Tóm tắt Luận văn Một số dạng bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình Trung học Phổ thông
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
PHẠM THỊ MINH QUYÊN
MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN
ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TRONG
CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng – Năm 2016
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG
Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung
Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết
Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.
Tìm hiểu luận văn tại:
Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán đại số tổ hợp và xác suất là một trong các nội dung quan
trọng của toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khoa học, công nghệ, kinh tế…. Do vậy đại số tổ hợp và xác suất đã
được đưa vào chương trình toán từ lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh
bậc phổ thông trung học những kiến thức cơ bản quan trọng liên quan
đến lĩnh vực này.
Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy đối với đa số học sinh
việc tiếp thu kiến thức về đại số tổ hợp và xác suất là rất khó khăn.
Sách giáo khoa đổi mới trình bày phần kiến thức này khá đầy đủ và
dể hiểu, tuy nhiên học sinh làm bài lại không đạt yêu cầu do các
em thường áp dụng máy móc, nếu gặp bài toán lạ hoặc thay đổi đề
bài giữ nguyên dạng toán thì học sinh không biết cách xử lý.
Một trong các nguyên nhân là do học sinh chưa nắm bắt kiến
thức, phân loại bài toán để giải quyết nên kết quả học tập không
cao, kiến thức dễ quên. Để hiểu sâu, biết vận dụng linh hoạt các kiến
thức về đại số tổ hợp và xác suất vào giải quyết các bài toán, học sinh
cần phải nắm vững các khái niệm, các công thức cơ bản, nhận dạng
và phân loại các bài toán để tìm phương pháp giải thích hợp.
Với mong muốn được tìm hiểu thêm về chủ đề đại số tổ hợp và
xác suất cùng các phương pháp giải tương ứng thể hiện trong chương
trình toán bậc trung học phổ thông nhằm góp phần nâng cao chất
lượng dạy học của bản thân và được sự gợi ý của giáo viên hướng
dẫn, tôi đã chọn đề tài “Một số dạng bài toán đại số tổ hợp và xác
suất trong chương trình trung học phổ thông” làm đề tài cho luận
văn Thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu, tìm hiểu và nhận dạng các
2
bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình phổ thông trung
học, từ đó thể hiện phương pháp giải tương ứng qua một số chủ đề cụ
thể.
Trong mỗi dạng bài toán sẽ đưa vào các ví dụ minh họa và
phương pháp giải tương ứng.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các dạng bài toán về đại số
tổ hợp và xác suất.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các phương pháp giải toán
thích hợp cho các dạng bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương
trình phổ thông trung học.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài
luận văn.
- Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện
đề tài.
- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các
kết quả đang nghiên cứu.
5. Cấu trúc của luận văn:
Mở đầu
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp và xác suất
Chương 2. Các dạng bài toán thường gặp và phương pháp giải.
3
CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
VÀ XÁC SUẤT
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập hợp, quy tắc
cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Nhị thức Newton, biến
cố, xác suất của biến cố, các quy tắc tính xác suất, biến ngẫu nhiên rời
rạc, ... nhằm làm cơ sở cho chương tiếp theo.
1.1. NHẮC LẠI VỀ TẬP HỢP
1.2. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN
1.3. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
1.4. NHỊ THỨC NEWTON
1.5. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1.6. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1.7. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
CHƢƠNG 2
CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƢỜNG GẶP VÀ
PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Trong chương này, tôi trình bày phương pháp giải và ví dụ minh
họa một số bài toán như: Tìm số tổ hợp; chứng minh đẳng thức, bất
đẳng thức tổ hợp; giải phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình đại số tổ hợp; bài toán ứng dụng nhị thức Newton; bài toán tính
xác suất của một biến cố... Các bài toán này thường gặp trong các đề
thi tuyến sinh Đại học, Cao đẳng,... Phần kiến thức trình bày trong
chương được tham khảo ở các tài liệu [1], [6], [7], [8], [9], [10] ,
[11] , [12] , [13] , [14] , [15] ,[16], [17] , [18] , [19] , [20] , [21].
4
2.1. BÀI TOÁN TÌM SỐ TỔ HỢP
Ứng dụng đặt trưng của các công thức tổ hợp là đếm số phương
án. Nhờ các công thức này mà việc đếm số phương án trở nên đơn
giản và chính xác. Tùy theo mỗi bài toán khác nhau mà ta đưa ra
phương pháp giải cho phù hợp, ngắn gọn, dễ hiểu,...Đa số các bài toán
dạng này đều đưa về hai phương pháp giải như sau:
Phương pháp tính trực tiếp:
- Dựa vào yêu cầu và số liệu của đề bài. Chia bài toán ra các
trường hợp (nếu có), trong mỗi trường hợp lại phân thành các giai
đoạn (nếu có).
