Tóm tắt Luận văn Hệ thức lượng giác và ứng dụng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRỊNH THỊ XUÂN TRANG
HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2016
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ
Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng
08 năm 2016.
Có thể tìm Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lượng giác là một trong những lĩnh vực cơ bản của toán học,
đã tồn tại , phát triển trong hàng ngàn năm qua, và có nhiều ứng
dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ chương trình
toán phổ thông hiện hành, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm
lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: công thức
lượng giác, phương trình lượng giác và hệ thức lượng giác. Tuy
nhiên, chủ đề hệ thức lượng giác và đặc biệt là phần ứng dụng của nó
được đề cập đến với một thời lượng không nhiều và chỉ ở một mức
độ nhất định. Hệ thức lượng giác là một chuyên đề tương đối khó đối
với học sinh phổ thông. Đồng thời, trong các đề thi tuyển sinh Đại
học và cao đẳng, thi học sinh giỏi toán quốc gia, quốc tế hằng năm
thường gặp những bài toán có liên quan đến các hệ thức lượng giác
cùng những ứng dụng của nó.
Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán ở trường phổ
thông, với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của lượng giác trong
chương trình trung học phổ thông, nên tôi chọn đề tài cho luận văn
thạc sĩ của mình là : “Hệ thức lượng giác và ứng dụng”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kiến thức cơ bản về lượng giác, đặc biệt là các hệ
thức lượng giác.
Hệ thống và phân loại một số lớp bài toán có thể giải được
bằng các hệ thức lượng giác.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các hệ thức lượng giác.
2
Các ứng dụng của hệ thức lượng giác trong tam giác và
tứ giác.
Các bài toán thuộc chương trình phổ thông có thể giải được
bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội
dung đề tài luận văn.
Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn.
Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn,
của các chuyên gia và của các đồng nghiệp.
5. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham
khảo, luận văn được chia thành 3 chương
Chương 1. Trình bày sơ lược các hệ thức lượng giác và một số
bất đẳng thức đại số hay sử dụng trong các chương sau.
Chương 2. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong
tam giác.
Chương 3. Trình bày các bài toán về hệ thức lượng giác trong
tứ giác.
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nhắc lại những hệ thức lượng giác cơ bản và một
số bất đẳng thức đại số nhằm làm cơ sở cho các chương sau.
1.1. CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.1.1. Đẳng thức lƣợng giác
a. Độ dài đường trung tuyến của tam giác
3
2 b2 c2 a2
2 a2 c2 b2
2 a2 b2 c2
ma2
;
mb2
;
mc2
4
4
4
b. Độ dài đường cao của tam giác
2S
2S
2S
;
;
ha
hb
hc
a
b
c
c. Độ dài đường phân giác trong của tam giác
2bc
2ac
2ab
;
;
la
cos A
lb
cosB
lc
cosC
b c
a c
a b
d. Diện tích tam giác
1
1
1
1
1
1
S aha bhb chc S absinC bcsin A acsin B
2
2
2
2
2
2
abc
4R
;
S pr
;
S
S p p a p b p c
S r p a r p b r p c
a b c
e. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
a
b
c
abc
R
2sin A 2sin B 2sinC 4S
f. Bán kính đường tròn nội tiếp
S
p
A
B
C
r
;
r p a tan p b tan p c tan
2
2
2
g. Bán kính đường tròn bàng tiếp các góc của tam giác
S
S
S
r
;
r
;
r
a
b
c
p a
p b
p c
h. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác
A
B
C
sin Asin B sinC 4cos .cos .cos
2
2
2
sin2Asin2Bsin2C 4sin A.sinB.sinC
4
