Tóm tắt Luận văn Ứng dụng hình học tính toán để xác định một miền chứa điểm cho trước
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Bên cạnh các ứng dụng như thư điện tử, lịch làm việc, ghi chú…
thì các ứng dụng chỉ đường, xem bản đồ được xem là công cụ bắt
buộc phải có trên mọi nền tảng. Vì vậy các bản đồ đóng vai trò quan
trọng trong thực tiễn và khoa học. Từ bản đồ cho ta xác định phạm vi
quốc gia, châu lục và toàn bộ trái đất... Bản đồ có thể phát hiện được
các quy luật về sự phân bố không gian của các đối tượng, hiện tượng
và những mối quan hệ tương quan giữa chúng. Bản đồ ứng dụng rất
nhiều trong thực tiễn cuộc sống.
Với sự phát triển không ngừng của công nghệ thông tin đã đưa tin
học thâm nhập sâu vào nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống, mở ra
một giai đoạn mới trong quá trình phát triển khoa học, đã có nhiều
dịch vụ bản đồ trực tuyến ra đời như Google Map của Google, Bing
Map của Microsoft. Vậy làm thế nào để phần mềm bản đồ xác định
được khu vực khi biết được vị trí của nó, tìm đường đi giữa hai vị trí
đã biết trước… Đã có nhiều phương pháp xác định khu vực khi biết
vị trí trên bản đồ. Nhưng phương pháp nào cho kết quả nhanh và
chính xác nhất? Lúc này nảy sinh vấn đề là cần có một cấu trúc dữ
liệu để hỗ trợ việc tìm khu vực trong bản đồ khi biết trước vị tr . Đ y
là bài toán luôn được các nhà khoa học c ng như các nhà ứng dụng
quan tâm.
Trong quá trình tìm kiếm và nghi n cứu các giải pháp giải quyết
bài toán xác định miền chứa điểm tương ứng với tọa độ đã biết, hình
học t nh toán là một trong những phương pháp có nhiều triển vọng
khi mà nó đang được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc
1
biệt là sử dụng các phương pháp của hình học t nh toán để tìm một
cấu trúc dữ liệu lưu trữ đồ thị hỗ trợ cho việc xác định khu vực chứa
tọa độ đã biết trước.
Do đó tôi quyết định chọn đề tài “Ứ
để x định một miền chứa điểm rướ ” làm đề tài luận văn tốt
nghiệp cao học. Như t n đề tài đã thể hiện, trong đề tài này chúng tôi
nghi n cứu l thuyết kết hợp x y dựng chương trình demo ứng dụng
các kỹ thuật của hình học t nh toán để xác định một đa giác chứa
điểm đã biết tr n đồ thị.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu
a. M c tiêu
Mục ti u của đề tài là nghi n cứu các kỹ thuật của hình học tính
toán để tìm ra giải pháp ứng dụng vào việc xác định một miền chứa
vị tr đã biết tr n đồ thị. Chỉ ra một hướng mới trong nghi n cứu và
thực nghiệm các kỹ thuật tìm kiếm tr n bản đồ.
b. Nhiệm v
Để đạt được mục tiêu trên, nhiệm vụ của chúng tôi là nghiên cứu
đề xuất giải pháp và x y dựng các chương trình thực nghiệm minh
họa để giải quyết các bài toán hình học với các giải thuật hiệu quả,
chính xác và hội tụ nhanh:
- Nghi n cứu t ng quan về hình học t nh toán.
- Nghi n cứu các kỹ thuật của hình học t nh toán mà nó có
khả năng ứng dụng để xác định khu vực trên bản đồ.
- Nghi n cứu giải thuật của hình học t nh toán và ứng dụng
vào tạo bản đồ hình thang trong đồ thị.
2
- Thử nghiệm giải thuật xác định đa giác trong đồ thị dựa
trên hình học tính toán.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối ượng nghiên cứu
- Cơ sở l thuyết của hình học t nh toán.
- Các thuật toán xác định đa giác khi biết tọa độ một điểm
tr n đồ thị.
