›
›

Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Download
CHƯƠNG 4 : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN  
TÍNH  
§1. PHƯƠNG PHÁP GAUSS  
Có nhiều phương pháp để giải một hệ phương trình tuyến tính dạng AX  
= B. Phương pháp giải sẽ đơn giản hơn nếu ma trận A có dạng tam giác nghĩa  
là có dạng :  
a
a
0
a22  
0
0
a
a12  
a
a
11  
11  
13   
hay  
0 a22  
0
23   
21  
a31 a32 a33  
0 a33  
Trong trường hợp đầu tiên, ma trận được gọi là ma trận tam giác dưới  
và trường hợp thứ hai ma trận được gọi là ma trận tam giác trên. Phương  
trình tương ứng với ma trận tam giác dưới có dạng tường minh là :  
a x 0x 0x b  
11  
1
2
3
1
a x a x 0x b  
21  
1
22  
2
3
2
a31x1 a32x2 a33 x3 b3  
Với phương trình dạng này chúng ta sẽ giải phương trình từ trên xuống.  
Chương trình giải phương trình ma trận tam giác dưới là :  
Chương trình 4-1  
#include <conio.h>  
#include <stdio.h>  
#include <math.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <ctype.h>  
#define max 10  
void main()  
{
float a[max][max];  
float b[max],x[max];  
int i,j,k,n,t;  
float s,c;  
char tl;  
clrscr();  
83  
printf("Cho so phuong trinh n = ");  
scanf("%d",&n);  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran a\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
for (j=1;j<=n;j++)  
{
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran a ma ban da nhap\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
t=1;  
flushall();  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%d",&i);  
printf("Cho chi so cot can sua : ");  
scanf("%d",&j);  
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("Ma tran a ban dau\n");  
84  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran b\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b ma ban da nhap");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]);  
printf("\n");  
flushall();  
t=1;  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%d",&i);  
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b ban dau");  
85  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("%15.5f\n",b[i]);  
{
if (a[1][1]==0)  
if (b[1]!=0)  
printf("He da cho vo nghiem\n");  
else  
{
printf("He da cho co vo so nghiem");  
x[n]=c;  
}
else  
x[1]=b[1]/a[1][1];  
for (i=2;i<=n;i++)  
{
s=0;  
for (k=1;k<=i-1;k++)  
s=s+a[i][k]*x[k];  
x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];  
}
printf("\n");  
printf("Nghiem cua he da cho la");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("x[%d] = %10.5f\n",i,x[i]);  
getch();  
}
}
Phương trình tương ứng với ma trận tam giác trên có dạng tường minh là :  
a x a x a x b  
11  
1
12  
2
13  
3
1
0x a x a x b  
1
22  
2
23  
3
2
0x1 0x2 a33 x3 b3  
Với phương trình này chúng ta giải từ dưới lên.  
Chương trình giải phương trình ma trận tam giác trên là :  
86  
Chương trình 4-2  
#include <conio.h>  
#include <stdio.h>  
#include <math.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <ctype.h>  
#define max 10  
void main()  
{
float a[max][max];  
float b[max],x[max];  
int i,j,k,n,t;  
float s,c;  
char tl;  
clrscr();  
printf("Cho so phuong trinh n = ");  
scanf("%d",&n);  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran a :\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
for (j=1;j<=n;j++)  
{
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran a ma ban da nhap\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
87  
t=1;  
flushall();  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%d",&i);  
printf("Cho chi so cot can sua : ");  
scanf("%d",&j);  
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("Ma tran a ban dau");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b ma ban da nhap");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]);  
88  
printf("\n");  
flushall();  
t=1;  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%d",&i);  
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b ban dau\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("b[%d] = %10.5f\n",i,b[i]);  
printf("\n");  
{
if (a[n][n]==0)  
if (b[n]!=0)  
printf("He da cho vo nghiem");  
else  
{
printf("He da cho co vo so nghiem");  
x[n]=c;  
}
else  
x[n]=b[n]/a[n][n];  
for (i=n-1;i>=1;i--)  
{
s=0;  
for (k=i+1;k<=n;k++)  
89  
s=s+a[i][k]*x[k];  
x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];  
}
printf("\n");  
printf("Nghiem cua he da cho la\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("x[%d] = %10.5f\n",i,x[i]);  
getch();  
}
}
Tuy nhiên, các hệ phương trình đơn giản hiếm khi gặp trong thực tế.  
Các hệ phương trình tuyến tính có thể biểu diễn dưới dạng tam giác nếu định  
thức của nó khác không, nghĩa là phương trình có nghiệm. Chúng ta biết rằng  
các nghiệm của hệ không đổi nếu ta thay một hàng bằng tổ hợp tuyến tính  
của các hàng khác. Như vậy bằng một loạt các biến đổi ta có thể đưahệ ban  
đầu về dạng tam giác. Đó chính là nội dung của phương pháp loại trừ Gauss.  
Chúng ta hãy xét hệ phương trình :  
a x a x a x b  
11  
1
12  
2
13  
3
1
a x a x a x b  
21  
1
22  
2
23  
3
2
a31x1 a32x2 a33 x3 b3  
Nhân hàng thứ nhất với a21/a11 ta có :  
a21  
a11  
a21  
a11  
a21  
a11  
a21x1   
a12x2   
a13x3   
b1  
Số hạng đầu của phương trình bằng số hạng đầu của hàng thứ hai trong hệ  
phương trình ban đầu. Khi trừ hàng một đã được biến đổi cho hàng 2 ta nhận  
được hàng 2 mới  
a21  
a11  
a21  
a11  
a21  
a11  
0x1 a22   
a12 x2 a23   
a13 x3 b2   
b1  
Ta tiếp tục cách này để loại trừ x1 ra khỏi hàng thứ 3. Phương trình trở thành  
b
a
a12  
a
a
x
    