sin2 A sin2 B sin2 C 2 2cos AcosBcosC
A
B
C
A
B
C
sin2 sin2 sin2 1 2sin sin sin
2
2
2
2
2
2
A
B
C
cos A cosB cosC 1 4sin .sin .sin
2
2
2
cos2Acos2Bcos2C 14cosA.cosB.cosC
cos2 A cos2 B cos2 C 1 2cos AcosBcosC
A
B
C
A
B
C
cos2 cos2 cos2 2 2sin sin sin
2
2
2
2
2
2
tan A tanB tanC tan A.tanB.tanC
A
B
B
C
C
A
tan tan tan tan tan tan 1
2
2
2
2
2
2
cot AcotBcotBcotC cotCcot A1
A
B
C
A
B
C
cot cot cot cot .cot .cot
2
2
2
2
2
2
1.1.2. Bất đẳng thức lƣợng giác
a b csin AsinB sinC
3 3
3 3
8
sin A sin B sinC
;
sin A.sin B.sinC
2
3
2
A
B
C
9
4
sin sin sin
;
sin2 Asin2 B sin2 C
2
2
2
A
B
C
3
4
A
B
C
1
8
sin2 sin2 sin2
;
sin .sin .sin
2
2
2
2
2
2
3
1
cos A cosB cosC
;
cos A.cosB.cosC
2
8
cos A.cosB.cosC 1 cos A 1 cosB 1 cosC
5
A
B
C
3 3
2
A
B
C
3 3
4
cos cos cos
;
cos .cos .cos
2
2
2
2
2
2
3
A
B
C
9
4
cos2 A cos2 B cos2 C
cos2 cos2 cos2
;
4
2
2
2
tan Atan B tanC 3 3
tan2 Atan2 B tan2 C 9
(
nhọn)
ABC
ABC
A
(
nhọn)
A
B
C
B
C
tan2 tan2 tan2 1 tan tan tan
3
;
2
2
2
2
2
2
A
B
C
tan Atan B tanC cot cot cot
2
2
2
cot2 Acot2 B cot2 C 1
;
cot Acot B cotC
3
A
B
C
A
B
C
2
cot cot cot 3 3 cot cot2 cot2 9
;
2
2
2
2
2
2
1.1.3. Định lý sin, định lý côsin, định lý tang
a. Định lý côsin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
a2 b2 c2 2bccos A
b2 a2 c2 2accosB
c2 a2 b2 2abcosC
b. Định lý sin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
a
b
c
2R
sin A sin B sinC
c. Định lý tang
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
6
A B
B C
C A
tan
tan
tan
tan
tan
tan
a b
a b
b c
b c
c a
c a
2
2
2
;
;
A B
B C
C A
2
2
2
1.2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG GẶP
1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy
Cho a1 ,a2 ,...,an là các số không âm. Khi đó ta có:
a1 a2 ... an
n a1a2...an
.
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 ... an
1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
.
Cho hai dãy số a1 ,a2 ,...,an và b ,b2 ,...,bn . Khi đó ta có:
1
2
a2 a2 ... a2 b2 b2 ...b2 a b a b ... a b
.
n
n
n
1
2
1
2
1 1
2
2
n
a
a2
an
bn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 ...
.
b
b2
1
1.2.3. Bất đẳng thức Chebyshev
Cho hai dãy số a1 ,a2 ,...,an và b ,b2 ,...,bn thỏa mãn điều kiện
1
a1 a2 ... an
; b b2 ... bn . Khi đó ta có
1
a a ... a b b ... b n a b a b ... a b
.
n
n
n
1
2
1
2
1
1
2
2
n
a a ... a
1
2
n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b b2 ... bn
1
1.2.4. Bất đẳng thức Svacxơ
Cho hai dãy số thực a1 ,a2 ,...,an và b ,b2 ,...,bn trong đó bi > 0
1
với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có:
7
2
a12 a2
2 ...
b2
an2
bn
n
a a ... a
1
2
b
b b2...bn
1
1
a1 a2
an
bn
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
...
b
b2
1
CHƢƠNG 2
HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC
Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng trong
tam giác để giải một số lớp bài toán về tam giác, cụ thể là bài toán
nhận dạng tam giác, các bài toán về chu vi, diện tích tam giác ...
2.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TAM GIÁC
Để nhận dạng tam giác, ta thường sử dụng một trong các
phương pháp như sau:
Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để tính
góc hoặc cạnh
Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức cơ bản trong tam giác
và các bất đẳng thức đại số
Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp đánh giá dựa trên các
tính chất tam giác và tính chất của hàm số
2.1.1. Nhận dạng tam giác vuông
Để chứng minh
là tam giác vuông, ta sử dụng Định lý
ABC
Pythagore, hoặc chứng minh tam giác có một góc vuông (góc đối
diện với cạnh dài nhất của tam giác).
