Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Lý thuyết ước lượng

Chương 6. Lý thuyết ước lượng

§1. Khái niệm chung về ước lượng.

 ²



-Ký hiệu là a,p, hoặc

-Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số nào



đó của tổng thể dược gọi là ước lượng



1.Ước lượng điểm:

Chọn G=G(W),sau đó lấy





G

E(G) =

1.Không chệch:

2.Vững:

limG =

3.Hiệu quả: ^n→

D(G) → min

4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn

nhất-xem SGK)

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

1

a  x:

Kết quả:

có đủ 4 tính chất trên.

 ² S²: _{Không chệch}

 ² S²: ^{Hợp lý tối đa}



2.Ước lượng khoảng:

Định nghĩa: khoảng

được gọi là khoảng ước lượng

 ,

( )

1 2

 =1−

của tham số với độ tin cậy

nếu:



    =1−

(

)

1

2

-độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy.

I =₂−₁

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

2

.

Sơ đồ giải: Chọn G W, sao cho G có quy luật phân

( )

g₁, g₂

phối xác suất đã biết, tìm 2 số

sao cho

 g  G  g =1−

(

)

1

2

 g  g w,  g

( )

1

2

 ₁ ₂

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

3

§2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p.

Bài toá n: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ lệ mẫu f.



Với độ tin cậy ,hãy tìm khoảng tin cậy của p.

f − p n

(

)

Giải: Chọn

G =U =

  0,1

( )

f 1− f

(

)

₁,₂ 0:₁+₂= 

Xé t

  u U  u =1−

(

)

₁

1−₂

f − p n

(

)

 −Z_2= u_

 u_1−= Z_2

1

2

f 1− f

( )

f 1− f

( )

 f −

.Z_2 p  f +

.Z_2

2

1

n

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

4

Ta xét 3 trường hợp riêng quan trọng:

f 1− f

(

)

(Ước lượng tốiđa)

.Z_2

1)₁=,₂= 0  −  p  f +

n

f 1− f

(

)

2)₁= 0,₂=  f −

.Z_2 p  +

(Ước lượng tối thiểu)

n

f 1− f

( )



2

3)₁=₂=   =

.Z_

(Độ chính xác)

(Đối xứng)

n

 f −  p  f +

(Độ dài khoảng tin cậy)

 I = 2

 f 1− f 

( )

2

.Z +1

n =







²





Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

5

.Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng

đối xứng.

Ví dụ 2.1:

Để điều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300

con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400

con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với

đô tin cậy bằng 0.95.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

6

Gọi N là số cá trong hồ

300

 =

P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ

N

n = 400,m = 60 → f = 0,15

0,15.0,85

400

0,15.0,85

400

 =

.Z_0,05=

.1,96

300

→ f −   =  f +  ?  N  ?

N

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

7

Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bao

nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là 0,2 ;độ dài khoảng

tin cây đối xứng là 0,02 và độ tin cây là 0.95.

Bài giải:

 = 0,95, I = 0,02, f = 0,2  n

I = 0,02   = 0,01







₂

0,2.0,8

n =

. 1,96 +1



( )

2

0,01

( )







Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

8

§3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a

Bài toán:Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình

S²

x

mẫu và phương sai điều chỉnh mẫu . Với độ tin cậy



,hãy tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a.

Bài giải.Ta xét 3 trường hợp:



²

TH1. Đã biết phương sai tổng thể

x − a n

( )

G =U =

N 0,1

( )

Chọn



x − a n

( )

Xé t

_1,2 0;₁+₂=   −Z 

2₁

 Z

2₂



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

9

.



1.₁=,₂= 0  −  a  x + .Z_2

n

(Ước lương trung bình tối đa)



(Ước lượng tối thiểu)

2.₁= 0,₂=,→ x − .Z_2 a  +

n



2



(Độ chính xác)

(Đối xứng)

I = 2

3.₁=₂= →  = .Z_

n

→ x −  a  x +

²





 

n = .Z +1,







 

 











Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

10

 ²,n  30

TH2. Chưa biết phương sai tổng thể

x − a n

( )

Chọn:

G =U =

N 0,1

( )

S

_1,2 0;₁+₂=  x − .Z  a  x + .Z

2₂

2₁

n

Kết quả tương tự TH1: thay bằng S



 ², n  30

TH3.Chưa biết phương sai tổng thể

x − a n

( )

Chọn

G = T =

T n −1

( )

S

Xé t

_1,2 0;₁+₂= 

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

11

.

( )

  t  T  t

=1−

(

)

₁

1−₂

x − a n

( )

n−1

(

)

(

)

 −T_2



 T_2

1

2

S

n−1

(

)

(

)

 x − T_2

 a  x + .T_2

2

1

n

n−1

( )

Kết quả tương tự TH2 : Thay Z_2bằng T_2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

12

Ví dụ 3.1. Hao phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1 đại

lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí độ lệch

chuẩn

 = 0,03.

Người ta sản xuất thử 36 sản phẩm và thu được bảng số liệu:

19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3

Mức hao phí

nguyên liệu(gam)

6

8

18

4

Số sản phẩm

Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí nguyên liệu

trung bình cho 1 sản phẩm nói trên.

TH1.

 = 0,03, x =19,91111, = 0,01 Z_0,01= 2,575

0,03

  = .2,575 = 0,012875

36

x −  a  x +

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

13

Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại

xe ô tô chạy trên đoạn đương từ A đến B ,chạy thử 49

lần trên đoạn đường này ta có bảng số liệu:

9,6-9,8 9,8-10,0 10,0-

10,2

10,2-

10,4

10,4-

10,6

Lượng xăng hao

phí (lit)

4

8

25

8

4

Số lần

Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho mức hao phí

xăng trung bình của loại xe nói trên.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

14

Giải

.

TH2: n = 49, = 0,95

x =10,1, S = 0,2

Z_0,05=1,96

1,96.0,2

 =

= 0,056

7

10,044  a 10,156

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

15

§^{4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể} ²

Bài toá n: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương

 ²



sai hiệu chỉnh mẫu . Với độ tin cậy hãy tìm

 ²

khoảng ước lượng của phương sai tổng thể

Bài giải

n −1  ²

(

)

G = ²=

²(n −1),

_1,2 0:₁+₂= 

Chọn

S²

→  ²(n −1)  ² ²(n −1) =1−

(

)

₁

₂

n −1 S²

_²(n −1)

(

)

(

)

  ²

_²(n −1)

2

1



₁=₂=

₁,₂

)

Quy ước lấy

(nếu không cho

2

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

16

Ví dụ 3.1:Để định mức gia công 1 chi tiết máy,người ta

theo dõi quá trình gia công 25 chi tiết máy,và thu được

bảng số liệu sau:

15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27

Thời gian gia

cô ng (phút)

1

3

4

12

3

2

Số chi tiết má y

a)Với độ tin cậy 0,95,hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian

gia công trung bình 1 chi tiết máy.

b)Với độ tin cậy 0,95,hãy tìm khoảng tin cậy cho phương

sai.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

17

Giải

a)TH3

n = 25, = 0,95, x = 21,52,S = 2,4

24

T = 2,064

0,05

2,064.2,4

 =

= 0,99072

5

 20,5293  a  22,5107

b)

24.2,4²

12,40

₀²_,975(24) =12,40, ₀²_,025(24) = 39,36 

 ²

39,36

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 6

18