Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Đại cương về xác suất
CHƯƠNG I. ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
§1:Biến cố và quan hệ của giữa các biến cố
1.Phép thử và biến cố.
2.Phân loại biến cố : gồm 3 loại
- Biến cố chắc chắn:
- Biến cố không thể có hay không thể xảy ra:
- Biến cố ngẫu nhiên: A, B, C…
3. So sánh các biến cố.
A B
Định nghĩa 1.1:
(A nằm trong B hay A kéo theo B) nếu
A xảy ra thì B xảy ra.Vꢀy
A B
B A
A = B
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
1
@Copyright 2010
B A, B A.
Định nghĩa 1.2: A đưꢁc gꢂi lꢃ biến cố sơ cấp
4. Các phép toán trên biến cố.
A.B = AB
xảy ra khi vꢃ chỉ khi A xảy ra và B xảy ra.
xảy ra khi vꢃ chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.
A+ B = A B
xảy ra khi vꢃ chỉ khi A xảy ra vꢃ B không xảy ra.
A− B
A = − A
xảy ra khi vꢃ chỉ khi A không xảy ra.
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
2
• Hì nh 1.1
Hì nh 1.2
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
3
@Copyright 2010
• Các phép toán của biến cố có tính chất giống các phép toán
của tꢀp hꢁp, trong đó có các tính chất đối ngẫu:
A = A ,A = A
i
i
i
i
i
i
i
i
Ngôn ngữ biểu diễn: tổng = có ít nhất một ;tích = tất cả đều.
(A = có ít nhất 1 phần tử có tính chất x) suy ra (không A = tất
cả đều không có tính chất x).
Ví dụ 1.1: (A = có ít nhất 1 người không bị lùn) suy ra( không A
= tất cả đều lùn).
• Định nghĩa 1.3: biến cố A vꢃ B đưꢁc gꢂi lꢃ xung khắc với
nhau nếu
A.B =
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
4
@Copyright 2010
§2: Các định nghĩa xác suất
• 1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
• Định nghĩa 2.1: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục lꢃ đồng
khả năng vꢃ có tất cả n kết cục như vꢀy. Kí hiệu m lꢃ số các
kết cục thuꢀn lꢁi cho biến cố A. Khi ấy xác suất của
biến cố A lꢃ:
(A) =
n
• Ví dụ 2.1: Trong 1 hộp có 6 bi trắng, 4 bi đen.Lấy ngẫu nhiên
ra 5 bi. Tính xác suất để lấy đưꢁc đúng 3 bi trắng.
C63.C42
• Giải
( phân phối siêu bội)
=
C150
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
5
@Copyright 2010
Chú ý: lấy 1 lúc 5 bi giống lấy lần lượt 5 bi không hoàn lại
• Ví dụ 2.2: Có 10 người lên ngẫu nhiên 5 toa tꢃu. Tính xác suất
410
để toa thứ nhất không có người lên:
=
510
2. Định nghĩa hình học về xác suất:
Định nghĩa 2.2: giả sử trong mỗi phép thử các kết cục lꢃ đồng
khả năng vꢃ đưꢁc biểu diễn bằng các điểm hình hꢂc trên miền
.
Kí hiệu D lꢃ miền biểu diễn các kết cục thuꢀn lꢁi cho biến cố
A. Khi ấy xác suất của biến cố A lꢃ:
P(A)= độ đo D/độ đo (độ đo lꢃ độ dꢃi,diện tích hoặc thể tích)
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
6
• Ví dụ 2.3: Chia đoạn AB cố định ngẫu nhiên thꢃnh 3 đoạn.
Tính xác suất để 3 đoạn đó lꢀp thꢃnh 3 cạnh của 1 tam giác.
• Giải: Gꢂi độ dꢃi đoạn thứ 1,2 lꢃ x,y.Khi ấy đoạn thứ 3 lꢃ l-x-y
x + y l
l
x + y
2
x + y l − x − y
l
1
4
D x +l − x − y y y (A) =
2
l
y +l − x − y x
x
2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
7
HÌ NH 2.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
8
• Ví dụ 2.4: Ném lên mặt phẳng có kꢄ nhꢅng đường thẳng song
song cách nhau 1 khoảng lꢃ 2a một cây kim có độ dꢃi 2t<2a.Tính
xác suất để cây kim cắt 1 trong các đường thẳng song song
Giải: Gꢂi I lꢃ điểm giꢅa cây kim khi quay kim,IH lꢃ khoảng cách
từ I tới đường thẳng gần nhất; lꢃ góc nghiêng.Khi ấy ta có:
dt = .a
0 h = IH a
0
D
0 h IK = t sin
0
2t
a
diện tích D =
t sind = 2t (A) =
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
9
@Copyright 2010
HÌNH 2.2
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
10
HÌNH 2.3
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
11
3. Định nghĩa xác suất theo tiên đề
• Định nghĩa 2.3: Ký hiệu
lꢃ tꢀp hꢁp các biến cố trong 1
phép thử. Ta gꢂi xác suất lꢃ 1 quy tắc đặt mỗi biến cố A với 1
số P(A) thỏa mãn các tiên đề:
(I)
0 P A 1
( )
P() =1,P = 0
(II)
( )
(III) Với mꢂi dãy biến cố đôi một xung khắc,ta có:
A = A
( )
i
i
i=1
i=1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
12
§3: Các định lý xác suất
1: Định lý cộng xác suất
Định lý 3.1. P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
n
n
A = A − A A +
A A A +...+ (−1)n−1 P(A A ...A )
( )
(
)
(
)
i
i
i
j
i
j
k
1
2
n
i=1
i=1
i j
i jk
Ví dụ 3.1: Có k người lên ngẫu nhiên n toa tꢃu (k<n).Tính xác
suất để tất cả các toa đều có người lên
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
13
Bꢃi giải
• A - tất cả các toa đều có người lên
• - có ít nhất 1 toa không có người lên.
