Giáo trình Toán kinh tế - Nghề: Kế toán doanh nghiệp
TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể được
phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh
thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.
2
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học và kinh tế là hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với nhau. Kinh tế
là nguồn cảm hứng cho toán học thực hiện khả năng tiềm năng của mình, còn toán
học là công cụ giúp cho việc phân tích, giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chặt
chẽ, hợp lý và hiệu quả. Toán kinh tế là việc nghiên cứu để mô tả các vấn đề kinh
tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp và từ góc độ toán học sẽ tìm ra lời giải
cho mô hình đó, từ đó giúp các nhà kinh tế tìm ra các giải pháp tối ưu cho bài toán
kinh tế.
Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập môn Toán kinh tế cho sinh viên hệ
Cao đẳng, chúng tôi đó biên soạn cuốn giáo trình này. Giáo trình không đi sâu vào
các vấn đề lý luận và các kỹ thuật toán học phức tạp mà chỉ tập trung trình bày
những nội dung cơ bản và các thuật toán chính của lý thuyết tối ưu tuyến tính.
Nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng trong giáo trình có đầy đủ các ví dụ
cụ thể mô tả từng tình huống, hướng dẫn tỉ mỉ toàn bộ quá trình giải quyết vấn đề.
Nội dung giáo trình gồm 4 chương:
Chương 1: Đại số tuyến tính
Chương 2: Phương pháp đơn hình và bài toán đối ngẫu
Chương 3: Toán xác suất
Chương 4: Thống kê toán
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng giáo trình này chắc chắn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong được bạn đọc góp ý để cuốn sách ngày càng
hoàn thiện.
Các tác giả
An Thị Hạnh
Đỗ Quang Khải
Phạm Thị Hồng
3
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU...........................................................................................................3
Tên môn học: Toán kinh tế........................................................................................6
1. Vectơ n chiều và các phép tính ..........................................................................7
1.1. Định nghĩa....................................................................................................7
1.2. Các phép toán vectơ.....................................................................................8
1.3. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính......................................................................9
2. Ma trận................................................................................................................9
2.1. Các khái niệm cơ bản...................................................................................9
2.2. Các phép tính ma trận................................................................................10
3. Định thức..........................................................................................................11
3.1. Cách xác định giá trị định thức.....................................................................11
3.2. Tính chất của định thức..............................................................................12
4. Ma trận nghịch đảo...........................................................................................13
4.1. Định nghĩa..................................................................................................13
4.2. Cách tìm ma trận nghịch đảo.....................................................................13
5. Hệ phương trình tuyến tính ..............................................................................13
5.1. Khái niệm ...................................................................................................13
5.2. Phương pháp giải.......................................................................................14
1.3. Phương án cực biên ......................................................................................21
2. Phương pháp đơn hình .....................................................................................23
2.1. Nội dung và cơ sở của phương pháp .............................................................23
2.3.Thuật toán mở rộng.....................................................................................27
3. Bài toán đối ngẫu..............................................................................................30
3.1. Định nghĩa..................................................................................................30
3.2. Sơ đồ viết bài toán đối ngẫu ......................................................................32
4
CHƯƠNG 3: TOAN XAC SUẤT...........................................................................34
1. Giải tích tổ hợp.................................................................................................34
1.1.Tính giai thừa, hoán vị................................................................................34
1.2. Tổ hợp, chỉnh hợp ......................................................................................35
2.1.Phép thử ......................................................................................................35
2.2. Biến cố........................................................................................................35
2.3. Xác suất của biến cố ..................................................................................36
3.1. Định lí cộng xác suất .................................................................................36
3.2. Định lý nhân xác suất.................................................................................37
3.3. Công thức Bernoulli...................................................................................39
CHƯƠNG 4: THỐNG KÊ TOÁN ..........................................................................44
1. Cơ sở lý thuyết mẫu .........................................................................................44
1.1. Khái niệm ...................................................................................................44
2. Ước lượng tham số...........................................................................................51
theo quy luật không – một.................................................................................52
chuẩn.................................................................................................................53
3. Kiểm định giả thuyết thống kê.........................................................................53
3.1. Khái niệm ...................................................................................................53
3.2. Kiểm định về trung bình tổng thể...............................................................53
3.4. Kiểm định về tỷ lệ tổng thể.........................................................................54
5
GIÁO TRÌNH MÔN HỌC
Tên môn học: Toán kinh tế
Mã số môn học: MH 16
Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trò của môn học:
- Vị trí: Môn học được bố trí giảng dạy sau các môn học chung.