1   
11  
1
13     
2   
0 a22  
0 a32 a33  
x b  
23     
2
    
x3  
b3  
    
với a,11 = a11 ; a,12 = a12 ; a,13 = a13 ; a,13 = a13 ; b,1 = b1  
a21  
a11  
a21  
a11  
a31  
a11  
a22 a22   
a12  
a23 a23   
a13  
a32 a32   
a12  
90  
a31  
a11  
a21  
a11  
a31  
a11  
a33 a33   
a13  
b2 b2   
b1  
b3 b3   
b1  
Ta loại trừ số hạng chứa x3 trong dòng thứ 3 bằng cách tương tự.Ta  
nhân hàng thứ 2 trong hệ A'X = B' với a,32/a,22 và đem trừ đi hàng thứ 3 trong  
hệ mới. Như vậy số hạng chứa x3 biến mất và ta nhận được ma trận tam giác  
trên.  
  
  
  
a12  
  
b
a
a
a
x
    
1   
11  
1
13     
  
0 a22  
0
  
  
2   
  
b3  
x b  
23     
2
    
  
0
a33  
x3  
    
  
  
  
  
  
  
với a11 a11  
a12 a12  
a13 a13  
b1 b1  
a22 a22  
a23 a23  
a33  
a32  
  
   
  
