Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
§1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản
1. Phân phối đều rời rạc:
X x1 x2……xk
P 1/k 1/k…….1/k
2. Phân phối không – một A(p):
Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p)
X 0 1
P q p
Định lý 1.1: X có phân phối A(P) thì E(X) = P, D(X) = p.q
3. Phân phối nhị thức B(n,p):
= k = Ck .pk .qn−k ,k =1,n
Định nghĩa 1.2:
n
X = np, D = npq,Mod = k = n +1 p
Định lý1.2:
0
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
1
@Copyright 2010
4. Phân phối siêu bội
Bài toá n: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng còn lại
là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (không hoàn
lại), n không lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối
xác suất của X là số bi trắng lấy được.
CMk .CNn−−kM
Giải:
= k =
( )
,k = 0,n
CNn
Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối
siêu bội H(N,M,n)
H(N, M ,n) = np,
( )
Định lý 1.3: Giả sử
N − n M
D = npq
( )
, p =
N −1
N
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
2
@Copyright 2010
Ghi nhớ: lấy bi có hoàn lại: phân phối nhị thức
lấy bi không hoàn lại: phân phối siêu bội
5. Phân phối Poisson P(a),a>0:
ak
= k = e−a. ,k = 0,1,2...
( )
(
)
Định nghĩa 1.4:
k!
Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a
Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy:
P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)
(cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm …)
0 x 12 = 0,936204
6 X 12 = 0 X 12 − 0 5
Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1 dịch
vụ công cộng thì X tuân theo quy luật phân phối Poisson
P(a) với a là số người trung bình sử dụng dịch vụ đó.
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
3
@Copyright 2010
Ví dụ 1.2:
Quan sát trong 20 phꢀt có 10 người vào trạm bưu điꢁn.
Tính xác suất trong 10 phꢀt có 4 người vào trạm đó.
Giải:
Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phꢀt thì
X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy:
54
= 4 = e−5.
( )
4!
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
4
@Copyright 2010
§2: Các quy luật phân phối liên tꢀc
a, 2 , 0
1. Phân phối chuꢁn
Định nghĩa 2.1:
2
− x−a
(
)
1
2 2
2 f x =
e
( )
( )
2
2
a, 2
Định lý 2.1: X có phân phối
thì E(X) = a, D(X) =
Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuꢂn
2
1
tắc N(0,1) nếu:
(hàm mật độ Gauss).
f u =
( )
e−u /2
2
Định lý 2.2:
u
2
1
e−t /2dt = 0,5+ U
F u = 0,5+
U ( )
U có phân phối N(0,1) thì
( )
2
0
U
với
là tích phân Laplace (hàm lẻ)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
5
Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có:
1 u U u = u − u ;
( ) (
2 ) ( ) ( )
1
2
1
2 U = 2 .
( ) ( )
X − a
2 =
Định lý 2.4: Giả sử
( )
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
6
Định lý 2.5: Giả sử
.Khi ấy ta có:
− a
− a
1 =
( ) (
−
)
2 − a = 2.
( )
(
)
Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuꢂn
52
N(165, ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao
nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lꢁ thanh niên lùn.
160 −165
− X 160 =
− −
( )
(
)
5
= − 1 + + = −0,34134+0,5
( ) ( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
7
U m
Ví dụ 2.2: Cho
hãy tính kỳ vọng của
U
• Giải:
+
2
1
Um = um.
e−u /2du = 0
nếu m lẻ vì cận đối xứng,
( )
−
2
hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.
+
+
2
2
1
1
U 2 = u2
e−u /2du = u.u
e−u /2du
( )
−
−
2
2
2
2
1
1
dv = u
e−u /2 v = −
e−u /2
2
2
+
+ −+
2
2
1
1
U 2 = −u. e−u /2
e−u /2du =1
( )
−
2
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
8
@Copyright 2010
Tương tự:
+
2
1
U 4 = u3.u
e−u /2du
( )
−
2
+
+
2
2
1
1
= −u3.
e−u /2 + 3. u2
e−u /2du = 3. U 2 = 3.1;
( )
−
−
2
2
U6 = 5 U 4 = 5.3.1;
( )
( )
U 2n = 2n −1 !!
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
9
Ví dụ 2.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại gặp vàng thì dừng
.Tính xác suất để lấy được 3 trắng, 2 đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:
6 5
P = .
C155 10
2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK)
e
3. Phân phối mũ :(Xem SGK)
4. Phân phối khi bình phương:(Xem SGK)
5. Phân phối Student:(Xem SGK)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
10
@Copyright 2010
§3. Các định lý giới hạn.