- Tính chất: Là môn học giúp người học vận dụng tốt các môn học chuyên
môn của nghề.
- Ý nghĩa và vai trò của môn học:
+ Chương trình trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về các mô hình
kinh tế, các phương pháp tiếp cận khác nhau để lý giải sự tồn tại và vận động của
quá trình kinh tế - xã hội.
+ Trang bị cho sinh viên những kỹ năng tính toán thông qua việc giải quyết
các bài toán, dựa vào bài toán có thế tiến hành phân tích và dự báo biến động trong
nhiều lĩnh vực khác nhau như giá cả và tài chính.
+ Giúp cho sinh viên có những nhận thức cơ bản, có phương hướng đúng đắn
và tự tin trong công tác tài chính thực tiễn sau khi tốt nghiệp ra trường.
+ Ngoài ra học sinh còn có năng lực để theo học liên thông lên các bậc học
cao hơn để phát triển kiến thức và kỹ năng nghề.
Mục tiêu môn học:
- Về kiến thức:
+ Trình bày được các kiến thức cơ bản về kinh tế học và công cụ toán học để
xây dựng mô hình bài toán kinh tế;
+ Trình bày mối liên hệ định tính, định lượng giữa các biến số kinh tế trong
nhiều lĩnh vực và sử dụng các phương pháp như: Phân tích cân bằng, phân tích tối
ưu, quy hoạch tuyến tính, thống kê toán....
- Về kỹ năng:
+ Xây dựng được mô hình bài toán kinh tế và phân tích được mô hình;
+ Giải được bài toán quy hoạch tuyến tính, xác suất và thống kê toán;
+ Kiểm định được các giả thuyết thống kê toán.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có phẩm chất đạo đức, kỷ luật tốt, có ý thức tự
rèn luyện để nâng cao trình độ.
6
Nội dung môn học:
CHƯƠNG 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mã chương: TKT 01
Giới thiệu:
Trang bị cho người học những kiến thức chung về vectơ, ma trận, hướng dẫn
người học các cách xác định giá trị định thức và phương pháp giải bài toán quy
hoạch tuyến tính.
Mục tiêu:
- Trình bày được khái niệm Vectơ n chiều và khái niệm về ma trận;
- Trình bày được các phép toán vectơ;
- Trình bày được cách xác định giá trị định thức;
- Giải được hệ phương trình và bài toán quy hoạch tuyến tính;
- Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận, chính xác.
Nội dung chính:
1. Vectơ n chiều và các phép tính
1.1. Định nghĩa
- Véc tơ là một đoạn thẳng được cấu thành bởi 2 yếu tố là độ dài véctơ và hướng.
- Véctơ n chiều là một bộ gồm n số thực được sắp xếp có thứ tự và ký hiệu là
X = (x1, x2, ..., xn ) = {xj }; j = 1 - n
VD: X1 = (1, 4, 0)
X2 = (3, -1, 2, 1, 5)
- Mỗi số xj gọi là thành phần hoặc toạ độ thứ j của x.
x1 gọi là thành phần thứ 1
x2 gọi là thành phần thứ 2
...
xn gọi là thành phần thứ n
- Véctơ 0 là véctơ mà tất cả các thành phần đều bằng 0
- Véctơ đối của véctơ X là - X = (- x1, - x2, ..., - xn )
- Véctơ bằng nhau: 2 véctơ có cùng thành phần được gọi là bằng nhau khi và chỉ
khi các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một.
