Luận văn Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THỦY
VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên – 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ THỦY
VỀ QUY TẮC FERMAT TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TỪ TOÁN SƠ CẤP ĐẾN TOÁN CAO CẤP
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số:
60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƢU
Thái Nguyên - 2015
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan: Bản luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu
của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo
sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê
Dũng Mưu.
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong
luận văn này là hoàn toàn trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị
nào, phần tài liệu tham khảo được xếp đúng thứ tự và đủ các thông tin theo đúng
yêu cầu.
Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015
Tác giả
Phạm Thị Thủy
Mục lục
Trang
Lời cam đoan……………………………………………………………… i
Mục lục…………………………………………………………………… ii
Danh sách kí hiệu ………………………………………………………... iv
Lời nói đầu………………………………………………………............... 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị……………………………………………. 4
1.1. Tập lồi………………………………………………………... 4
1.2. Hàm lồi……………………………………………………….. 5
1.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi ………………………... …… 7
1.4. Bài toán tối ưu………………………………………………. 7
1.5. Tính liên tục của hàm số ……………………………….…… 9
1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian………………………….…….. 10
1.7. Ma trận xác định dương, nửa xác định dương. …………..…. 11
1.8. Bổ đề Farkas. ………………………………………………… 11
1.9. Nón pháp tuyến. ………………………………………..……. 11
1.10. Dưới vi phân………………………………………………… 12
Chương 2. Quy tắc Fermat trong bài toán cực trị………………………… 14
2.1. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến không có
ràng buộc…………………………………………………………. 18
2.2. Quy tắc Fermat cho hàm số khả vi một biến có ràng buộc…… 22
2.3. Quy tắc Fermat cho hàm nhiều biến khả vi không có ràng
buộc………………………………………………………………. 27
2.4. Mở rộng nguyên lý Fermat cho hàm nhiều biến có ràng
buộc………………………………………………………...……… 32
Chương 3. Áp dụng giải một số bài toán phổ thông……………….…..… 39
3.1. Áp dụng cho bài toán cực trị hàm một biến…………………... 39
3.2. Áp dụng chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ
43
nhất của hàm số nhiều biến ……………………..…..…..………..
Kết luận …………………………………………………...…..………….. 55
Tài liệu tham khảo………………………………………...…..…............... 56
Danh sách ký hiệu
n
Không gian Euclid n chiều
Đạo hàm (bậc 1 và bậc 2) của hàm số f(x)
Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới a
f ' x , f " x
lim f x
na
[a,b]
.,.
Đoạn thẳng nối hai điểm a và b
n
Tích vô hướng trong
Gradient của hàm f
Ma trận Hessian
f
2
f
f
Dưới vi phân của hàm f
nón pháp tuyến ngoài của C tại x
N x
C
1
Lời nói đầu.
Trong việc ứng dụng toán học vào các bài toán thực tiễn, các bài toán cực
trị là một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tế nhất. Những
yêu cầu về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng
thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích
lớn nhất … là những yêu cầu rất tự nhiên xuất phát từ những bài toán của sản
xuất, đời sống và khoa học. Chính vì thế những bài toán cực trị cần có một chỗ
đứng xứng đáng trong chương trình toán ở phổ thông. Các phương pháp giải bài
toán cực trị cũng cần phải được trình bày một cách bài bản. Trên phương diện
phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài toán cực trị, đó
là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số. Với phương
pháp bất đẳng thức, sơ đồ cơ bản là: Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của
hàm số f(x) trên miền C, ta sẽ chứng minh
i)
f(x) M với mọi x thuộc C
ii)
Tồn tại x0 thuộc C sao cho f(x0) = M.
Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên C và dựa vào các định lý
của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M. Fermat – một luật sư, nhà toán
học người Pháp đã sử dụng công cụ đạo hàm để giải bài toán cực trị bằng cách
đưa bài toán cực trị từ cách giải đánh giá bằng bất đẳng thức cần nhiều tư duy,
mẹo mực về cách giải tự nhiên tìm điểm nghi vấn chỉ nhờ giải các phương trình
(đối với hàm số một biến) và hệ phương trình (đối với hàm số nhiều biến).