b2 b2  
a33 a33   
a23  
b3 b3   
b2  
a22  
a22  
Các phép tính này chỉ thực hiện được khi a11 0 và a,11 0.  
Với một hệ có n phương trình, thuật tính hoàn toàn tương tự. Sau đây là  
chương trình giải hệ phương trình n ẩn số bằng phương pháp loại trừ Gauss.  
Chương trình 4-3  
#include <conio.h>  
#include <stdio.h>  
#include <math.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <ctype.h>  
#define max 10  
void main()  
{
float b[max],x[max];  
float a[max][max];  
int i,j,k,n,t;  
float c,s,d;  
char tl;  
clrscr();  
printf("Cho so phuong trinh n = ");  
scanf("%d",&n);  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran a :\n");  
91  
for (i=1;i<=n;i++)  
for (j=1;j<=n;j++)  
{
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran a ma ban da nhap\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
t=1;  
flushall();  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%d",&i);  
printf("Cho chi so cot can sua : ");  
scanf("%d",&j);  
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("Ma tran a ban dau\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
92  
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b ma ban da nhap\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("b[%d] = %15.5f\n",i,b[i]);  
printf("\n");  
flushall();  
t=1;  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%f",&i);  
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("b[%d] = %15.5f\n",i,b[i]);  
printf("\n");  
93  
for (k=1;k<=n-1;k++)  
{
for (i=k+1;i<=n;i++)  
{
b[i]=b[i]-b[k]*a[i][k]/a[k][k];  
for (j=k+1;j<=n;j++)  
a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*a[i][k]/a[k][k];  
}
}
{
if (a[n][n]==0)  
if (b[n]==0)  
printf("He da cho vo nghiem");  
else  
{
printf("He da cho co vo so nghiem");  
x[n]=c;  
}
else  
x[n]=b[n]/a[n][n];  
for (i=n-1;i>=1;i--)  
{
s=0;  
for (k=i+1;k<=n;k++)  
s=s+a[i][k]*x[k];  
x[i]=(b[i]-s)/a[i][i];  
}
printf("\n");  
printf("Nghiem cua he da cho la\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("x[%d] = %15.5f\n",i,x[i]);  
getch();  
}
}
§2. PHƯƠNG PHÁP GAUSS - JORDAN  
94  
Xét hệ phương trình AX=B. Khi giải hệ bằng phương pháp Gauss ta đưa  
nó về dạng ma trận tam giác sau một loạt biến đổi. Phương pháp khử Gauss-  
Jordan cải tiến khử Gauss bằng cách đưa hệ về dạng :  
EX = B*  
và khi đó nghiệm của hệ chính là B*. Trong phương pháp Gauss-Jordan mỗi  
bước tính phải tính nhiều hơn phương pháp Gauss nhưng lại không phải tính  
nghiệm. Để đưa ma trận A về dạng ma trận E tại bước thứ i ta phải có aii = 1  
và aij = 0. Như vậy tại lần khử thứ i ta biến đổi :  
1.aij = aij/aii (j = i + 1, i + 2,..., n)  
2.k = 1, 2,..., n  
akj = akj - aijaki (j = i + 1, i + 2,..., n)  
bk = bk - biaki  
Ví dụ : Cho hệ  
8 4  
4 10  
2 5 6.5 4  
2
5
0
4
x
24  
      
1
      
x2 32  
      
      
x3 26  
      
      
9 x4 21  
      
0 4  
4
Biến đổi lần 1: ta chia hàng 1 cho a11 = 8; nhân hàng 1 vừa nhận được với 4 và  
lấy hàng 2 trừ đi; nhân hàng 1 vừa nhận được với 2 và lấy hàng 3 trừ đi; giữ  
nguyên hàng 4 vì phần tử đầu tiên đã bằng 0 ta có  
1 0.5 0.25 0  
x
3
      
1
      
0
0
0
8
4
4
4
6
4
4
4
9
x2 20  
      
      
x3 20  
      
      
x4 21  
      
Biến đổi lần 2 : ta chia hàng 2 cho a22 = 8; nhân hàng 2 vừa nhận được với 0.5  
và lấy hàng 1 trừ đi; nhân hàng 2 vừa nhận được với 4 và lấy hàng 3 trừ đi;  
nhân hàng 2 vừa nhận được với 4 và lấy hàng 4 trừ đi ta có :  
1 0  
0 1 0.5  
0 0  
0 0  
0
0.25  
0.5  
2
x
1.75  
2.5  
10  
     
1
     
x2  
     
     
4
2
x3  
     
     
7
x4  
11  
     
Biến đổi lần 3: Ta chia hàng 3 cho a33 = 4; giữ nguyên hàng 1; nhân hàng 3  
vừa nhận được với 0.5 và lấy hàng 2 trừ đi; nhân hàng 3 vừa nhận được với 2  
và lấy hàng 4 trừ đi ta có :  
95  
1 0 0 0.25  
0 1 0 0.25  
x
1.75  
1.25  
2.5  
6
     
1
     
x2  
     
     
0 0 1  
0 0 0  
0.5  
6
x3  
     
     
x4  
     
Biến đổi lần 4: Ta chia hàng 4 cho a44 = 6; nhân hàng 4 vừa nhận được với -  
0.25 và lấy hàng 1 trừ đi; nhân hàng 4 vừa nhận được với 0.25 và lấy hàng 2  
trừ đi; nhân hàng 4 vừa nhận được với 0.5 và lấy hàng 3 trừ đi ta có :  
1 0 0 0  
0 1 0 0  
0 0 1 0  
0 0 0 1  
x
2
      
