Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên

• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu

nhiên nhân một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.

• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là hữu

hạn hoặc vô hạn đếm được

• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị

có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

1

§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên

1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)

Định nghĩa 2.1:

(…) vô hạn

( )

  = x₁= p_i,i =1,2,3,...k

( )

x₁x₂... x_k...





^x

( )

p₁p₂... p_k...

p =1

i

Chú ý:



i

• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với xác

suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì dừng.

Hãy lập bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn ra cho đến

khi dừng lại

1 2 3 ... k ...

p qp q²p ... q^k−1p...



^x



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

2

Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì

ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng



^x

1

2

3. . . 19

pq².. . pq¹⁸

20

q¹⁹

p

pq

• 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):

• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

F_X(x) = F

(

x

)

= 

(

X  x

)

nhiên X là:

Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm

2.

các t/c đặc trưng

F

(

−

)

= 0, F

(

+ 

)

=1

3.



(

a  X  b

)

= F_X

(

b

)

− F_Xa

(

)

Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì

liên tục trên toàn trục số

F_X

( )

x

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

3

• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì

• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất như

trên.Khi ấy



(

X = x₀= 0,x₀

)

F_X

(

x

)

= p



i

x_ix



2

5 7

• Ví dụ 2.3:



0,1 0,5 0,4

x  2

0

nếu







2  x  5

5  x  7

7



x

nếu

0,1

0,6

 F_X

(

)

x =



1



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

4

F_X

(

x

)

= 0

bên trái miền giá trị của X

Chú ý: Hàm phân phối

và

bên phải miền giá trị của X.

( )

F_Xx =1

• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu

nhiên liên tục)

• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu

f x = f x = F x ^/

nhiên X liên tục là:

_X( ) ( )

_X( )

_x



x

• Định lý 2.1:

• Tính chất:

^{F x =} ^{f t dt}

( )

X

−

1 f (x)  0

( )







+

t/c đặc trưng

2 f (x)dx =1

( )





−



b

^{(3)P(a  X  b) =} ^{f (x).dx}

X

a

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

5

Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm

khô ng có ý nghĩa.

2. Hàm mật độ

• Ví dụ 2.4:

bên ngoài miền giá trị của X.

f x = 0

( )

X

2





acos x, x  0, / 2





X f (x) =



0,

x  0, / 2









•

1 a = ?

( )

+

 /2

a ^{ /2}

1= f (x)dx = acos²xdx = 1+ cos2x dx

(

)

 



2

−

0

 /2

a sin2x

a 

2 2

4





= x +

= .  a =







2



0



Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

6

F x

_X

( )

2. Hãy tìm hàm phân phối

0

nếu x<0





^x

x

4

2

sin 2x









cos²tdt = x +

^{F x =} ^{f t dt =}



_X( )

( )

,nếu

0



x





/ 2







₀



2

−



1

,nếu

x  / 2



3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

− / 4, / 4

(

)

 − / 4  X   / 4 = F  / 4 − F − / 4

) ( ) (

(

)

 /4

= f x dx = (4 /)cos²xdx

( )

 

− /4

0

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

7

• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ

cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy

phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt

p_1,p₂.

rổ của người thứ nhất,hai là

q ,q

• Giải: Gọi

là xác suất ném trượt bóng của người 1,2

1

2

• X là số bóng của người thứ 1

• Y là số bóng của người thứ 2

• Z là tổng số bóng của cả 2 người

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

8

1

2

. . .

k

. . .

X

^X

p + q p . q q (p + q p ) ..... q^k−1q^k−2p + p q . . .

(

)

1

1 2

1

2 1

1

2

1

2 1

0

1

2

. . .

k . . .

Y

p q p + q p q q q p + q p  . . .q^k−1q^k−1.... . . .

^Y

(

)

₁



₁

 



1

2

1

1 2

2

1

2





2k −1

q₁^k−1q₂^k−1p₁

2k

q₁^kq₂^k−1p₂, k =1,2,...