X = (x1, x2, ..., xn ); Y = (y1, y2, ..., yn )
Ta có X = Y <=>
x1 = y1
x2 = y2
...
xn = yn
Như vậy, 2 véctơ bằng nhau là 2 véctơ có các thành phần giống hệt nhau
7
- Véctơ hàng là n số thực được sắp xếp theo hàng.
- Véctơ cột là n số thực được sắp xếp theo cột.
- Véctơ đơn vị là véctơ có 1 thành phần bằng 1 còn các thành phần còn lại đều
bằng 0.
1.2. Các phép toán vectơ
1.2.1. Phép cộng 2 véctơ có cùng thành phần
Ta gọi tổng của 2 véctơ n chiều X và Y là một véctơ n chiều Z mà các thành
phần của nó là tổng các thành phần tương ứng của X và Y, nghĩa là:
X + Y = Z; zj = xj + yj ; j = 1 - n
Như vậy, phép cộng chỉ thực hiện được trên những véctơ có cùng số chiều
và thực chất là qui về phép cộng các số, do đó nó cũng có đầy đủ các tính chất của
phép cộng các số.
1.2.2. Phép nhân vectơ với một số
Ta gọi tích của một vectơ n chiều X với 1 hằng số k là một vectơ n chiều ký
hiệu kX mà các thành phần của nó là các thành phần tương ứng của X được nhân
lên với k, nghĩa là: kX = kxj (j = 1 n)
Thực chất của phép tính này cũng quy về phép tính trên các số.
Các tính chất cơ bản của 2 phép tính trên:
- Tính giao hoán:
X + Y = Y + X
kX = Xk
- Tính kết hợp:
(X + Y) + Z = Y + (X+ Z)
k 1 (k2 X) = k 1 k2 X = (k 1 k2 ) X
- Luật phân bố:
k (X + Y) = kY + kX
(k 1 + k2) X = k 1X + k2 X
-
-
X+ (-X) = 0
X + 0 = X
1.2.3. Tích vô hướng của hai vectơ
Ta gọi tích vô hướng của hai vectơ n chiều X và Y là một số thực được xác
định bởi tổng các tích của các thành phần tương ứng của X và Y, ký hiệu (X, Y)
(X, Y) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = x j yj
8
1.3. Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Cho một hệ thống m vectơ n chiều X1 , X2 , ..., Xm (I)
Ta có đẳng thức vectơ: k1 X1 + k2 X2 + ...+ km Xm = 0 (*) xảy ra khi ta tìm
được m số thực k1 ,k2 ,..., km
- Nếu có ít nhất một số k khác 0 thì Hệ (I) được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
- Nếu k1 = k2 =...= km thì Hệ (I) được gọi là độc lập tuyến tính.
Ví dụ: Có 4 vectơ:
X1 = (1, 7, 3)
X2 = (2, 4, -5)
X3 = (7, 9, 2)
X4 = (-1, 6, 8)
Và tồn tại 4 số thực k1 ,k2 , k3, k4. Hệ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?
LG: Ta xét: k1 X1 + k2 X2 + k3 X3 + k4 X4 = 0
k1 +2k2 + 7 k3 - k4 = 0
7k1+ 4 k2 + 9k3 + 6 k4 = 0
3k1- 5 k2 + 2k3 + 8 k4 = 0
Ta thấy, ứng với mỗi một k4 thì cho một k1,k2 ,k3. Do đó, có ít nhất 1 k 0
nên hệ phụ thuộc tuyến tính
2. Ma trận
2.1. Các khái niệm cơ bản
Bảng m và n số thực được xếp thành m hàng và n cột là ma trận cấp m n
A = (aij)mn
=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
(i= 1m)
(j = 1n)
.....................................