Bài toán 2.2. Cho
thỏa mãn hệ thức:
ABC
a b c
B
C
A
1 sin2 sin2
sin2
.
(2.1)
4R
2
2
2
Chứng minh
vuông.
ABC
8
Giải:
2R(sin A sin B sinC)
4R
1 cosB 1 cosC
(2.1)
1
2
2
1 cos A
2
sin AsinB sinC 1cos A cosB cosC
A
A
B C
2
B C
2
A
2sin cos 2sin
cos
2sin2
2
2
2
B C
2
B C
2
2cos
cos
A
B C
2
B C
2
A
B C
2
B C
2
cos cos
cos
sin
cos
cos
2
2
A
B
C
A
B
C
2cos cos cos 2sin cos cos
2
2
2
2
2
2
A
A
B
C
cos sin
do cos cos 0
2
2
2
2
A
2
tan 1 A . Vậy ABC vuông tại A.
2
2.1.2. Nhận dạng tam giác cân
Để chứng minh là tam giác cân, ta chứng minh tam
ABC
giác có 2 cạnh bằng nhau, hoặc có 2 góc bằng nhau.
Bài toán 2.10. Cho
có:
ABC
cos2 A cos2 B
sin2 A sin2 B
1
2
cot2 A cot2 B
.
(2.2)
Chứng minh rằng
Giải:
cân.
ABC
9
2 sin2 A sin2 B
1
1
1
(2.2)
1
1
sin2 A sin2 B
2 sin2 A
sin2 B
2
1
1
1
1
sin2 A sin2 B 2 sin2 A sin2 B
2
sin2 A sin2 B
sin2 A sin2 B 2sin2 Asin2 B
2
2
4sin2 Asin2 B sin2 Asin2 B 0 sin2 Asin2 B
sin2 A sin2 B sin A sin B 0 A,B A B
.
Vậy
cân tại C.
ABC
2.1.3. Nhận dạng tam giác đều
Để chứng minh là tam giác đều, ta chứng minh tam
ABC
giác có 3 cạnh bằng nhau, hoặc có 3 góc bằng nhau, hoặc chứng
minh
cân và có một góc bằng 600 .
ABC
Bài toán 2.19. Cho
có:
ABC
B C
2
C A
A B
2
a2 cos
b2 cos
c2 cos
a2 b2 c2
.
2
A
B
C
2sin
2sin
2sin
2
2
2
Chứng minh rằng
Giải:
đều.
ABC
Ta có:
A
A
B C
2
B C
2
B C
2
a2 cos
a 2Rsin A .cos
a 4Rsin cos .cos
2
2
A
A
A
2sin
2sin
2sin
2
2
2
10
A
B C
2
B C
2
B C
2
aR 2cos cos
aR 2sin
cos
aR sin B sinC
2
a 2Rsin B 2RsinC a b c
2
2
C A
A B
2
b2 cos
c2 cos
b c a
c a b
2
Tương tự ta có:
;
B
C
2
2
2sin
2sin
2
2
Từ đó suy ra:
a b c b c a c a b
Đẳng thức đã cho
a2 b2 c2
2
2
2
ab bc ca a2 b2 c2 a2 b2 c2 ab bc ca 0
1
2
2
2
.
a b b c c a 0 a b c
2
Vậy
đều.
ABC
2.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ CẠNH VÀ GÓC CỦA TAM GIÁC
Bài toán 2.30. Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:
.
Chứng
minh
bất
đẳng
thức
cosAcosB 2cosC
8
c max a, b . Đẳng thức xảy ra khi nào?
9
Giải:
Sử dụng Định lý côsin trong tam giác ABC, điều kiện bài toán
b2 c2 a2 a2 c2 b2
a2 b2 c2
tương đương với
2bc
2ac
ab
2
2
2
b c a2
a c b2
a b c2
2bc
2ac
ab
11
b c a a b c
a c b a b c
a b c a b c
2bc
2ac
ab
a b c a b a c b 2c a b c
a2 b2 2c2 2ab ac bc 0
(2.3)
Từ (2.3) suy ra b là nghiệm của phương trình:
x2 2a c x a2 ac 2c2 0
Và a là nghiệm của phương trình:
x2 2b c x b2 bc 2c2 0
Hai phương trình có nghiệm nên 9c2 8ac 0 , và
8
9
8
9
9c2 8bc 0. Suy ra
và
.