1. Định lý Chebyshev (Xem SGK)
2. Định lý Bernoulli (Xem SGK)
3. Các định lý giới hạn trung tâm.
Định lý 3.1(Lyapounov): Giả sử
đôi một độc
1,2,...,n
n
lập và
E X − E(X ) 3
k
k
k=1
lim
= 0
n→
n
3/2
D
( )
k
k=1
Khi ấy ta có:
n
n
1
1
−
E
( )
i
i
n
n
i=1
i=1
khi n đủ lớn
n 30
U =
N 0,1
( )
n
1
D x
( )
i
n
i=1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
11
Hꢁ quả 3.1:Giả sử thêm vào đó ta có
E(Xi ) = a,D(Xi ) =2,i =1,n
n
1
( . X − a). n
n
i
i=1
U =
N(0,1)
N(0,1)
khi n đủ lớn
khi n đủ lớn
m
( − p). n
n
U =
Hꢁ quả 3.2:
p(1− p)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
12
Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến
, ...,
ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối:
phương sai:
với
1
2
n
D = 5 k =1,2,..n
k
Xác định n sao cho với xác suất không bé hơn 0,9973.
a) Hiꢁu cuả X-E(X) không vượt quá 0,01
b) Trị tuyꢁt đối của X-E(X) không vượt quá 0,005.
Bài giải:
n
1
=
, E( ) = a E X = a → D = 2 = 5
( )
( )
n
i
i
i
i=1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
13
@Copyright 2010
.
a) − E 0,01 0,9973
( )
(
)
− a n
( )
0,01 n
.
U =
0,9973
5
0,01 n
+ 0,5 0,9973
5
0,01 n
0,4973 = 2,785
(
)
5
2
0,01 n
2,875. 5
0,01
2,785 n
5
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
14
@Copyright 2010
.
b)
(U = − E 0,005) 0,9973
( )
0,005 n
.
2.
0,9973
5
0,005 n 0,9973
2
= 3
( )
5
2
0,005 n
3 5
3 n
0,005
5
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
15
$4.Các công thức tính gần đúng
1. Công thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức.
M
N
Định lý 4.1:Khi n<N nhiều thì
Nghĩa là:
H N,M,n B n, p , p =
) ( )
(
CMk .Cn−k
k
X = k =
Cn .pk .qn−k
N−M
(
)
CNn
Ví dụ 4.1: Giả sử cho 1 hộp có N=1000 bi trong đó có
M=600 bi trắng còn lại là bi đen. Rꢀt ngẫu nhiên ra 20
bi,tính xác suất để lấy được đꢀng 12 bi trắng.
12
600
C .C4800
X =12 =
C .0,612.0,48
12
(
)
20
20
1000
C
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
16
2. Nhị thức và Poisson:
Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé
với
B n, p a
a=np
ak
k
X = k = C .pk .qn−k e−a. ,k = o,n
Nghĩa là:
(
)
n
k!
Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho.
Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm
xác suất để khi vận chuyển:
a) Có đꢀng sáu chai bị vỡ
b) Có không quá 12 chai bị vỡ.
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
17
. Giải: Gọi X là số chai bị vỡ thì X có phân phối B(n,p)
n = 8000, p = 0,001 a = np = 8
86
1) = 6 = C6 .p6.q8000−6 e−8. = 0,1221338
(
)
8000
6!
2) 0 12 0,936204
Chꢀ ý: Khi p rất lớn thì q rất bé vậy ta có thể coi q là p mới
( tức là đổi p thành q,q thành p).
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
18
@Copyright 2010
3. Phân phối nhị thức và phân phối chuꢁn
Định lý: Khi n đủ lớn,p không quá bé và cũng không quá lớn
thì B(n,p) N(np,npq), nghĩa là:
1
k − np
= k
. f
(
)
npq
npq
k2 − np
k1 − np
k k
−
(
)
1
2
npq
npq
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
@Copyright 2010
19
Ví dụ 4.3:Xác suất trꢀng đích của một viên đạn là 0,2. Tìm
xác suất để khi bắn 400 viên thì có tất cả:
a)70 viên trúng
b)Từ 60 đến 100 viên trꢀng.
Giải: Gọi X là là số đạn bắn trꢀng thì
1 70 −80 1
a) = 70 = C70 .p70.q330 = f
= . f 1,25
(
)
( )
400
8
100 −80
8
8
8
60 −80
b) 60 100
−
= 2. 2,5
(
)
( )
8
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 4
20
@Copyright 2010
20 trang
13/04/2022
5080
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_4_cac_quy_luat_phan_phoi.ppt