am1 am2 ... amn
Mỗi số nằm trong cấu thành của ma trận gọi là một phần tử của ma trận
aij là phần tử nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của ma trận
aii là đường chéo của ma trận
* Một số ma trận đặc biệt:
- Ma trận 0: Là ma trận mà mọi phần tử đều bằng 0
- Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m=n) khi đó ta gọi là ma trận
vuông cấp n
- Ma trận tam giác: Là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm về một phía của đường
chéo đều bằng 0
9
- Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo
đều bằng 0
- Ma trận đơn vị: Là ma trận đường chéo mà mọi phần tử trên đường chéo đều
bằng 1, ký hiệu E
- Ma trận chuyển vị: Nếu ta đổi hàng thành cột và cột thành hàng thì ta dược ma
trận chuyển vị của ma trận đã cho.
2.2. Các phép tính ma trận
2.2.1. Phép cộng 2 ma trận
Cho hai ma trận A, B cùng cấp m n. Tổng của hai ma trận là ma trận C cấp
m n mà các phần tử của nó là tổng các phần tử tương ứng của A và B
A = (aij)mn
B = (bij)mn
C = (cij)mn = (aij + bij) mn
Ví dụ:
A =
1
3
7
B = 2
8
1
3
4
A + B =
3
4
12
10
2.2.2. Phép nhân ma trận với một số thực
Ta gọi tích của ma trận A = (aij)mn với một số thực k là ma trận cấp m n ,
ký hiệu là k.A mà các phần tử của nó là các phần tử tương ứng của A được nhân
lên với k. Khi đó: C = (k.A) = (k. aij)mn
Ví dụ:
A =
1
3
k = 3
4
7
C = (k.A) = 3
9
12 21
* Trường hợp hiệu hai ma trận cùng cấp có thể được coi là phép cộng của một ma
trận với ma trận đối của ma trận kia: A - B = A + (-B)
2.2.3. Phép nhân hai ma trận
Cho A = (aij)mn ; B = (bjk)nk
Phép nhân A với B là một ma trận C = (cik)mp mà phần tử nằm trên hàng i
cột k của nó được xác định bởi tổng các tích của các phần tử nằm trên hàng i của
10
ma trận A (đứng trước) với các phần tử nằm trên cột k của ma trận B (đứng sau)
nghĩa là:
Cik = aij. bjk
(i= 1 m; k = 1 p)
Phép nhân ma trận có điều kiện: Số cột của ma trận đứng trước phải bằng số
hàng của ma trận đứng sau. Do đó, phép nhân hai ma trận không có tính chất giao
hoán.
Ví dụ: A =
2
1
1
;
B = 3
1
1
3
0
1
2
1
0
C = A.B =
9
3
3
10
3. Định thức
3.1. Cách xác định giá trị định thức
+) Xác dịnh giá trị định thức cấp 2
A =
a11 a12
a21 a22
= a11 . a22 - a21a12
Ví dụ:
A =
2
3
= 14 - 12 =2
4
7
+) Xác định giá trị định thức cấp 3
A = a11 a12
a21 a22
a13 = a11 a22 a33 + a23 a12a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a32
a23
a33
- a21 a12a33 - a13 a22 a31
a31 a32
Ví dụ: A =
1
2
3
-1
5
-2
= -59
4
-3
2
+) Xác định giá trị định thức cấp n
- Phần bù: Mij là phần bù của A khi ta xoá di dòng i và cột j của A
- Phần bù đại số của phần tử aij của định thức Alà: Aij = (-1)i+jMij
11
Ví dụ:
A =
0
1
1
2
2
3
4
1
0
1
5
-1
1
2
1
2
Phần bù đại số của A là A21
M21 =
1
2
3
4
1
1
5
= 3
1
2
A21 = (-1) 2+1 (3) = -3
+ Cách 1: Khai triển định thức
Ví dụ: Khai triển định thức A
A = 0.A11 + 1.A12 + 2. A13 + 1. A14 = 7 + 24 - 9 = 22
+ Cách 2: Biến đổi định thức về dạng tam giác
A =
a11 a12 ...a1n
= a11a22....ann
0
a22.. .a2n
0... ann
0
3.2. Tính chất của định thức
- Định thức của một ma trận vuông bằng định thức của ma trận chuyển vị của nó.