- Các tài liệu li n quan: sách, báo, tạp ch ,…
b. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn kh của một luận văn cao học, tôi chỉ giới hạn trong
nghi n cứu các kỹ thuật hình học t nh toán để ứng dụng tìm một miền
chứa điểm cho trước trong đồ thị.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghi n cứu, chúng tôi đã sử dụng hai phương pháp
chính là nghiên cứu lý thuyết và nghiên cứu thực nghiệm.
a. i ứ thuyết
- Các tài liệu về cơ sở lý thuyết: hình học tính toán, các thuật
toán xác định một đa giác tr n đồ thị.
- Các tài liệu mô tả một số công cụ lập trình.
- Các tài liệu li n quan đến một số nghiên cứu.
b. i ứ iệm
Xây dựng chương trình thực nghiệm tính hiệu quả của các giải
thuật nghiên cứu.
5. Bố cục của luận văn
3
Báo cáo luận văn ngoài phần mở đầu và phần kết luận, được t
chức thành 3 chương ch nh:
Chương 1: Giới thiệu t ng quan về hình học t nh toán, đưa ra một
ví dụ kinh điển của hình học tính toán, giới thiệu các giai đoạn để
phát triển một thuật toán hình học tối ưu và trình bày các miền ứng
dụng của hình học tính toán.
Chương 2: Giới thiệu về cách tìm một đa giác chứa điểm biết
trước trong đồ thị, trình bày một số phương pháp ph n hoạch đồ thị
và chứng minh phương pháp ph n hoạch đồ thị thành bản đồ hình
thang để tìm hình thang chứa điểm cho trước có kết quả tìm kiếm
tương đối tốt.
Chương 3: Chương thực nghiệm. Trong chương này chúng tôi
thực hiện xây dựng chương trình ứng dụng dựa trên giải thuật tìm đa
giác chứa điểm cho trước trong đồ thị đã nghi n cứu ở chương 2.
4
CHƢƠNG 1 - TỔNGQUAN HÌNH HỌCTÍNH TOÁN
1. 1. GIỚI THIỆU
1.2. BÀI TOÁN TÌM BAO LỒI
1.2.1. Các khái niệm
1.2.1.1. Tập lồi
Một tập S trong mặt phẳng được gọi là lồi nếu và chỉ nếu với mọi
cặp điểm bất kỳ thuộc thì đoạn thẳng ̅̅ ̅ được chứa hoàn toàn
trong .
1.2.1.2. Bao lồi
Bao lồi của một tập hữu hạn của các điểm trong mặt
phẳng là đa giác lồi duy nhất mà các đỉnh là các điểm từ và chứa
tất cả các điểm của .
1.2.2. Bài toán tìm bao lồi của tập điểm hữu hạn trong mặt phẳng
1.2.2.1. Giới thiệu bài toán
Cho trước một tập gồm điểm trong mặt phẳng,
hãy tìm ra một danh sách chứa các điểm của sao cho các điểm này
là đỉnh của được liệt kê theo thứ tự chiều thuận kim đồng hồ.
Ví d :
Hình1.8. Ví dụ về tìm đa giác lồi
5
1.2.2.2. Giải quyết bài toán
Để tìm ra bao lồi của một tập điểm trong mặt phẳng, chúng tôi áp
dụng một kỹ thuật thiết kế thuật toán tiêu chuẩn có tên gọi là thuật
toán gia số và được viết ở dạng giả ngữ.
Thuật toán: Gia_so( )
Đầu vào: Một tập của các điểm trong mặt phẳng.
Đầu ra: Một danh sách chứa các đỉnh của theo thứ tự
chiều kim đồng hồ.
Các bước của thuật toán:
1. Sắp xếp các điểm theo tọa độ , kết quả là một chuỗi .
2. Th m điểm và vào danh sách , với được xem như là
điểm đầu tiên của danh sách.
3. FOR TO
4.
5.
DO Thêm vào
.
WHILE
chứa nhiều hơn hai điểm AND ba điểm
cuối cùng trong
không thực hiện rẽ phải
6.
DO Xóa điểm ở giữa trong ba điểm cuối cùng ra khỏi
.