b
c
a
c
8
Vậy
.
c max a,b
9
Bài toán 2.33. Hãy tính các góc của ABC nếu trong tam giác
2
2
b c a2
đó, ta có:
.
sin A sin B sinC 1 2
Giải:
Từ: b2 c2 a2 b2 c2 a2 0
b2 c2 a2
Lúc đó: cos A
0 A 900
2bc
B C
2
B C
2
Ta có: sin Asin B sinC sin A 2sin
cos
A
B C
2
sin A 2cos cos
2
12
A
(2.4)
sin Asin B sinC 1 2cos
2
A
A
2
A 900
450
và cos
Mà
2
2
2
(2.4)
sin A sin B sinC 1 2
B C
2
cos
1
B C
A 900
A
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi: cos
.
2
2
sin A 1
Vậy ABC vuông cân tại A.
2.3. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƢỜNG PHÂN GIÁC, ĐƢỜNG
TRUNG TUYẾN, ĐƢỜNG CAO CỦA TAM GIÁC.
Bài toán 2.41. Cho ABC. Chứng minh rằng:
p2 r2 2R h h h 2r
.
(2.5)
a
b
c
Giải:
(2.5)
p2 r2 4Rr 2R h h h
c
a
b
2S 2S 2S
p2 r2 4Rr 2R
a
b
c
2R
p2 r2 4Rr
.2S ab bc ca ab bc ca
abc
Vậy từ giả thiết suy ra phải chứng minh:
p2 r2 4Rr ab bc ca
(2.6)
13
A
p a r cot
a 2Rsin A
Ta có:
2
A
r
p a
a
tan
2
sin A
2R
Áp dụng công thức:
A
2tan
a
A
r
2
sin A
và thay
và tan
,
sin A
A
2
p a
2R
1 tan2
2
a3 2pa2 p2 r2 4Rr a 4pRr 0
ta có
Như vậy bằng cách thay A bằng B, C suy ra a, b, c là các nghiệm của
phương trình:
x3 2px2 p2 r2 4Rr x 4pRr 0
Theo Định lý Vi-et, ta có ab bc ca p2 r2 4Rr
Vậy (2.6) đúng, và đẳng thức (2.5) được chứng minh.
.
Bài toán 2.43. Chứng minh rằng trong ABC ta có:
ha hb hc
2r
3
3
.
la lb lc
R
Giải:
Trong ABC vẽ đường cao AH và đường phân giác AD.
ha
la
A
2C A
B C
2
sin ADH sin C
sin
cos
Ta có:
2
2
14
Tương tự:
A
B
C
H
D
hb
hc
C A
A B
2
cos
,
cos
lb
2
lc
ha hb hc
B C
2
C A
A B
2
Theo trên ta có:
cos
cos
cos
la lb lc
2
ha hb hc
2r
3
3
Vậy
la lb lc
R
B C
2
C A
cos
2
A B
2
A
B
C
3
cos
cos
6 sin sin sin
(2.7)
2
2
2
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
B C
2
C A
A B
2
B C
2
C A
A B
2
3
cos
cos
cos
3 cos
cos
cos
2
2
(2.8)
Dấu bằng trong (2.8) xảy ra
. Ta sẽ chứng minh rằng:
A B C
A B
B C
C A
A
B
C
cos
Thật vậy:
cos
cos
8sin sin sin
(2.9)
2
2
2
2
2
2
15
A
B
C
B C
2
C A
2
A B
2
(2.9) 8cos cos cos cos
cos
cos
8sin Asin BsinC
2
2
2
B C
2
B C
2
C A
2
C A
2
A B
2
A B
2
2sin
cos
2sin
cos
2sin
cos
8sin Asin BsinC
sin B sinC sinC sin A sin A sin B 8sin Asin BsinC
(2.10)
sin B sinC 2 sin BsinC
Theo bất đẳng thức Cauchy thì: sinC sin A 2 sinCsin A
sin A sin B 2 sin Asin B
Vậy (2.10) đúng, tức là (2.9) đúng. Từ (2.8) và (2.9) suy ra
(2.7) đúng (đpcm). Dấu bằng xảy ra là tam giác đều.