- Xem xét mỗi trường hợp cụ thể, mỗi giai đoạn cụ thể ta có thể
sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp hoặc tổ hợp.
- Đáp án là tổng kết quả của các trường hợp trên.
Phương pháp loại trừ: Đối với nhiều bài toán, phương pháp
trực tiếp rất dài. Ta sử dụng phương pháp loại trừ (phần bù) theo
phép toán :
A A X A X \ A
- Chia yêu cầu của đề thành 2 phần là yêu cầu chung X và yêu
cầu riêng A. Xét là phủ định của A, nghĩa là không thỏa yêu cầu.
- Tính số |X| và | |. Đáp án là |X| - | |.
.
A
A
A
Ta có thể xét một số ví dụ cụ thể liên quan đến việc vận dụng
công thức tổ hợp vào một trong hai phương pháp trên như sau:
2.1.1. Bài toán lập số tự nhiên
Phương pháp: Có nhiều phương pháp giải trong đó phương
pháp giải thông thường nhất:
- Gọi số cần tìm là: n = a1a2........an
.
- Liệt kê các tính chất của số n thỏa mãn yêu cầu.
- Dựa vào tính chất xem bài toán có chia trường hợp không.
5
- Đếm các chữ số theo thứ tự như sau:
+ Đếm các chữ số có mặt trong tính chất.
+ Đếm chữ số đầu tiên (nếu chưa đếm), lưu ý chữ số 0
không được đứng đầu tiên.
+ Đếm các chữ số còn lại.
- Sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, hoán vị, tổ
hợp...
* Bài toán lập số tự nhiên (không có chữ số 0)
Ví dụ 2.1. (ĐH khối A 2005).
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng
chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
Ví dụ 2.2. (ĐH khối B 2005).
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1,
5.
Ví dụ 2.3. (ĐH Ngoại thƣơng TPHCM khối A 2001).
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số
có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
* Bài toán lập số tự nhiên (có chữ số 0)
Ví dụ 2.4. (ĐH Giao thông vận tải 2001).
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu
số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Ví dụ 2.5.(ĐH Huế khối ABV 2001).
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số
nào lặp lại đúng 3 lần?
2.1.3. Bài toán sắp xếp các phần tử từ các tập hợp.
Đặc trưng của bài toán: Sắp xếp một tập hợp gồm có n phần tử
khác nhau vào n chỗ, mỗi hoán vị n phần tử đó ta được một cách sắp
6
xếp mới.
Phương pháp:
- Chọn các phần tử ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tính
chất mà bài toán yêu cầu.
- Phân chia trường hợp, giai đoạn (nếu có).
- Tính số cách sắp xếp bằng cách áp dụng công thức tổ hợp,
chỉnh hợp, hoán vị...
Tôi xin minh họa giải bài toán chọn các phần tử từ các tập hợp
qua một số ví dụ sau:
Ví dụ 2.8. (ĐH Cần Thơ 2001).
Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7
học sinh nam đứng liền nhau..
Ví dụ 2.9. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001).
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3
học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới).
Ví dụ 2.10. (ĐH Hàng hải 1999).
Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào
một chiếc ghế dài sao cho:
a. Bạn C ngồi chính giữa.
b. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
* Bài toán sắp xếp n vật trong đó có m vật giống nhau (m < n):
Có tất cả n vật trong đó có m vật giống nhau loại A; k vật giống
nhau loại B;…, (m+k+⋯<n); các vật còn lại đôi một khác nhau; thì số
n!
cách xếp chúng thành một hàng ngang là
dụ sau:
. Cụ thể qua các ví
k!m!...
7
Ví dụ 2.11. Có 5 viên bi xanh giống nhau, 4 viên bi trắng giống
nhau và 3 viên bi đỏ đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp số
bi trên vào 12 ô theo một hàng ngang sao cho mỗi ô có một viên bi?
* Bài toán sắp xếp theo bàn tròn:
Ví dụ 2.12. Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một bàn 5 chỗ. Tính số
cách sắp xếp sao cho:
a. A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn có đánh số.
b. A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn không đánh số.
Ví dụ 2.13. Có bao nhiêu cách xếp vị trí cho 5 học sinh nam và 3
học sinh nữ quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào
cạnh nhau? hai cách xếp khác nhau về vị trí nhưng có cùng thứ tự như đối
với các học sinh trên được coi là một.
Ví dụ 2.14. Tìm số cách sắp xếp n cặp vợ chồng ngồi quanh một
bàn tròn sao cho:
a. Đàn ông và đàn bà ngồi xen kẽ.
b. Mỗi người đàn bà ngồi bên cạnh chồng mình.
2.1.4. Bài toán phân chia các phần tử từ các tập hợp.
Đặc trưng của bài toán là phân chia một tập hợp n phần tử khác
nhau thành k nhóm, mỗi nhóm gồm ni phần tử. Việc chọn ni phần tử
trong n phần tử là phép chọn và loại trừ dần các phần tử đã chọn.
Phương pháp:
- Chọn các phần tử có tính chất thỏa mãn đề bài để chia cho mỗi
nhóm (chia cho đến nhóm thứ k-1, nhóm thứ k là tất cả các phần tử
còn lại).
- Phân chia trường hợp, giai đoạn (nếu có).
- Áp dụng các quy tắc cộng, quy tắc nhân, …
Ví dụ 2.15: (HV Kỹ thuật quân sự 2001).
8
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người, trong ngày cần cử 3
người làm nhiện vụ ở điểm A, 2 người làm nhiện vụ ở điểm B, 4 người
làm nhiện vụ ở điểm C. Hỏi có bao nhiêu cách phân công nhiệm vụ.
Ví dụ 2.16. (ĐH khối B 2005).
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3
nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về
giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
* Phương pháp tạo vách ngăn:
- Xếp m vật giống nhau vào m vị trí theo hàng ngang giữa
chúng sẽ tạo ra m-1 chỗ trống.
- Đặt bất kỳ n-1 vạch vào m-1 chỗ trống ta sẽ được n nhóm
khác nhau, mỗi nhóm có ít nhất 1 vật.
- Số cách chia m vật giống nhau thành n nhóm thỏa mỗi nhóm
n1
m1
có ít nhất 1 vật là:
C
.
Ví dụ 2.17. Có bao nhiêu cách phân chia 100 đồ vật giống nhau
cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất một đồ vật.
Ví dụ 2.18. Có bao nhiêu cách chia 10 viên kẹo đỏ giống nhau
cho 3 em bé, mỗi em có ít nhất 1 viên.
2.2. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG
THỨC TỔ HỢP
Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn
cách giải phù hợp như:
Sử dụng các công thức quan hệ giữa các đại lượng tổ hợp.
Sử dụng các đẳng thức, bất đẳng thức đã học.
Sử dụng quy nạp toán học.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
- Sử dụng các công thức tổ hợp đưa đẳng thức, bất đẳng thức
đại số tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường.
9
- Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy
ra điều phải chứng minh.
2.2.1. Bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp:
Ví dụ 2.19. (ĐH khối D 2003).
Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2Cnn2 2Cn2Cn3 Cn3Cnn3 100.
Ví dụ 2.20. (CĐ Khí tƣợng thuỷ văn khối A 2003).
Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: A3n 2Cn2 16n.
Ví dụ 2.21.
Chứng minh rằng: Với n, k
, 3 k n ta có:
n2
nk
n1
nk
A
A k2Annk.
…..
2.2.1. Bài toán chứng minh bất đẳng thức tổ hợp:
Ví dụ 2.22. (CĐ Giao thông II 2003).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta đều có:
n
n1
2 2
n 1
C0C1.....Cn
.
n
n
n
Ví dụ 2.23. Chứng minh rằng:
2n
n1
2
2
nn
, với n
, n > 2.
(1.2...n)
Ví dụ 2.24. Chứng minh rằng: n! 2n1,n
Ví dụ 2.25: Chứng minh:
C2nnkC2nnk (C2nn )2 (với 0 k n;n,k ).
2.3. BÀI TOÁN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG
TRÌNH, HỆ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Phương pháp:
- Đặt điều kiện bài toán.
10
- Vận dụng các công thức liên quan đến đại số tổ hợp và rút gọn
chúng.
- Đưa về phương trình, bất phương trình, hệ đại số tổ hợp về
các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương
trình cơ bản (đặt ẩn phụ nếu cần) . Giải tìm nghiệm và chọn nghiệm
thích hợp.
- Kết luận nghiệm.
2.3.1. Bài toán giải phƣơng trình
1
Ví dụ 2.26. Giải phương trình PCx31 30 3Cx2 5P
.
x
x
x1
2
2
Ví dụ 2.27. Giải phương trình: C4x C5x C6x
.
P
x
Ví dụ 2.28. Giải phương trình: 2( Cx2 Cx3 ) = 3x2 – 5x.
Ví dụ 2.29. Giải phương trình:
2 x2
C C
x x
2 3 3 x3
2C C C C
x x x x
.
100
2.3.2. Bài toán giải bất phƣơng trình
Ví dụ 2.30. (ĐHBKHN-2000) .
1
6
Giải bất phương trình: A2 Ax2 Cx3 10
.
2x
2
x
Ví dụ 2.31. (ĐH hàng hải 99).
x3
x1
C
1
Giải bất phương trình:
.
Ax41 14P
3
2.3.3. Bài toán giải hệ đại số tổ hợp
Ví dụ 2.32.
Tìm x, y biết:
y
y1 y1 y1
): A :C
(A
x1
yA
x1
10:2:1
.
x
x
11
y
x
y
x
2A 5C 90
Ví dụ 2.33. (ĐHBK HN 2001). Giải hệ
5Ay 2Cy 80
x
x
2.4. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NHỊ THỨC NEWTON
2.4.1. Bài toán tìm hệ số của số hạng chứa trong khai
x
triển nhị thức Newton
a. Bài toán tìm hệ số của số hạng chứa
thức Newton
Phương pháp: Tìm hệ số của số hạng chứa x
x
trong khai triển nhị
(
là một số cho
n
trước) trong khai triển nhị thức Newton của p(x) f (x) ta làm
như sau:
n
- Viết p(x) a xg(k) , số hạng chứa
x
tương ứng với
k
k0
g(k) ; giải phương trình ta tìm được
k
.
- Nếu k thì hệ số phải tìm là ak . Nếu k hoặc
k nthì trong khai triển không có số hạng chứa
bằng 0.
x
, hệ số phải tìm
Ví dụ 2.34. ( Đề ĐH Khối A - 2003).
1
x3
n
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển
x5 biết
n1
n4
rằng
C
Cnn3 7 n 3 .
Ví dụ 2.35. (ĐH khối D năm 2007).
5
10
Tìm hệ số của x5 trong khai triển x 1 2x x2 1 3x
.
Ví dụ 2.36. Tìm hệ số của một hạng tử chứa x4 trong khai triển:
10
1 2x 3x2
.
12
Lưu ý:
- Hệ số
x
trong khai triển tổng đa thức p1(x) p2 (x) ... là
tổng các hệ số của số hạng chứa . Hệ số
trong khai triển của
x
x
tích p(x)q(x) ... là tổng các hệ số sau khi phân tích đầy đủ dạng
x x x0 x1x1 ... x0x
.
- Để tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển nhị
n
n
thức Newton của p(x) f (x) ta viết p(x) a xg(k) , số hạng
k
k0
không chứa x tương ứng với g(k) 0. Giải phương trình g(k) 0 với
điều kiện k N,k n , ta tìm được . Thay k tìm được vào số hạng
k
tổng quát để tìm hệ số của số hạng không chứa x.
b. Bài toán tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức
Newton
Phương pháp:
- Khai triển (ax b)m thành đa thức. Tìm hệ số của số hạng
tổng quát.
- Giải các bất phương trình ak1 ak và ak1 ak , hoặc
ak1 ak và ak1 ak với ẩn k tìm nghiệm.
a a
k
k1
Hoặc giả sử ak là hệ số lớn nhất, xét hệ
giải tìm
ak ak1
nghiệm k.
- Chọn số tự nhiên k
a
m thỏa mãn k là hệ số lớn nhất phải
tìm.
Ví dụ 2.37. (ĐH khối A năm 2008).
Cho khai triển (1 2x)n a0 a x a2x2 ... an xn , trong
1
đó nN* .Tìm số lớn nhất trong các số a0 ,a1,a2 ,...,an biết các hệ
13
a1 a2
an
số a0 ,a1,a2 ,...,an thỏa mãn hệ thức a0
... 4096.
2
22
2n
Ví dụ 2.38. (ĐHSP HN khối A 2001).
1
3
2
10
Trong khai triển của
x thành đa thức: a0 + a1x + a2x2 +
3
… + a9x9 + a10x10 (ak R). Hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).
Ví dụ 2.39. Xét khai triển
n
n
x 2
Ck xk 2nk a0 a1x ... an xn.
n
k0
Tìm n để max a ,a ,a ,...,a a .
n
0
1
2
10
2.4.2. Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh một số hệ
thức, tính tổng tổ hợp
a. Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton, các công
thức tổ hợp, các tính chất của tổ hợp
Phương pháp.
- Áp dụng công thức nhị thức Newton:
n
(a b)n Cn0an Cn1an1b ...Cnk ankbk ...Cnbn Ck ankbk
n
n
k0
(k n;k,n
- Sử dụng các phép biến đổi đại số, …
- Vận dụng các công thức tổ hợp
- Dựa vào điều kiện bài toán thay a,b bởi một giá trị cụ thể.
Tùy vào mỗi bài toán ta có thể thực hiện thứ tự các bước biến
đổi cho phù hợp.
Ví dụ 2.40. (CĐ Xây dựng số 2- 2006).
Chứng minh:
Cn03n Cn13n1 ...(1)Cnn Cn0 Cn1 Cn2 ...Cnn.
14
Ví dụ 2.41. ( ĐH Hàng Hải-2000).
Chứng minh rằng:
C20n 32C22n 34C24n ...32nC2n 22n1 22n 1 .
2n
* Ngoài các ví dụ chỉ áp dụng nhị thức Newton ta còn có thể kết
hợp sử dụng nhị thức Newton kết hợp với sử dụng các công thức khác
có liên quan đại số tổ hợp để giải bài toán.
+ Bài toán áp dụng công thức : kCnk nCk1 (*)
n1
Ví dụ 2.42. (ĐH khối A-2005).
Tìm số nguyên dương n sao cho:
2n1
2n1
C21n1 2.2C22n1 3.22.C23n1 4.23C24n1 ...(2n 1).22n.C
2005.
Ví dụ 2.43. (ĐH Bách khoa HN-1999).
Chứng minh đẳng thức sau:
1Cn1 2Cn2 3Cn3 ...(1)n1 nCnn 0
+ Bài toán áp dụng công thức :
1
1
(k 1)C (n 1)Cnk hoặc
Cnk
C . (k n;k,n
k1
n1
k1
n1
k 1
n 1
Ví dụ 2.44. (ĐHGTVT 2000).
Cho n là số tự nhiên n 1. Chứng minh đẳng thức sau:
1
1
1
1
1
2n1 1
n 1
Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn1
Cnn
.
2
3
4
n
n 1
Ví dụ 2.45. (ĐH khối A-2007)
Chứng minh rằng:
1
2
1
1
1
22n 1
2n 1
2n1
2n
C21n C23n C25n ...
C
.
4
6
2n
Trong trường hợp nếu số hạng tổng quát của tổng chưa có
dạng đó thì cần biến đổi trước khi áp dụng tính chất (**). Ta xét ví dụ
sau:
15
Ví dụ 2.46.
1
1
1
1
2n
2n
Tính tổng .C20n .C22n .C24n ...
C .
2
4
6
2n 2
+ Bài toán áp dụng công thức:
Cnk Cnnk (0 k n;k
Ví dụ 2.47. Chứng minh đẳng thức sau:
C20n1 C21n1 C22n1 ...C2nn1 22n (nN*)
b. Ứng dụng đạo hàm cấp 1
Phương pháp :
- Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ
1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng kCnk hoặc
kCnk ankbk1 thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính.
- Xét đa thức:
n
a x C0an C1an1x ...Cn1axn1 Cnnxn.
n
n
n
- Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:
n1
n a x Cn1an1 ....(n 1)Cnn1a xn2 nCnnxn1.
- Thay a, x bằng hằng số thích hợp ta giải quyết được bài toán.
Ví dụ 2.48. (Đề tuyển sinh đại học A -2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho :
2n1
2n1
C21n1 2.2C22n1 3.22C23n1 4.23C24n1 ...(2n 1)22n C
2005.
Ví dụ 2.49. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003).
Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n là số nguyên
dương. Từ đó chứng minh rằng:
2n1
2n
2n
2n
1C12n 3C32n ...(2n 1)C 2C22n 4C24n 2nC
.
16
Lưu ý: Cũng có những bài toán ta phải nhân thêm với một biểu thức
của x hoặc tách ra thành tổng 2 biểu thức hoặc nhân chia, cộng, trừ
với một biểu thức khác, ...rồi mới lấy đạo hàm hai vế hoặc ngược lại.
2007
2007
Ví dụ 2.50. Tính tổng: 2008C20007 2007C21007 ...C
.
Ví dụ 2.51.
