdf
