Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên
Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và
véctơ ngẫu nhiên.
§1 Kỳ vọng
1. Định nghĩa
= x = p = x p
(
)
( )
Định nghĩa 1.1: Giả sử
i
i
i i
Định nghĩa 1.2: Giả sử X là liên tục và có hàm mậti độ là
+
f x
X ( )
= x. f x dx
( )
X ( )
−
Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X
2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số
(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
1
@Copyright 2010
§2: PHƯƠNG SAI
1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X
2
D = −
( )
( )
(
)
là:
2
D() = 2 −
( )
Định lý 2.1 :
2 = x2.p
+
nếu X rời rạc
( )
i
i
i
+
2 = x2. f x dx
+
nếu X liên tục
( )
( )
−
C2.D()
2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) =
(3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y)
(4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
2
@Copyright 2010
= D
3. Độ lệch:
§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1.Mod X(giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)
Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và
= x = p
(
)
i
i
Mod = xi , pi = Maxpi
0
0
Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm
, ta có
f x
X ( )
Mod = x ; f x = Maxf x
X X
0
0
2. Med X(medium – trung vị X)
Med = m m 1/ 2, X m 1/ 2
Định nghĩa 3.3:
m
1
Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì
MedX = m f x dx =
( )
X
−
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
3
@Copyright 2010
3.Moment
Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X
k
X −a
( )
đối với số a là
a = 0: moment gốc
a = E(X):moment trung tâ m.
4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK)
cos x, x 0, / 2
~ f x =
( )
Ví dụ 3.1:
X
0, x 0, / 2
/2
2
= 0 x.cos xdx = −1
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
4
@Copyright 2010
2
/2
D X = x2 cos xdx − −1 = −3
( )
2
X 2
Mod X =0
m
m
f x dx = cos xdx =1/ 2
X ( )
Med X
− 0
sin m =1/ 2 m = / 6
Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau
1 2 ... k ...
m−1 m
m+1....
p pq ... pqk−1... pqm−2 pqm−1... pqm ...
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
5
@Copyright 2010
1
1
E(X) = kp.qk−1 = p.
=
2
p
1−q
k=1
( )
2
+
D(X ) = k2 pqk−1 −
k=1
1
p
2
( )
2
1+ q 1 1+ q 1 q
= p.
− = − =
(1− q)3 p p2 p2 p2
Mod X = 1
Med X =m
m−2
p 1+ q +...+ q 1/ 2
(
)
p 1+ q +...+ qm−2 + qm−1 1/ 2
(
)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
6
@Copyright 2010
.
1
2
1− qm−1
1− q
1− qm 1/ 2
qm−1
m−1
1− q 1/ 2
p.
1/ 2
qm 1/ 2
1
m
q
2
mln q −ln 2, m −1 ln q −ln 2
( )
−ln 2
ln q
−ln 2
ln q
+1 m
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
7
@Copyright 2010
.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau:
X
P
2 5 7
0,4 0,3 0,3
= 2.0,4 + 5.0,3 + 7.0,3 = 4,4
( )
2
D = 22.0.4 + 52.0,3 + 72.0,3 − 4,4
( )
( )
2
= D(X) = 2,017
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
8
@Copyright 2010
Cách dùng máy tính bỏ túi ES
• Mở tần số(1 lần): Shift Mode Stat On(Off)
• Nhập: Mode Stat 1-var
xi n
i
2 0,4
5 0,3
7 0,3
AC: báo kết thúc nhập dữ liệu
Cách đọc kết quả: Shift Stat Var
x =→
( )
x n =→
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
9
@Copyright 2010
Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD
Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =
Cách nhập số liệu :
2; 0,4 M+
5; 0,3 M+
7; 0,3 M+
Cách đọc kết quả:
x =→
( )
SHIFT S – VAR
xn =→
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
10
@Copyright 2010
Ví dụ 3.4:
Tung cꢀng 1 lꢁc 5 con xꢁc xꢂc cân đối,đồng chất .Gọi X là
tꢃng số điꢄm nhận được. Hꢅy tính E(X), D(X)
Giải: Gọi Xi là số điꢄm của con xꢁc xꢂc thꢆ i
= 1 + 2 + ....+ 5
= + ....+ = 5
( ) ( )
( )
( )
1
5
1
D = D + D + ...+ D = 5D
Xi độc lập
1
2
5
1
7
35
X1 1…………6
P 1/6………1/6
= , D =
( )
( )
1
i
2
12
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
11
§4: Kỳ vọng của hàm
Y =
( )
= x = p , Y = x p
1.Trường hợp rời rạc:
2.Trường hợp liên tục:
(
)
( )
f x Y = x .f x dx
( )
i
i
i
i
i
+
( ) ( )
( ) ( )
X
−
Ví dụ 4.1:
cos x, x 0,
2
f x =
( )
Cho
0 x 0,
2
Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX.