7. Th m các điểm và
vào danh sách
, với được xem
như là điểm đầu tiên.
8. FOR DOWNTO 1
9.
DO Thêm vào
.
10.
WHILE
chứa nhiều hơn hai điểm AND ba điểm
cuối cùng trong
không thực hiện rẽ phải.
11.
DO Xóa điểm ở giữa trong ba điểm cuối cùng ra khỏi
.
6
12. Xóa điểm đầu ti n và điểm cuối cùng ra khỏi
để tránh việc
trùng lặp điểm giao nhau giữa phần bao lồi trên và bao lồi dưới.
13. Nối vào và gọi danh sách kết quả này là .
14. RETURN .
1.2.2.3. Kết luận
Chúng tôi có thể kết luận bài toán với định l sau đ y:
Định lý 1.1
Bao lồi của một tập n điểm trong mặt phẳng có thể được tính ra
trong thời gian.
1.2.3. Một số ứng dụng của bài toán tìm bao lồi
1.2.3.1. Nhận dạng
1.2.3.2. T m đườ đi ắn nhất
1.3. PHÁT TRIỂN THUẬT TOÁN HÌNH HỌC
1.3.1. Giai đoạn 1
Đ y là giai đoạn phân tích bài toán và thiết kế thuật toán sơ bộ
ban đầu. Ở giai đoạn này, chúng tôi cố gắng bỏ qua những trường
hợp suy biến sẽ làm rối loạn việc hiểu rõ về các khái niệm hình học
mà chúng tôi đang làm việc. Điều này hữu ích cho chúng tôi trong
những cố gắng ban đầu để thiết kế hoặc hiểu một thuật toán.
1.3.2. Giai đoạn 2
Giai đoạn này chúng tôi phải hiệu chỉnh sao cho thuật toán đúng
đắn ngay cả khi xuất hiện các trường hợp suy biến.
1.3.3. Giai đoạn 3
Đ y là giai đoạn thực thi thực tế. Một vấn đề khác nảy sinh trong
7
giai đoạn thực thi đó là giả thiết tính toán chính xác với số thực bị
phá vỡ. Các vấn đề về tính bền vững của thuật toán thường là một
trong những nguyên nhân gây ra sự đ vỡ của hệ thống khi thực thi
các thuật toán hình học và việc giải quyết những vấn đề này không
phải là một bài toán dễ dàng.
Giải pháp thứ nhất là sử dụng một gói số học chính xác có sẵn
(như là sử dụng số nguyên, số hữu tỉ, hoặc thậm chí là số đại số, tùy
thuộc vào dạng của bài toán), nhưng giải pháp này sẽ chậm. Giải
pháp thứ hai là điều chỉnh thuật toán để tìm ra những điểm không
nhất quán, từ đó có những hành động thích hợp để tránh làm hỏng
chương trình. Trong trường hợp này không bảo đảm rằng các thuật
toán cho ra kết quả ch nh xác, nhưng điều quan trọng là nó cho phép
thiết lập các thuộc t nh ch nh xác mà đầu ra cần có.
Việc lựa chọn giải pháp nào là tùy thuộc vào ứng dụng. Khi tốc độ
không phải là vấn đề ưu tiên thì lựa chọn gói số học chính xác. Trong
trường hợp khác, khi mà tính chính xác của kết quả không phải là quá
quan trọng thì có thể sử dụng lựa chọn thứ hai.
1.4. CÁCỨNG DỤNG CỦAHÌNHHỌCTÍNH TOÁN
1.4.1. Khoa học ngƣời máy
Lĩnh vực khoa học người máy nghiên cứu việc thiết kế và sử dụng
người máy. Các người máy được xem như là các đối tượng hình học
hoạt động trong không gian ba chiều – thế giới thực – do đó hiển
nhiên sẽ nảy sinh các vấn đề hình học ở nhiều chỗ. Bài toán đặt ra là
một người máy phải tìm ra đường đi trong một môi trường có chướng
ngại vật. Bài toán này bao gồm lập kế hoạch cho các chuyển động,
lập kế hoạch thứ tự thực hiện các nhiệm vụ con...
8
Các vấn đề hình học khác nảy sinh trong lĩnh vực thiết kế người
máy và các ô làm việc cho người máy. Hầu hết các người máy công
nghiệp là những cánh tay người máy với phần đế cố định. Những cấu
kiện được xử lý bởi cánh tay người máy phải được cung ứng sao cho
người máy có thể dễ dàng nắm được. Một vài cấu kiện có thể phải
được giữ cố định sao cho người máy có thể thao tác tr n đó. Đ y đều
là các bài toán hình học, đôi lúc có xen lẫn các yếu tố động học.
1.4.2. Các hệ thống thông tin địa lý
Một hệ thống thông tin địa lý, nói ngắn gọn theo tiếng Anh là
GIS, chứa những dữ liệu địa l như vùng lãnh th của các quốc gia,
chiều cao của các ngọn núi, nguồn của các dòng sông, các dạng thực
vật ở những vùng khác nhau, mật độ dân số hay lượng mưa. Chúng
c ng có thể lưu trữ các kiến trúc nhân tạo như là các thành phố, các
con đường, những tuyến đường sắt, đường điện hay đường ống dẫn
kh đốt. GIS có thể được sử dụng để cung cấp thông tin một cách
chính xác về những vùng đã biết và đặc biệt để tìm được thông tin về
mối liên quan giữa các dạng dữ liệu khác nhau.
Dưới đ y chúng tôi giới thiệu sơ qua một số vấn đề li n quan đến
GIS có thể giải quyết hiệu quả bằng các thuật toán hình học.
Thứ nhất tìm cấu trúc dữ liệu tốt nhất để lưu trữ dữ liệu địa lý.
Thứ hai là thông tin về độ cao trong một vài bản đồ địa hình vùng
núi thường chỉ khả dụng tại một vài địa điểm mẫu đã biết trước, còn
để xác định độ cao ở những vị trí khác thì chúng tôi phải nội suy từ
các địa điểm mẫu gần đó. Nhưng chúng tôi n n chọn những địa điểm
mẫu nào?
9
Thứ ba là việc t ng hợp các dạng dữ liệu khác nhau là một trong
những thao tác quan trọng nhất trong một GIS.
Cuối cùng là ứng dụng một phương pháp hình học t nh toán để
giải quyết bài toán.
1.4.3. Đồ họa máy tính
Các bài toán đặc trưng trong đồ họa hai chiều gồm việc xác định
sự giao nhau của các điểm ban đầu đã biết, các điểm nguyên thủy
được xác định khi trỏ chuột, hay việc xác định tập con của các
nguyên thủy nằm trong một vùng cụ thể.
Khi giải quyết các bài toán ba chiều thì các vấn đề hình học trở
nên phức tạp hơn. Bước quyết định trong biểu diễn một cảnh ba
chiều là bước loại bỏ mặt cong ẩn: xác định phần nào của cảnh có thể
nhìn thấy từ một vị trí quan sát cụ thể, hay nói cách khác, loại bỏ
những phần nằm ph a sau các đối tượng khác.
1.4.4. CAD/CAM
CAD li n quan đến lĩnh vực thiết kế sản phẩm dựa vào máy tính.
Các sản phẩm có thể khác nhau, từ bo mạch máy in, các bộ phận máy
móc hay đồ đạc, cho đến các công trình xây dựng hoàn chỉnh. Trong
tất cả các trường hợp này, sản phẩm đều là một thực thể hình học, do
đó chúng tôi hoàn toàn ti n đoán được rằng mọi loại vấn đề hình học
sẽ nảy sinh. Thật vậy, gói phần mềm CAD phải tìm ra điểm chung và
điểm riêng giữa các đối tượng, ph n tách đối tượng và các đường
biên của nó thành những hình đơn giản và hình dung ra sản phẩm
thiết kế.
CAM li n quan đến lĩnh vực sản xuất sản phẩm dưới sự trợ giúp
của máy tính. Sau khi một đối tượng đã được thiết kế và kiểm tra thì
10
nó phải được sản xuất. Gói phần mềm CAM hỗ trợ ở bước này. Một
định hướng gần đ y là thiết kế để lắp ráp. Một đáp ứng định hướng
này cho phép người thiết kế có thể kiểm tra xem thiết kế của mình có
khả thi hay không, trả lời những câu hỏi như “Sản phẩm có thể được
sản xuất dễ dàng bởi một hệ thống sản xuất thông thường hay
không?”. Các thuật toán hình học có thể trả lời cho câu hỏi dạng này.
1.4.5. Các lĩnh vực ứng dụng khác
Những lĩnh vực ứng dụng hình học t nh toán như: hóa ph n tử,
nhận dạng mẫu…
1.5. TỔNGKẾTCHƢƠNG1
Chương 1 đã giới thiệu t ng quan về sự ra đời và quá trình phát
triển của hình học tính toán, vai trò ứng dụng của nó trong khoa học
và thực tiễn; đồng thời thông qua ví dụ về bao lồi có thể hình dung
được quá trình xây dựng và tối ưu một thuật toán hình học, rút ra ba
giai đoạn phát triển một thuật toán hình học. Ở phần cuối chương
trình bày một số miền ứng dụng của hình học tính toán, nêu lên
những vấn đề hình học đặc trưng trong từng miền ứng dụng để có thể
đưa ra một cái nhìn rõ ràng hơn về vai trò của hình học tính toán
trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học máy tính.
11
CHƢƠNG 2 - TÌM ĐA GIÁC CHỨA ĐIỂM CHO TRƢỚC
TRONG ĐỒ THỊ
2.1. GIỚI THIỆU
2.2. PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH ĐA GIÁC TRONG ĐỒ THỊ
2.2.1. Phân hoạch đồ thị thành các hình thang
Cho tập gồm cạnh không giao nhau nằm trong khung giới hạn
và với giả định không có hai điểm thuộc các cạnh có cùng hoành
độ. Chúng tôi gọi các cạnh thỏa mãn điều kiện trên là một tập hợp
các cạnh nằm trong vị trí chung. Để tạo bản đồ hình thang bằng
cách tại mỗi điểm đầu và cuối của cạnh vẽ hai đường thẳng đứng mở
rộng, một đường đi l n và một đường đi xuống. Đường thẳng mở
rộng này dừng lại khi gặp một cạnh khác của hoặc gặp cạnh của .
Hình 2.5. Bản đồ hình thang
Mỗi hình thang trong có một lề dọc và đúng hai lề ngang.
Gọi lề ngang trên và lề ngang dưới là và , lề dọc
trái và lề dọc phải là và .
12
Hình 2.6. Hình thang Δ
Có năm trường hợp xác định lề trái của hình thang Δ
trong , bốn trường hợp được minh họa hình 2.6 và trường hợp
thứ năm lề trái của hình thang là lề dọc của R. Lề dọc phải
c ng được xác định tương tự như lề dọc trái.
(a)Lề trái của hình thang là một điểm vì hai cạnh và
cắt nhau.
(b)Lề trái của hình thang được vẽ như sau: từ điểm bắt đầu bên
trái của cạnh vẽ đường thẳng đứng đi xuống cắt cạnh
.
(c)Lề trái của hình thang được vẽ như sau: từ điểm bắt đầu bên
trái của cạnh vẽ đường thẳng đứng đi l n cắt cạnh
.
(d)Lề trái của hình thang được vẽ như sau: từ điểm bên phải của
cạnh thứ ba thuộc vẽ đường thẳng đứng theo hướng lên và xuống
cắt hai cạnh và .
13
Hình 2.7. Bốn trường hợp xác định lề trái của hình thang
Hai hình thang và được gọi là liền kề nếu chúng có cùng lề
dọc. Hình thang là láng giềng kề trên nếu ,
ngược lại thì là láng giềng kề dưới,
được minh họa hình 2.7.
Nếu các cạnh của tập nằm trong vị trí chung thì có nhiều nhất 4
hình thang liền kề với hình thang , minh họa hình 2.7(a). Ngược lại
thì số hình thang kề với hình thang là vô số, minh họa hình 2.7(b).