- Nếu có một dòng hoặc một cột gồm toàn số 0 thì giá trị định thức bằng 0
- Nếu có hai dòng hoặc hai cột giống nhau thì giá trị định thức bằng 0
- Nếu có hai dòng hoặc hai cột tỷ lệ với nhau thì giá trị định thức bằng 0
- Nhân một dòng hoặc một cột của định thức với k thì giá trị định thức gấp lên k
lần.
- Nếu ta đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột của định thức cho nhau, còn các dòng và cột
khác vẫn giữ nguyên vị trí thì giá trị định thức sẽ đổi dấu.
- Nếu ta cộng vào một dòng hay một cột của định thức với một dòng hay một cột
khác sau khi đã nhân với một số thì giá trị định thức không thay đổi.
12
4. Ma trận nghịch đảo
4.1. Định nghĩa
- Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n. Nếu hạng của ma trận bằng n thì ta nói là
ma trận A không suy biến.
- Điều kiện để có ma trận nghịch đảo: Ma trận không suy biến. Do đó, ma trận
vuông A không suy biến nếu A 0
* Định nghĩa: Ma trận A cấp n không suy biến bao giờ cũng tồn tại một ma trận
cùng cấp A-1 sao cho: A.A-1 = A-1.A = E
A-1 được gọi là ma trận nghịch đảo của A và là ma trận nghịch đảo duy nhất.
4.2. Cách tìm ma trận nghịch đảo
- Viết ma trận A/E
- Trên các hàng của ma trận này thực hiện các phép biến đổi sơ cấp 2 và 3 biến đổi
sao cho A trở thành E, khi đó E sẽ trở thành A-1
Nếu A không thể biến đổi thành E thì ma trận A suy biến và không tồn tại A-1
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
A =
1 -3
2
-1
-5
-2
1
5
0
Thành lập ma trận AE và biến đổi như sau:
1
-3 2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-3
-1
3
2
1
0
1
0
0
0
1
-2
1
5
0
-1
3
2
-5
-7
-1
1
0
0
0
1
0
-7
-3
-2
-5
-2
5
-3
-1
3
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
25/2 15/2 7/2
11/2 7/2 3/2
5/2 3/2 1/2
0
1
Như vậy: A-1 =
25/2 15/2 7/2
11/2 7/2 3/2
5/2
3/2 1/2
5. Hệ phương trình tuyến tính
5.1. Khái niệm
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn có dạng:
13
a11x1+ a12x2 +...+ a1nxn = b1
a21x1+ a22x2 +...+ a2nxn = b2
am1x1+ am2x2 +…+ amnxn = bm
Ký hiệu:
+) aij là hệ số của ẩn số xj trong phương trình i (i= 1m; j = 1n)
A = (aij)mn gọi là ma trận hệ số của phương trình
+) B = (b1, b2, …, bm) là vectơ vế phải của hệ phương trình
+) X = (x1, x2,.., xn) là vectơ ẩn số của hệ phương trình
+) A = AB là ma trận mở rộng của hệ phương trình
+) Aj là vectơ cột j của ma trận A
Hệ phương trình có thể viết dưới dạng: A.X = B X = A-1.B
- Vectơ X thoả mãn mọi phương trình của hệ gọi là một nghiệm của hệ.
- Một hệ có ít nhất một nghiệm gọi là hệ có nghiệm hay hệ tương thích.
- Một hệ có một nghiệm duy nhất gọi là hệ xác định hay hệ Cramer.
- Một hệ có hơn một nghiệm gọi là hệ vô định hay không xác định.
- Một hệ không có nghiệm gọi là hệ vô nghiệm.