2014
2014
Tính tổng: S 4C22014 8C24014 12C26014 ... 4028C
.
c. Ứng dụng đạo hàm cấp 2
Phương pháp:
- Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,…,(n-1)n hay (n-
1) n,…,3.2,2.1 hay 12,22,…,n2 (không kể dấu) tức có dạng tổng quát
hơn k k 1 Ck ankbk thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính.
n
n
- Xét đa thức a bx C0an C1an1bx ...Cnbnxn.
n
n
n
Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được:
n1
bn a bx Cn1an1b 2Cn2an2b2x... nCnnbnxn1.
Đạo hàm lần nữa:
b2n n1 a bx n2 2.1C2an2b2 ... n n1 Cnbnxn2.
n
n
- Thay a, b, x bởi các hằng số thích ta giải quyết được bài toán.
Ví dụ 2.52. (ĐH AN-CS Khối A 1998)
n
Cho f x 1 x , 2 n
a. Tính f 1
.
b. Chứng minh rằng:
2.1C2 3.2C3 ... n1 nCn n n1 2n2.
n
n
n
Ví dụ 2.53. Chứng minh:
1.Cn1 22 Cn2 32 Cn3 ... n2Cnn = (n2 + n). 2n - 2
,
n
17
d. Ứng dụng tích phân
Phương pháp: Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa
1 1 1
1
các phân số 1; ; ; ;...; ;... và mẫu số được xếp theo thứ tự tăng
2 3 4
n
hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ đến việc sử dụng tích
phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp.
- Lấy tích phân cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton
và vế đã khai triển.
- Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận.
Lưu ý: Căn cứ vào đẳng thức hay bất đẳng thức cần chứng
minh để chọn tích phân hai vế của khai triển nhị thức Niu tơn (a+b)n
theo a hay b rồi thay giá trị của a, b cho phù hợp.
Ví dụ 2.54. (ĐHGTVT 2000).
Cho n là số tự nhiên n 1. Chứng minh đẳng thức sau:
1
1
1
1
1
2n1 1
n 1
Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn1
Cnn
.
2
3
4
n
n 1
Ví dụ 2.55. (ĐH Khối B-2003)
Cho nN* . Tính tổng:
22 1
2
23 1
3
2n1 1
n 1
S Cn0
Cn1
Cn2 ...
Cnn.
- Trong một số bài toán ta cần phải nhân thêm x, x2,...hoặc ta
cần kết hợp giữa đạo hàm và tích phân như trong ví dụ sau.
1
1
1
1
Ví dụ 2.56. Tính S= Cn0 Cn1 Cn2 ...
Cnn
.
2
3
4
n 2
Ví dụ 2.57. Chứng minh đẳng thức sau:
Cn1 3Cn2 7Cn3 ...(2n 1)Cnn 3n 2n (n
.
e. Sử dụng số phức
18
Ta dùng số phức để tính tổng của các Ckn khi tổng này có hai
đặc điểm:
+ Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau.
+ k luôn lẻ hoặc luôn chẵn.
Phương pháp:
- Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích
hợp (thường ta chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng
một số phức trong hai cách tính.
- Khai triển trực tiếp các số phức theo dạng lượng giác của số
phức hoặc áp dụng công thức Moivre. Sau đó so sánh phần thực và
phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
+ Áp dụng dạng lượng giác của số phức:
Ví dụ 2.58. Tính tổng sau:
2006
2009
2008
2009
S = C20009 C22009 C24009 ...C C
.
2007
2009
2009
2009
B = C21009 C23009 C25009 ...C C
.
Ví dụ 2.59. Chứng minh đẳng thức:
2013
C21013 C23013 C25013 ...C 21006.
2013
+ Áp dụng công thức Moivre:
Ví dụ 2.60. Tính các tổng sau:
16
19
18
19
S = C109 C129 C149 ...C C .
Ví dụ 2.61. Tính tổng
2
2
4
3
6
9
18
10 20
S= 2.3C20 - 4.3 C20 + 6.3 C20 -...+ 18.3 C20 - 20.3 C20.
2.5. TÍNH XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ
2.5.1. Tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển.
Phương pháp:
- Để tính xác suất P(A) của một biến cố A ta thực hiện các bước
sau:
Tải về để xem bản đầy đủ
26 trang
10880
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Luận văn Một số dạng bài toán đại số tổ hợp và xác suất trong chương trình Trung học Phổ thông", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tom_tat_luan_van_mot_so_dang_bai_toan_dai_so_to_hop_va_xac_s.pdf