Quy tắc Fermat là một công cụ mạnh, cho phép bài toán cực trị có được
lời giải tự nhiên
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu quy tắc Fermat trong từng bước phát
triển của nó từ sơ cấp lên cao cấp, nhằm nâng cao kiến thức và khả năng trong
2
giảng dạy và nghiên cứu về toán tối ưu, có được cái nhìn tổng thế từ toán cao
cấp vào toán sơ cấp.
Nội dung luận văn được viết trong 3 chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, hàm khả vi, điểm dừng…
Chương 2. Quy tắc Fermat.
Quy tắc Fermat và các ví dụ ứng dụng trong các trường hợp hàm số một
biến, khả vi, không có ràng buộc, phát triển đến hàm một biến khả vi, có
điều kiện ràng buộc, nâng cao lên hàm nhiều biến, khả vi, không ràng
buộc, tổng quát nhất là bài toán hàm nhiều biến, không khả vi và có ràng
buộc. Sau mỗi bước phát triển ta đều có thể quay trở về bài toán sơ cấp
trước đó bằng cách bổ sung thêm giả thiết. Từ đó thấy được các bước phát
triển của quy tắc Fermat, đồng thời cũng cho thấy cái nhìn của Toán cao
cấp vào toán sơ cấp.
Chương 3. Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông.
Ứng dụng quy tắc Fermat vào giải các bài toán phổ thông, từ những bài
toán đơn giản đến những bài toán nâng cao, từ cách giải áp dụng trực tiếp
quy tắc đến việc sử dụng toán cao cấp định hướng cho cách giải trong
chương trình phổ thông.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên chắc chắn luận văn này còn nhiều thiếu
sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp thu và
hoàn thiện luận văn hơn nữa.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH Lê
Dũng Mưu, Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam
đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.
3
Bên cạnh đó, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến ban giám hiệu trường Đại
học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán Tin, trung tâm học liệu đã tạo
điều kiện giúp tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày 24 tháng 03 năm 2015
Học viên
Phạm Thị Thủy
4
Chƣơng 1.
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm cơ bản về hàm lồi, tập lồi,
các khái niệm cực tiểu cực đại, bài toán tối ưu, khái niệm đạo hàm, đạo hàm cấp
hai. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2], [3],
[4], [5].
1.1. Tập lồi
Định nghĩa 1.1.
n
Một tập C được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua 2
điểm bất kỳ của nó. Tức C là lồi khi và chỉ khi
x, yC, 0,1 x(1)yC.
1
2
k
Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc-tơ)
nếu
x , x ,..., x
k
k
x x , 0j 1,...,k, 1
j
j
j
j
j1
j1
Một điểm xC được gọi là điểm cực biên của C nếu x không thể biểu diễn
được dưới dạng tổ hợp lồi chặt của hai điểm phân biệt bất kì nào của C, tức
x y 1 z
không tồn tại y,zC, y z sao cho
với 0 1.
Ví dụ 1.1.
1
Trong
các khoảng
a,b a 1 b| 0,1
,
5
đoạn
a,b a 1 b| 0,1
a,b
là các tập lồi, đoạn
có hai điểm cực biên là x = a và x=b.
2
Trong
Trong
các đa giác lồi, hình tròn, hình elip là các tập lồi.
các khối đa diện, khối cầu là các tập lồi.
3
1.2. Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.
n
ChoC là một tập lồi và f :C . Ta sẽ ký hiệu
domf : xC f (x)
Tập dom
f
được gọi là miền hữu dụng của .
f
Định nghĩa 1.3.
n
n
Cho C là một tập lồi và hàm f : . Ta nói
f
là hàm lồi
trên C, nếu
f x 1 y f x 1 f y x, yC, 0,1
n
hàm f : được gọi là hàm lồi chặt trên C, nếu
f x 1 y f x 1 f y x, yC, 0,1
n
0
hàm f : được gọi là hàm lồi mạnh trên C với hệ số
, nếu
x, yC, 0,1 có
1
2
f x 1 y f x 1 f y 1 x y
2
f
Bằng quy nạp ta chứng minh được nếu
nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi C thì
với mọi số tự nhiên m và mọi x1,..., xm C thỏa mãn
6
m
0,..., 0, 1
,
1
m
j
j1
ta có
Hàm
m
m
f
xj
f xj
(Bất đẳng thức Jensen).
j
j
j1
j1
f
được gọi là hàm lõm trên C nếu f lồi trên C.