5.2. Phương pháp giải
5.2.1. Phương pháp Cramer
Hệ có n phương trình n ẩn số thì hệ có nghiệm duy nhất gọi là hệ Cramer
dj
xj =
(j = 1n)
d
Trong đó: d : Định thức của ma trận hệ số
dj : Định thức có cột thứ j là cột số hạng tự do, còn tất cả các cột còn
lại như của định thức d.
Aj được suy ra từ A bằng cách thay cột j của A bằng B
Ví dụ: Giải hệ phương trình: x + y + 2z = - 1
2x - y + 2z = -4
4x + y + 4z = -2
LG: ta có:
A = 1
1
2
2
4
= 6 ; A1 = -1
1
2
2
= 6
2
4
-1
-4
-2
-1
1
1
4
14
A2 = 1 -1
2
2
4
;
= 12 ;
y = 2
A3 = 1
-1 -1 = -12
-1 -4
2
4
-4
-2
2
4
1 -2
x = 1
;
z =-2
5.2.2. Dùng phương pháp biến đổi sơ cấp
- Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột cho nhau.
- Nhân tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột của ma trận với một hằng số
khác 0.
- Nhân tất cả các phần tử của một dòng (cột) của ma trận với một hằng số khác 0
rồi cộng vào một dòng (cột) khác.
VD1: Giải hệ phương trình:
- x1 + 5 x2 + 3 x3 = 0
x1 – 4 x2 + 2x3 = 9
3x1 – 12 x2 - 2x3 = 11
Thành lập ma trận mở rộng và biến đổi như sau:
A = -1 5 3
1 -4
0
9
-1 5
0 1
3
0
-1
0
5 3
1 5
0
9
2
5
9
3 -12 -2 11
0 3 7 11
0 0 -8 -16
Ta có: -8 x3 = -16 x3 = 2
x2 = 9 - 5 x3 = -1
;
x1 = 5x2 + 3 x3 = 1
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x = (1, -1, 2)
VD2: Giải hệ phương trình:
x1 + 2 x2 + 3 x3 – x4 = 8
3x1 – x2 - 5x3 + 4 x4 = -11
6x1 + 5 x2 + 4 x3 + x4 = 13
Thành lập ma trận mở rộng và biến đổi như sau:
1 2 3 -1
8
1 2 3 -1
8
1 2 3 -1 8
A =
3 -1 -5
6 5 4
4 -11 0 -7 -14 7 -35 0 -7 -14 7 -35
1 13
0 7 14 -7 35
0 0 0
0
0
15
Như vậy, phương trình (3) bị loại khỏi hệ. Từ phương trình (2) giữ lại ẩn x2,
chuyển x3 và x4 sang vế phải làm ẩn tự do, ta được:
x2 = 5 - 2 x3 + x4
;
x1 = -2 + x3 - x4
Vậy hệ phương trình có nghiệm tổng quát:
(-2 + x3 - x4 ; 5 - 2 x3 + x4 ; x3 ; x4 )
Hệ vô định, cho các ẩn tự do những trị số tuỳ ý, ví dụ:
x3 = 1 ; x4 = 2 nghiệm cụ thể ( -3, 5, 1, 2)
16
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
Mã chương: LTTCTT 02
Giới thiệu:
Trang bị cho người học những kiến thức cơ bản về phương pháp đơn hình,bài
toán đối ngẫu, qua đó ứng dụng để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính.
Mục tiêu:
- Trình bày được phương pháp đơn hình để giải các bài toán quy hoạch
tuyến tính;
- Trình bày được bài toán đối ngẫu;
- Giải được các bài toán bằng phương pháp đơn hình;
- Viết được bài toán đối ngẫu từ bài toán gốc;
- Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận và chính xác.