ABC
2.4. CÁC BÀI TOÁN VỀ CHU VI VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC.
Bài toán 2.52. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC. Các
đường thẳng AI, BI, CI kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần
lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
1
'2
'2
'2
.
p a IA p b IB p c IC abc
2
Giải:
Giả sử O, R, r lần lượt là tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp,
bán kính đường tròn nội tiếp ABC. Gọi D là tiếp điểm của
đườngtròn (I ; r) với cạnh AB. Khi đó:
A
A
ID AD.tan hay r p a .tan
.
2
2
A
Vì SABC p.r , nên SABC p. p a .tan
2
16
A
bc.cos2
1
2
Lại có
, suy ra
(2.11)
SABC bcsin A
p a
2
p
E
A
D
I
O
C
B
A'
Kẻ đường kính A’E của đường tròn (O). Ta thấy A’IB cân tại A’ (do
BAC ABC
A'BI A'IB
) nên
2
A
A
a
IA' BA' A'E.sin 2R.sin
(2.12)
A
2
2
2cos
2
a2bc
Từ (2.11) và (2.12) suy ra p a IA'2
.
4p
ab2c
abc2
Tương tự: p b IB'2
;
p c IC'2
4p
4p
Do đó:
abc a b c
1
2
p a IA'2 p b IB'2 p c IC'2
abc
4p
(đpcm).
2.5. CÁC BÀI TOÁN VỀ BÁN KÍNH ĐƢỜNG TRÒN NỘI
TIẾP, NGOẠI TIẾP CỦA TAM GIÁC.
Bài toán 2.72. Cho ABC. Chứng minh rằng:
17
1
1
1
4R r
.
A
B
C
p
cot
cot
cot
2
2
2
Giải:
Ta có:
1
1
1
A
B
C
tan tan tan
A
B
C
2
2
2
cot
cot
cot
2
2
2
A
B
C
1
1
1
Mà: tan tan tan r
2
2
2
p a p b p c
pr p2 ab bc ca
p2 ab bc ca
p a p b p c
r
p p a p b p c
p2 ab bc ca
(2.13)
S
pabc p p a p b p c
4R r abc
S
Lại có:
p
pS p2
p2S
ab bc ca p2
.
(2.14)
S
Từ (2.13) và (2.14) suy ra đpcm.
CHƢƠNG 3
HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TỨ GIÁC
Chương này trình bày việc sử dụng các hệ thức lượng giác để
giải một số lớp bài toán về tứ giác, cụ thể là bài toán nhận dạng tứ
giác, các bài toán về cạnh và góc của tứ giác, các bài toán về chu vi,
diện tích tứ giác.
3.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NHẬN DẠNG TỨ GIÁC
Bài toán 3.2. Cho tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện:
18
sin A
sin B sinC sinC sin D sin D sin A sin A sin B
Chứng minh ABCD là hình bình hành hoặc hình thang cân.
Giải:
sin B
sinC
sin D
2
.
sin A
sin B
Đặt a1
;
a2
a4
sin B sinC
sinC sin D
sinC
sin D
a3
;
sin D sin A
b sin A sinB sinC
sin A sin B
;
b sinB sinC sinD
1
2
;
b sinC sinD sin A
b sinD sin AsinB
3
4
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
2
a b a b a b a b a2 a2 a2 a2 b2 b2 b2 b2
4
4
4
1
1
2
2
3
3
4
1
2
3
1
2
3
sin A
sin B
sinC
sin D
(3.1)
2
sin B sinC sinC sin D sin D sin A sin A sin B
Dấu bằng trong (3.1) xảy ra
.
sin AsinB sinC sinD
Bài toán 3.3. [11] Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi R1, R2, R3, R4
lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD,
ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng: Nếu R1.R3 = R2.R4 thì tứ giác
ABCD nội tiếp.
Giải:
Theo Định lý sin, ta có:
BC
AD
AD
BC
R
, R2
, R3
, R4
1
2sin D
2sinC1
2sin B
2sin A
1
1
1
Tải về để xem bản đầy đủ
26 trang
30/03/2022
3540
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Luận văn Hệ thức lượng giác và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tom_tat_luan_van_he_thuc_luong_giac_va_ung_dung.pdf