(a)
(b)
Hình 2.8. Mảnh thang liền kề
2.2.2. Tìm hình thang chứa điểm cho trƣớc
Trong phần này sẽ trình bày thuật toán xây dựng bản đồ hình
thang của tập gồm n cạnh nằm trong vị trí chung, thuật toán
này có tên gọi là Xac_dinh_vi_tri_diem. Khi xây dựng bản đồ hình
14
thang, thuật toán xây dựng cấu trúc dữ liệu mà có thể tìm hình
thang chứa điểm cho trước trong .
Hình 2.9. Phân hoặc dạng thang và cấu trúc tìm kiếm
Cấu trúc dữ liệu là đồ thị có hướng không chứa chu trình với
một nốt gốc và mỗi nốt lá tương ứng với các hình thang của bản đồ
hình thang. Các nốt bên trong không thuộc nốt lá và nốt gốc đều có
hai bậc và có hai loại nốt, : gán nhãn cho hai điểm đầu và
cuối của các cạnh, : gán nhãn các cạnh.
Thuật toán trình bày ở dạng giả ngữ như sau:
Thuật toán: Xac_dinh_vi_tri_diem( )
Đầu vào: Tập các đoạn thẳng không giao nhau và điểm .
Đầu ra: Vị trí của .
Các bước của thuật toán:
1. Xác định hình chữ nhật giới hạn , khởi tạo ,
2. Xác định một hoán vị của
3.
4. Tìm các là các mảnh thang trong và giao với
5. Xóa khỏi và thay bằng các mảnh thang mới xuất
hiện bởi
6. Xóa các nốt lá ứng với trong và tạo các nốt lá ứng
15
với các mảnh thang mới
7. Nếu thì . Quay lại B4
8. Tìm vị trí của thông qua
Để cập nhật lại và khi thêm các cạnh của để xây dựng
bản đồ hình thang, chúng tôi dùng thuật toán Hieu_chinh_T_D.
Cho , ban đầu là và ban
đầu chỉ có một nút lá là .
Hình 2.10. Xác định điểm trong cấu trúc dữ liệu
được xậy dựng từ
. Nếu điểm mút trái của
chứa , ngược lại nếu
không có trong . Xác định thuộc
có trong thì nằm tr n đường thẳng dọc đi qua một và
xem như nằm bên phải .
)
Thuật toán: Hieu_chinh_T_D(
, cấu trúc tìm kiếm
Đầu vào: Một bản đồ hình thang
của và đoạn thẳng .
Đầu ra: Thứ tự các hình thang khi giao với
Các bước thực hiện thuật toán:
16
1. Đặt và là điểm mút trái và phải của
2. Tìm chứa trong
3.
4. Nếu ở bên phải rightp(
5. - Nếu rightp( )ở phía trên thì
là lân cận phải dưới của .
Ngược lại ∆j+1 là l n cận phải trên của ∆j
6. - Ngược lại,chuyển sang B6
7. . Quay lại B8
8. Trả về các
Hình 2.11 Hiệu chỉnh và khi chứa
17
Hình 2.12. Hiệu chỉnh và khi giao với bốn hình thang
Quy tắc hiểu chỉnh :
-Nếu chứa điểm mút trái của thì thay bằng
ứng với điểm mút trái và ứng với .
-Nếu chứa điểm mút phải của thì thay bằng
ứng với điểm mút phải và ứng với .
-
được thay bằng các ứng với .
-Gắn các và mới với các nốt lá tương ứng.
Thuật toán xác định vị tr điểm bằng phương pháp ph n hoạch đồ
thị thành bản đồ hình thang của cạnh không chéo nhau của
có độ phức tạp:
- thực thi để xây dựng và .
- không gian lưu trữ.
18
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
12580
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Luận văn Ứng dụng hình học tính toán để xác định một miền chứa điểm cho trước", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tom_tat_luan_van_ung_dung_hinh_hoc_tinh_toan_de_xac_dinh_mot.pdf