Nội dung chính:
1. Các khái niệm, tính chất chung của bài toán quy hoạch tuyến tính
1.1. Một số ví dụ thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch tuyến tính
1.1.1. Bài toán khẩu phần thức ăn
Giả sử có một đội sản xuất chăn nuôi 1 loại gia súc, đội có 2 loại thức ăn I,
II. Trong 2 loại thức ăn đều có chứa 3 chất dinh dưỡng A, B, C. Số đơn vị chất
dinh dưỡng trong khẩu phần thức ăn và nhu cầu tối thiểu về số đơn vị chất dinh
dưỡng trong khẩu phần thức ăn được cho trong bảng:
DD
A
B
C
Loại TA
I
2
7
5
1
II
3
4
Nhu cầu tối thiểu 16
14
12
Biết rằng: Giá bán của một đơn vị thức ăn I là 1000đ
Giá bán của một đơn vị thức ăn II là 2000đ
Yêu cầu: Hãy xác định lượng thức ăn mỗi loại cần có trong khẩu phần thức ăn hàng
ngày để đảm bảo yêu cầu về chất dinh dưỡng (Gia súc phát triển bình thường) và
có chi phí về thức ăn là nhỏ nhất.
Gọi X1, X2 lần lượt là số đơn vị thức ăn loại I, II cần cho khẩu phần thức ăn
mỗi ngày (X1, X2 0)
17
Chi phí về khẩu phần thức ăn là:
Yêu cầu về chất dinh dưỡng A:
Yêu cầu về chất dinh dưỡng B:
Yêu cầu về chất dinh dưỡng C:
1 X1 + 2 X2
2 X1 + 7 X2
5 X1 + 3 X2
1 X1 + 4 X2
Điều kiện phải có: Hàm mục tiêu chi phí nhỏ nhất: X1 + 2 X2 Min
Yêu cầu tối thiểu về chất dinh dưỡng: 2 X1 + 7 X2 16
5 X1 + 3 X2 14
1 X1 + 4 X2 12
X1, X2 0
Giải bài toán ta sẽ tìm được X1, X2 thể hiện khối lượng thức ăn cần phải sử
dụng để vừa có chi phí tối thiểu, vừa đủ nhu cầu về dinh dưỡng cho gia súc phát
triển tốt.
1.1.2. Bài toán đặt kế hoạch sản xuất
Một nhà máy có nhiệm vụ sản xuất 2 loại sản phẩm A, B. Những sản phẩm
này được chế tạo từ 3 nguyên liệu I, II, III. Số đơn vị nguyên liệu dự trữ từng loại
và số đơn vị nguyên liệu mỗi loại để sản xuất một loại sản phẩm được cho trong
bảng:
Sản phẩm
Nguyên liệu
I
II
III
A
1
3
2
B
3
2
1
Nguyên liệu dự trữ
18
19
12
Cho biết lợi nhuận thu được trên một đơn vị sản phẩm A là 20; một đơn vị
sản phẩm B là 30. Xác định số sản phẩm mỗi loại cần sản xuất sao cho lãi được
nhiều nhất trong khuôn khổ về nguồn nguyên liệu dự trữ.
Gọi X1, X2 là khối lượng sản phẩm A, B được tạo ra: (X1, X2 0)
Lợi nhuận là: 20 X1 + 30X2 Max
Trong khuôn khổ nguyên liệu I:
1 X1 + 3 X2 18
3 X1 + 2 X2 19
2 X1 + X2 12
X1, X2 0
II:
III:
Trên đây là 2 ví dụ đơn giản để minh họa mô hình toán học các vấn đề nảy
sinh trong thực tế. Các bài toán trên có thể hiểu là bài toán tìm cực trị của một hàm
18
tuyến tính xác định trên tập hợp nghiệm của một hệ thống hỗn hợp các phương
trình và bất phương trình tuyến tính gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính .
1.2. Bài toán qui hoạch tuyến tính và các dạng đặc biệt
1.2.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính và các khái niệm
1.2.1.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính
Tìm vectơ X = xj: j = 1n thoả mãn:
aijxj = bi
aijxj bi
aijxj bi
xj 0
(i = 1, m1)
(i = m1 + 1, m2)
(i = m2 + 1, m)
(j = 1, p)
xj 0
(j = p + 1, q)
xj không có điều kiện dấu
Sao cho: f(x) = Cjxj max
(j = q + 1, n)
1.2.1.2. Một số khái niệm
- Ràng buộc: Mỗi phương trình hoặc bất phương trình trong hệ điều kiện gọi là
một ràng buộc.