Các ví dụ về hàm lồi
1. Hàm a-phin f x : aT x trong đó
là một hàm vừa lồi vừa lõm
n
a ,
trên toàn không gian. Khi 0 , thì hàm này được gọi là hàm tuyến tính.
2. Hàm chỉ. Cho C là 1 tập lồi.
Đặt
0 khi xC
khi x C
C x :
Ta nói C là hàm chỉ của C. Do C lồi nên C là một hàm lồi.
n
3. Hàm mặt cầu. Cho S : x | x 1 là một mặt cầu và h:S là một hàm
bất kỳ. Định nghĩa hàm
f
như sau:
0
khi x 1
f x : h x khi x 1
khi x 1
n
Hàm này được gọi là hàm mặt cầu và là một hàm lồi trên
.
4. Hàm khoảng cách. Cho C lồi đóng, hàm khoảng cách đến tập C được định
nghĩa bởi d x : min x y
C
yC
5. Hàm chuẩn. Giả sử x x ,..., xn
1
f x : x : max x
i
1
i
7
1
2
Hoặc f x : x : x2 ... x2
n
1
6. Hàm số một biến. Hàm số f : a,b khả vi cấp hai liên tục trên (a,b) và
có f " x 0x a,b thì lồi trên (a,b).
1.3. Các phép toán bảo toàn tính lồi
Cho
f
và g là hai hàm xác định trên C và không nhận giá trị . Với mọi
xC ta định nghĩa các hàm:
f g x : f x g x
f x : f x , là số thực.
Mệnh đề dưới đây suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.1.
(i) Cho
f
và là hai hàm lồi lần lượt trên các tập lồi A và B, với AB .
g
0, 0
Khi đó hàm f g lồi trên
với mọi
.
AB
(ii) Giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm lồi cũng là một hàm lồi.
Tức là nếu f :C i và dãy số f x hội tụ với mỗi xC thì hàm
i
i
f x : lim f x cũng lồi trên C.
i
i
f :C
: I
(iii) Nếu
lồi trên tập lồi C và hàm một biến
không giảm
f
trên khoảng I, sao cho f C I thì hàm hợp
lồi trên C.
1.4. Bài toán tối ƣu
Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau:
min f x : xC
(P)
hoặc
max f x : xC
(P’)
8
trong đó C X khác rỗng ( X là một không gian nào đó), thông thường
X n và
.
f :C
x* C
f
Định nghĩa 1.4. Một điểm
được gọi là cực tiểu địa phương của trên C
x*
(Nghiệm tối ưu địa phương của (P)) nếu tồn tại một lân cận U của sao cho
f x* f x xU C
x* C
Điểm
(P’)) nếu
được gọi là cực đại địa phương (Nghiệm tối ưu địa phương của
f x* f x xU C
Nếu f x* f x xC thì x* được gọi là cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt
đối của
f
trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P)).
Nếu f x* f x xC thì x* được gọi là cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối
của
f
trên C (Nghiệm tối ưu toàn cục của (P’)).
n
Mệnh đề 1.2. Cho f : lồi. Khi đó mọi điểm cực tiểu địa phương
trên một tập lồi đều là cực tiểu toàn cục. Hơn nữa tập hợp các điểm cực tiểu của
f
là một tập lồi. Nếu
f
lồi chặt thì điểm cực tiểu nếu tồn tại, sẽ duy nhất.
Chứng minh.