Z



^Z

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

9

§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I. Vectơ ngẫu nhiên

X₁, X₂,..., X_n

Giả sử

là các đại lượng ngẫu nhiên được xác

định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy

được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều

II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).

1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:

X = (X₁, X₂,..., X_n)

  = x ,Y = y = p ,i =1,k; j =1,h

(

)

i

j

ij

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

10

Y y

1

y

2

…

y

h

Px

x

1

2

P

11

21

P

12

22

P

1h

P

1

x

P

P2h

P2

…

x

k

Pk1

Pk2

Pkh

Pk

PY

q

1

q

2

q

h

1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

11

2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y

p =   = x = p ,i =1,k

( )

i

ij

j=1

k

q =  Y = y = p , j =1,h

( )



j

i

ij

i=1

3.Điều kiện độc lập của X và Y

 _{i, j}: p_ij= p_i.q_j

Định lý 3.1: X,Y độc lập

4.Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.

ij

(X = x_i/Y = y_j) = ,i =1,k

q_j

p_ij

(Y = y_j/ X = x_i) = , j =1,h

p_i

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

12

5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)

Định nghĩa 3.1:

F x, y =  X  x,Y  y

( ) (

)

Tính chất:

F x, y

( )

F(−,−) = 0, F(+,+) =1

(a  x  b,c  y  d) = F(a,c) + F(b,d) − F(a,b) − F(b,c)

(1)

là một hàm không giảm theo từng biến

(2)

(3)

Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ

mặt phẳng.

(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như

trên, khi ấy ta có:

F(x, y) p_ij

x_ix

y_j y

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

13

Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:

y

3

5

^X

X

0

2

0,1

0,3

0,4

0,2

0,4

0.6

0,3

0,7

1

^Y

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

14

X 0 2

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:

(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y

0,1 0,3−0,4  X,Y

P^X

0,3 0,7

là phụ thuộc

X

0 2

(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:

(4)Tìm hàm phân phối:

0.2 0.4

0.6 0.6

P^{X /Y =5}

x  0 y  3

0,





0.1,

0  x  2,3  y  5

0  x  2,5  y

2  x,3  y  5

2  x,5  y



F x, y = 0.1+ 0.2,

( )





0.1+ 0.3,



1,





Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

15

III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)

1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:

Định nghĩa 3.2:

²F x, y

( )

f x, y =

( )

xy

x

y

F x, y =

( )

f u,v dudv

( )

Định lý 3.2:

 _−

−

Dxy

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

16

.

HINH 3.1

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

17

Tính chất:

(1) f x, y  0 

( )



TCDT



(2) f (x, y)dxdy =1

R





2



(3)

^{ x, y D =} ^{f x, y dxdy}

( )

(

)

D

3. Các hàm mật độ xác suất lề.

+

f x = f x, y dy

( ) ( )

X

_−

+

f y = f x, y dx

_Y( ) ( )

_−

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

18

.Chú ý : Cá c hàm phâ n phối xá c suất lề:

( ) ( )

F y = F +, y

_Y( ) ( )

X

4.Điều kiện độc lập của X và Y

X,Y độc lập

 f x, y = f x .f y

( )

X

Y

 F x, y = F x .F y

( )

X

Y

5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:

( )

f y

_Y( ₀)

0

f_{X /Y =y}(x) =

0

( )

0

f_{Y / X =x}(y) =

0

f x

( )

X 0

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

19

Ví dụ 3.2: Cho



−x−y







a.e

,nếu

0xy <+

f x, y =

( )

,nếu trái lại

0

(1) Xác định tham số a.

+

1= f x, y dxdy = a dx e^−x−ydy

( )

 ₀_x

R²

+

a

2

= a e^−2xdx =  a = 2

₀

Khoa Khoa Học và Máy Tính

Xác Suất Thống Kê. Chương 2

20