- Hàm mục tiêu f(x) thể hiện mục tiêu mình cần đạt được.
- Phương án: Là một vectơ x nào đó thoả mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là
một phương án.
- Tập phương án : Là tập hợp tất cả những phương án có thể có của bài toán. Đôi
khi tập phương án người ta còn dùng với nghĩa miền ràng buộc. Ký hiệu D.
- Phương án tối ưu (phương án tốt nhất): Là một phương án mang lại cực trị cho
hàm mục tiêu hay là một phương án mà tại đó trị số hàm mục tiêu đạt cực đại hoặc
cực tiểu.
- D = : Bài toán không có phương án nên không có phương án tối ưu.
- D : Có phương án .
Có hai khả năng:
+ Không có phương án tốt nhất.
+ Có thể tìm được phương án tốt nhất.
Một bài toán có phương án tốt nhất gọi là bài toán giải được. Nếu không có
phương án tốt nhất gọi là bài toán không giải được: Trị số hàm mục tiêu không bị
chặn trên tập phương án hay nói cách khác là trị số hàm mục tiêu giảm (tăng) vô
hạn trên tập phương án.
19
1.2.2. Các dạng đặc biệt
1.2.2.1. Dạng chính tắc
Tìm vectơ X = xj: j = 1n thoả mãn:
aijxj = bi
(i = 1, m)
(j = 1, n)
xj 0
Sao cho: f(x) = Cjxj max (min)
Hay có thể viết dưới dạng ma trận với hệ ràng buộc:
A.X = B
X 0
Hệ ràng buộc gồm 2 nhóm: 1 nhóm là các ràng buộc dạng phương trình,
còn nhóm ràng buộc bất phương trình trở thành các ràng buộc về dấu đối với các
biến (mọi biến đều không âm)
* Mệnh đề: Mọi bài toán qui hoạch tuyến tính đều có thể qui về bài toán dạng
chính tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu của hàm mục tiêu trong 2 bài toán là
trùng nhau và từ phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án tối ưu của
bài toán kia.
Từ mệnh đề nhận thấy: Muốn giải được bài toán qui hoạch tuyến tính chỉ cần có
một thuật toán giải được bài toán chính tắc là xong.
* Cách đưa bài toán về chính tắc:
- Nếu ràng buộc i có dạng: aijxj bi thì đưa về phương trình bằng cách cộng vào
vế trái một biến phụ xip 0, nghĩa là thay bất phương trình bằng:
aijxj + xip = bi với xip 0
Hệ số của biến xip trong hàm mục tiêu = 0, tức là f(x) không đổi.
- Nếu ràng buộc i có dạng aijxj bi thì thay bất phương trình bằng:
aijxj - xip = bi với xip 0
- Nếu xj không có điều kiện dấu thì đặt: xj = xj’ - xj’’ với xj’ ; xj’’ 0
- Nếu xj 0 thì đổi biến: xj’ = - xj với xj’ 0 .
Ví dụ: Cho qui hoạch tuyến tính sau, hãy đưa bài toán về dạng chính tắc.
X1 - X2 + X3 = 6
2 X1 + X2 - 4 X3 1
-2 X1 + X2 + 2 X3 2
X1 0, X2 0
Với f(x) = 2 X1 - 3 X2 + 4 X3 Min
Giải:
’
”
’
”
Do X3 không có điều kiện dấu nên đặt X3 = X3 - X3 với X3 , X3 0
20
Tải về để xem bản đầy đủ
55 trang
19/04/2022
1140
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán kinh tế - Nghề: Kế toán doanh nghiệp", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_toan_kinh_te_nghe_ke_toan_doanh_nghiep.docx