sin2 x
1
2
/2
/2
Y = 0 sin xcos xdx =
=
( )
0
2
3
sin x 1
1
/2
Y 2 = sin2 xcos xdx =
=
( )
0
0
3
3
2
1 1 1
3 4 12
D Y = Y 2 − Y = − =
( )
( )
( )
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
12
§5: Kỳ vọng của hàm
= ,Y
= x ,Y = y = p
1.Trường hợp rời rạc:
Ví dụ 5.1:
(
)
i
j
ij
= x , y .p
( )
(
)
Y = x y p
i j ij
i
j
ij
i, j
( )
i, j
2.Trường hợp liên tục:(X,Y)liên tục và có hàm mật độ f(x,y)
= x, y . f x, y dxdy
( )
( ) ( )
R2
Ví dụ 5.2:
8xy
0 x y 1
,nếu trái lại
,nếu
f x, y =
( )
0
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
13
HÌ NH 5.1
y
1
→
0
1 X
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
14
1
y
.
= x. f x, y dxdy = dy x8xydx
( ) ( )
0 0
R2
1
y
Y = y. f x, y dxdy = dy y8xydx
( ) ( )
0 0
R2
Y 2 = y2. f x, y dxdy
( )
( )
R2
X 2 = x2. f x, y dxdy
( )
( )
X.Y = xy. f x, y dxdy
( )
( )
R2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
15
@Copyright 2010
§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên
1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y))
2. Hiꢇp phương sai (covarian):
Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]
Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)
Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0
(2) cov(X,X) = D(X)
m
n
m
n
, Y =
cov ,Y
(3) cov
(
)
i
i
j
j
i=1
j=1
i=1 j=1
m
m
m
, = D + cov , X
( )
(
)
(4) cov
i
k
i
i
k
i=1
k=1
i=1
ik
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
16
3. Hệ số tương quan
cov ,Y
( )
Định nghĩa 6.2:
RXY =
. Y
Tính chất: (1) X,Y độc lập RY = 0
RXY 1,,Y
(2)
(3)
RXY =1 a,b,c : a +bY = c
RXY
Ý nghĩa: Hꢇ số
đꢈc trưng cho sꢉ ràng buộc tuyến tính
giꢊa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan
hꢇ tuyến tính.
cos , ,cos ,Y
(
) ( )
4. Ma trận tương quan:
D ,Y =
( )
cov Y, ,cov Y,Y
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
17
Ví dụ 6.1:
1,2 ,.....m ;Y ,Y2.....Yn
• Cho các biến ngẫu nhiên
sai đꢋu bằng 1:
có phương
1
cov , = p ;cov Y ,Y = p ;cov ,Y = p
i
j
1
i
j
2
i
j
3
Tìm hꢇ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên:
và
U = + +.....+
V = Y +Y +.....+Y
1
2
m
1
2
n
m
n
m
n
Giải:
cov U,V = cov
, Y = . cov ,Y = m.n.p
(
)
(
)
i
i
j
3
i
i=1
j=1
i=1 j=1
m
n
m
D U = cov
( )
, X = D + cov , = m + m(m −1).p
( )
(
)
i
k
i
i
k
1
i=1
k=1
i=1
jk
D V = n + n(n −1).p
( )
2
cov U,V
(
)
m.n.p3
RUV =
=
U . V
( ) ( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
m + m m −1 p . n + n n −1 p
(
)
(
)
1
2
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
18
5. Cách dùng máy tính bỏ túi
a)Loại ES: MODE STAT a+bx
xi yi pij
AC
Cách đọc kết quả:
x =→ X
( )
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT REG
SHIFT STAT SUM
xn =→ X
y =→ Y
yn =→ Y
r =→ RXY
xy =→ XY
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
19
b) Loại MS: MODE REG LIN
Cách xóa dꢊ liꢇu cũ : SHIFT CLR SCL =
Cách nhập dꢊ liꢇu :
Cách đọc kết quả:
xi , yj ; pij M +
x =→ X
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-SUM
xn =→ X
y =→ Y
( )
yn =→ Y
( )
r =→ RXY
xy =→ XY
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 3
@Copyright 2010
20
20 trang
13/04/2022
4340
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên và véctơ ngẫu nhiên", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_3_cac_dac_trung_cua_dai_l.ppt