1
      
x2 1  
      
      
x3  
2
      
      
x4 1  
      
và ta có ngay vec tơ nghiệm.  
Chương trình 4-4  
#include <conio.h>  
#include <stdio.h>  
#include <math.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <ctype.h>  
#define spt 10  
void main()  
{
float a[spt][2*spt];  
float b[spt];  
int i,j,k,n,m,t;  
float max,c;  
char tl;  
clrscr();  
printf("Cho so phuong trinh n = ");  
scanf("%d",&n);  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran a :\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
for (j=1;j<=n;j++)  
96  
{
}
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
printf("\n");  
printf("Ma tran a ma ban da nhap");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
t=1;  
flushall();  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%d",&i);  
printf("Cho chi so cot can sua : ");  
scanf("%d",&j);  
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("Ma tran a\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
97  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b ma ban da nhap\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("b[%d] = %15.5f\n",i,b[i]);  
printf("\n");  
t=1;  
flushall();  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
scanf("%d",&i);  
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("%15.5f\n",b[i]);  
printf("\n");  
t=1;  
98  
flushall();  
i=1;  
while (t)  
{
if (a[i][i]==0)  
{
max=0;  
m=i;  
for (k=i+1;k<=n;k++)  
if (max<fabs(a[k][i]))  
{
m=k;  
max=fabs(a[i][i]);  
}
if (m!=i)  
{
for (j=i;j<=n;j++)  
{
c=a[i][j];  
a[i][j]=a[m][j];  
a[m][j]=c;  
}
c=b[i];  
b[i]=b[m];  
b[m]=c;  
}
if (m==i)  
{
t=0;  
printf("MA TRAN SUY BIEN");  
}
}
if (a[i][i]!=0)  
{
c=1/a[i][i];  
for (j=i;j<=n;j++)  
a[i][j]=a[i][j]*c;  
b[i]=b[i]*c;  
99  
for (k=1;k<=n;k++)  
if (k!=i)  
{
c=a[k][i];  
for (j=i;j<=n;j++)  
a[k][j]=a[k][j]-a[i][j]*c;  
b[k]=b[k]-b[i]*c;  
}
}
i=i+1;  
if (i==(n+1))  
t=0;  
}
if (i==(n+1))  
{
printf("NGHIEM CUA HE");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("x[%d] = %15.5f\n",i,b[i]);  
}
getch();  
}
§3. PHƯƠNG PHÁP CHOLESKY  
Trong phương pháp Cholesky một ma trận đối xứng A được phân tích  
thành dạng A = RTR trong đó R là một ma trận tam giác trên.Hệ phương trình  
lúc đó chuyển thành AX = RTRX = B. Như vậy trước hết ta phân tích ma trận A  
thành tích hai ma trận. Sau đó giải hệ phương trình RTY = B và cuối cùng là hệ  
RX = Y. Chương trình mô tả thuật toán này được cho dưới đây:  
Chương trình 4-5  
#include <conio.h>  
#include <stdio.h>  
#include <math.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <ctype.h>  
#define max 6  
100  
void main()  
{
float a[max][max],r[max][max];  
float b[max],x[max],y[max];  
int i,j,k,l,n,t;  
float s;  
char tl;  
clrscr();  
printf("Cho so phuong trinh n = ");  
scanf("%d",&n);  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran a : \n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
for (j=1;j<=n;j++)  
{
printf("a[%d][%d] = ",i,j);  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran a ma ban da nhap\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
flushall();  
t=1;  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran a khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
printf("Cho chi so hang can sua : ");  
101  
scanf("%d",&i);  
printf("Cho chi so cot can sua : ");  
scanf("%d",&j);  
printf("a[",i,",",j,"] = ");  
scanf("%f",&a[i][j]);  
}
if (toupper(tl)=='K')  
t=0;  
}
printf("Ma tran a\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
for (j=1;j<=n;j++)  
printf("%15.5f",a[i][j]);  
printf("\n");  
}
printf("\n");  
printf("Cho cac phan tu cua ma tran b : \n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
{
printf("b[%d] = ",i);  
scanf("%f",&b[i]);  
}
printf("\n");  
printf("Ma tran b ma ban da nhap\n");  
printf("\n");  
for (i=1;i<=n;i++)  
printf("b[%d] = %15.5f\n",i,b[i]);  
printf("\n");  
flushall();  
t=1;  
while (t)  
{
printf("Co sua ma tran b khong(c/k)?");  
scanf("%c",&tl);  
if (toupper(tl)=='C')  
{
102  
Tải về để xem bản đầy đủ
doc 45 trang yennguyen 13/04/2022 3820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • docbai_giang_phuong_phap_tinh_chuong_4_giai_he_phuong_trinh_dai.doc