*
n
C
f
Cho
. Giả sử x là điểm cực tiểu địa phương trên C của . Khi đó
tồn tại lân cận U của x* sao cho
f x f x* xU C
x C,0 1
x* C
do C lồi và U là lân cận của
nên ta có điểm
x : 1 x*xC U khi đủ nhỏ. Do f x* f x và
f
lồi, ta có
f x* f x 1 f x* f x
9
suy ra f x* f x . Chứng tỏ x* là điểm cực tiểu toàn cục của
f
.
x*, y* C
Giả sử
là các điểm cực tiểu của
f
trên C, vậy
0 1. Do C lồi nên
f x* f y* f x xC . Lấy z* : x* 1 y* với
z* C
và do lồi nên
f
f z* f x* 1 f y* f x
Suy ra z* cũng là điểm cực tiểu của
của trên C là lồi. Dễ thấy rằng tập hợp này chỉ gồm nhiều nhất một điểm khi
lồi chặt.
f
trên C. Chứng tỏ tập các điểm cực tiểu
f
f
Cực đại hàm lồi. Các tính chất cực đại của một hàm lồi khác hẳn các tính
chất về cực tiểu của nó. Cụ thể,cực đại địa phương của một hàm lồi không nhất
thiết là cực đại tuyệt đối. Ví dụ hàm f x x2 có điểm cực đại địa phương trên
[-1, 2] là x = -1, nhưng điểm cực đại tuyệt đối lại là x = 2. Nếu xét hàm này trên
[-2,2] ta thấy các điểm cực đại tuyệt đối của nó trên đoạn này không lồi vì nó chỉ
gồm 2 điểm 2 và -2. Dưới đây nếu không nói gì thêm thì ta hiểu cực đại là cực
đại tuyệt đối.
1.5. Tính liên tục của hàm số
Cho hàm số
f
xác định trên tập mở C n . Hàm
f
được gọi là liên tục
tại điểm x0 C nếu với mọi 0, tồn tại 0 sao cho f x f x0 với
mọi xC thỏa mãn x x0 . Nói cách khác, hàm số
f
là liên tục tại x0 C
xn C
nếu với mọi dãy
hội tụ đến .
x
0 , ta có f xn f x0
Hàm
f
được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại điểm x0 C nếu với
mọi 0, tồn tại 0 sao cho
f x f x0 f x f x0
10
n
với mọi xC thỏa mãn
.
x x
Nói cách khác, hàm số là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại x0 C nếu
f
0 , và dãy f x hội tụ, ta có
xn C
n
với mọi dãy
hội tụ đến
x
n
0
n
0
lim f x f x
lim f x f x
.
n
n
Rõ ràng nếu là nửa liên tục dưới tại x0 Cthì f là nửa liên tục trên tại
f
x0 C. Hàm vừa nửa liên tục trên vừa nửa liên tục dưới tại x0 C thì liên
f
tục tại điểm đó.
Hàm được gọi là liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) trên C
f
nếu nó liên tục (nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên) tại mọi điểm của C.
1.6. Đạo hàm và ma trận Hessian
Cho hàm
f
xác định trên tập mở C n . Giả sử rằng tại
x
0 , các đạo
hàm riêng của hàm theo mọi biến tồn tại. Khi đó vec tơ
f
0
f x f x0
f x0
T
,...,
,
x
x2
xn
1
được gọi là gradient của
f
tại x0 Cvà kí hiệu f x0
.
Nếu các đạo hàm cấp hai theo mọi biến của
f
tại x0 đều tồn tại thì ma trận
2
0
2
f x
f x0
x1x1
x1xn
2
2
f x0
f x0
xnx1
xnxn
được gọi là ma trận Hessian của
f
tại x0 kí hiệu là f x0
.
2
11
Điểm
là điểm dừng của trên C lồi nếu
f
xC
n
f x ,x x 0,xC trong đó a,b aT b a b
.
j
j
j1
Nói riêng, nếu f x 0 thì là điểm dừng.
x
1.7. Ma trận xác định dƣơng, nửa xác định dƣơng.
Cho A là một ma trận đối xứng thực cấp n,
A được gọi là một ma trận nửa xác định dương, nếu xT Ax 0,xn , là một
n
ma trận xác định dương nếu xT Ax 0,x ,x 0
.
A được gọi là một ma trận nửa xác định âm nếu xT Ax 0,xn , là một ma
n
trận xác định âm nếu xT Ax 0,x ,x 0
.