n
= A
A
• - toa thứ i không có người lên, i =1, 2,…n
i
i
i=1
k
k
k
n −1
n − 2
n −3
( )
( )
( )
= C1
−Cn2
+ Cn3
( )
n
nk
nk
nk
1k
n
+...+ −1 .Cn−1 + 0
( )
n
nk
=1−
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
14
@Copyright 2010
Ví dụ 3.2: Có n bức thư bỏ ngẫu nhiên vꢃo n phong bì có đề sẵn
địa chỉ. Tính xác suất để có ít nhất 1 bức thư đúng địa chỉ.
Bꢃi giải
A - Có ít nhất 1 bức đúng.
n
A = A
i
- Bức thứ i đúng
i
i=1
n −1 !
n − 2 !
n − 3 !
( )
( )
( )
= C1
− Cn2
+ Cn3
( )
n
n!
n!
n!
1!
1
n
n+1
+... + −1 .Cn−1 + −1 .
( )
( )
n
n!
n!
1 1 1
1
n+1
=1− + − +...+ −1 .
( )
2! 3! 4!
n!
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
15
2. Định lý nhân xác suất
• Định nghĩa 3.2: Xác suất của biến cố B khi biết rằng biến cố A
đã xảy ra đưꢁc gꢂi lꢃ xác suất của B với điều kiện A vꢃ kí hiệu
lꢃ P(B/A).
• Chú ý: biến cố A có thể xảy ra trước, đồng thời hoặc sau B
• Ngôn ngꢅ biểu diễn: P(B/A) = xác suất B biết (nếu)A hoặc Cho
A… tính xác suất B.
• Định lý 3.2: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
, ... = . / . / ... / ...
n
1
2
1
2
1
2
3
1
n
1
2
n−1
. /
( ) ( ) (
)
/ =
=
(
)
• Hệ quả:
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
16
@Copyright 2010
HÌNH 3.1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
17
• Định nghĩa 3.3:Hai biến cố A,B đưꢁc gꢂi lꢃ độc lꢀp với nhau
nếu xác suất của biến cố nꢃy không thuộc vꢃo việc biến có kia
đã xảy ra hay chưa trong 1 phép thử.
• Định nghĩa 3.4:Một hệ các biến cố đưꢁc gꢂi lꢃ độc lꢀp toꢃn
phần nếu mỗi biến cố của hệ độc lꢀp với 1 tổ hꢁp bất kỳ của các
biến cố còn lại.
• Định lý 3.3: A, B độc lꢀp khi vꢃ chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)
,i =1,n
• Giả sử
lꢃ độc lꢀp toꢃn phần. Khi ấy ta có:
i
n
n
1.( A ) =
( )
i
i
i=1
i=1
n
2.( A ) =1−
n
( )
i
i
i=1
i=1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
18
Chú ý: Trong trường hợp độc lập không nên dùng công thức
cộng xác suất mà nên dùng công thức nhân xác suất.
• Ví dụ 3.3: 1 mạng gồm n chi tiết mắc nối tiếp.Xác suất hỏng
của chi tiết thứ i lꢃ . Tính xác suất để mạng hỏng.
P
i
n
i
• Giải:
- biến cố chi tiết thứ i hỏng
A - biến cố mạng hỏng
=
i
i=1
• Vꢀy xác suất để mạng hỏng lꢃ:
n
n
= =1− =1− 1− 1− ... 1−
( )
(
1 )(
2 ) (
)
i
i
n
i=1
i=1
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
19
Ví dụ 3.4: Tung 3 xúc xắc. Tính xác suất để:
• 1. Tổng số chấm bằng 9 biết có ít nhất 1 mặt 1 chấm
2. Có ít nhất 1 mặt 1 chấm biết số chấm khác nhau từng
đôi một.
• Giải:
1. Gꢂi A lꢃ có ít nhất 1 mặt 1 chấm.
B lꢃ tổng số chấm bằng 9
C lꢃ các số chấm khác nhau từng đôi một
63 − 53
15 63
15
91
( )
=
( )
63
15
63
/ =
= .
=
(
)
63 63 −53
=
( )
Khoa Khoa Học và Máy Tính
Xác Suất Thống Kê. Chương 1
@Copyright 2010
20
Tải về để xem bản đầy đủ
31 trang
13/04/2022
6320
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Đại cương về xác suất", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xac_suat_thong_ke_chuong_1_dai_cuong_ve_xac_suat.ppt