1.8. Bổ đề Farkas.
n
m n
p,x 0
u
Cho vectơ pvà ma trận A cấp
, muốn cho
với mọi x
m
nghiệm đúng Ax 0 điều kiện cần và đủ là tồn tại vectơ
và p ATu ( p biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính không âm các vec tơ
sao cho
u 0
hàng của A).
1.9. Nón pháp tuyến.
Một tập C được gọi là nón nếu
0,xC xC
một nón được gọi là nón lồi nếu đồng thời nó là một tập lồi.
Cho tập C n là một tập lồi và một điểm xC . Ký hiệu
N x w| w,y x 0yC
C
.
12
0N x
N x
là một nón lồi
C
Hiển nhiên
. Dùng định nghĩa, kiểm tra được
C
N x
đóng, nón này được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x. Tập
gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x. Hiển nhiên
được
C
.
N x w| w,y x 0,yC
C
Khi C là một tập mở (trường hợp riêng là C n ) thì
.
N x 0
C
1.10. Dƣới vi phân
n
n
. Ta nói x* là dưới đạo hàm của f tại x nếu
f :
Cho
x* ,z x f x f z ,z.
Tương tự đối với hàm lồi khả vi thông thường biểu thức này có nghĩa là phương
trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số, tuy nhiên khác với trường hợp khả
vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy nhất.
f x
Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là
. Nói chung
thì ta nói f khả
khi và chỉ khi nó thỏa
đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong n . Khi
f x
x* f x
dưới vi phân tại x. Theo định nghĩa, một điểm
mãn một hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy
f x
là giao của các
f x
nửa không gian đóng. Vậy
luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng).
Ví dụ 1.3.
n . Tại điểm x = 0 hàm này không khả vi, nhưng nó khả
f x x ,x
1.
dưới vi phân và
f 0 x* | x* ,x x ,x
2. f C là hàm chỉ của một tập lồiC . Khi đó với x0 C
x0 x* | x* ,x x0 x ,x
C
C
13
xC
x
, nên bất đẳng thức này luôn đúng. Vậy
C
Với
, thì
x0 x* | x* ,x x0 0,xC N x0
C C
Vậy đưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại điểm x0 C
chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0.
14
Chƣơng 2
QUY TẮC FERMAT TRONG
BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Pierre de Fermat sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp, ông mất năm
1665. Fermat là một học giả vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và là cha đẻ của
lý thuyết số hiện đại.
Fermat xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy
bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án nhưng lại vô cùng say mê toán học
với thói quen nổi tiếng là ghi các ghi chú bên lề các quyển sách.
Fermat là một học giả nghiệp dư đích thực. Ông được mệnh danh là "Ông
Hoàng của những người nghiệp dư". Trong những thư từ trao đổi với các nhà
toán học, ông luôn viết những phát biểu cho định lí mới nhất của mình, nhưng
không gửi kèm chứng minh. Và ông thách thức họ tìm ra chứng minh đó. Việc
ông không bao giờ tiết lộ chứng minh của mình cho mọi người biết khiến họ rất
bực mình. Rene Descartes đã gọi Fermat là "thằng cha khoác lác", còn John
Wallis thì gọi ông là "gã người Pháp chết tiệt". Khi Blaise Pascal ép ông công
bố chứng minh, nhà toán học đã nói: "Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứng
đáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó.". Ông là một
người ưa bí mật, ông sẵn sàng hy sinh danh tiếng của mình để miễn là không bị
quấy rầy bởi những câu hỏi vụn vặt của những người phê bình.
Phạm vi các định lí của Fermat trải rộng từ định lí cơ bản đến những định lí đơn
thuần chỉ có tính giải trí, và thông thường định lí được phát biểu ở mức độ ngắn
Tải về để xem bản đầy đủ
63 trang
12780
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Luận văn Về quy tắc Fermat trong bài toán cực trị từ toán sơ cấp đến toán cao cấp", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- luan_van_ve_quy_tac_fermat_trong_bai_toan_cuc_tri_tu_toan_so.pdf
