Thế tương tác Coulomb trong lớp ba graphene
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP
Tap chí Khoa hoc so 39 (08-2019)
THẾ TƢƠNG TÁC COULOMB TRONG LỚP BA GRAPHENE
Nguyen Van Men(*)
Toùm taét
Thế tương tác Coulomb có đóng góp đáng kể vào các đặc tính quan trọng của hệ nhiều hạt mang
điện. Bài báo này nhằm xác định biểu thức giải tích của thế tương tác Coulomb giữa các điện tử
trong một cấu trúc lớp được cấu tạo từ ba lớp graphene song song nhau, được ngăn cách bởi những
lớp điện môi khác nhau bằng cách giải phương trình Poisson. Kết quả giải tích và khảo sát bằng số
cho thấy các hàm thế Coulomb trong không gian xung lượng chịu ảnh hưởng mạnh bởi sự không
đồng nhất của điện môi nền. Thế Coulomb xuyên lớp giảm rất nhanh theo vector sóng và khoảng
cách giữa các lớp trong khi các thế nội lớp bị ảnh hưởng yếu hơn và phụ thuộc vào môi trường xung
quanh các lớp graphene lân cận.
Từ khóa: Thế tương tác Cloulomb, graphene, điện môi nền không đồng nhất.
1. Giới thiệu
được sử dụng để xác định các tính chất khác
Bài toán hệ nhiều hạt tương tác là một trong trong graphene như kích thích tập thể, hệ số dẫn
những bài toán quan trọng của vật lý hiện đại vì quang, tốc độ sóng âm… [3], [14]. Trong cấu
việc giải bài toán loại này sẽ giúp giải quyết trúc graphene nhiều lớp có điện môi nền đồng
được nhiều bài toán quan trọng khác, giúp xác nhất, ngoài thế tương tác Coulomb nội lớp (có
định những đặc tính quan trọng của hệ khảo sát. dạng giống như đối với graphene đơn lớp) thì thế
Tương tác Coulomb là loại tương tác có cường Coulomb xuyên lớp, đặc trưng cho tương tác
độ khá lớn vì thế không thể bỏ qua trong hệ giữa các điện tử trong hai lớp khác nhau, có sự
nhiều hạt mang điện. Đặc biệt hơn, trong các cấu xuất hiện của hàm lũy thừa âm cơ số tự nhiên
trúc lớp thì thế Coulomb được xem là thế chủ của khoảng cách giữa hai lớp và vector sóng [4],
yếu, nó đóng góp đáng kể vào nhiều đặc trưng cơ [15], [16]. Các hàm này giảm rất nhanh khi
bản của cấu trúc như năng lượng trạng thái cơ khoảng cách giữa hai lớp và vector sóng tăng lên
bản, điện trở Coulomb drag, kích thích tập thể … nhưng lại có đóng góp đáng kể đối với vùng
Việc xác định được biểu thức tường minh của thế sóng dài và khoảng cách hai lớp nhỏ nên đã gây
tương tác Coulomb trong hệ là cơ sở để xác định ra nhiều đặc tính mới lạ cho cấu trúc lớp đôi so
các đặc trưng cơ bản của hệ.
với các lớp đơn cấu thành [4], [13], [15], [16].
Thế Coulomb bắt nguồn từ tương tác tĩnh Đối với hệ gồm hai lớp graphene được ngăn cách
điện giữa các điện tích điểm, tuân theo định luật bởi những lớp điện môi khác nhau, biểu thức thế
Coulomb và có biểu thức khá đơn giản đối với hệ tương tác Coulomb được xác định nhờ việc giải
hai điện tích, đã được xác định và sử dụng từ lâu phương trình Poisson và có dạng khá phức tạp
trong các bài toán vật lý. Tuy nhiên, đối với hệ theo vector sóng, khoảng các giữa hai lớp và đã
gồm số rất lớn các hạt đồng nhất và phân bố tập được Badalyan các cộng sự công bố và sử dụng
trung trong vùng không gian hẹp như trong các [1]. Sau đó, thế tương tác cho hệ loại này cũng
cấu trúc lớp thì biểu thức của thế, cần xác định được nhóm nghiên cứu của Nguyễn Quốc Khánh
trong không gian xung lượng cho tiện sử dụng, là sử dụng để xác định phổ kích thích tập thể và các
không đơn giản. Vấn đề càng phức tạp hơn đối tính chất khác của lớp đôi [5], [6], [10]. Biểu
với các hệ có chứa graphene – cấu trúc chỉ gồm thức thế tương tác Coulomb trong cấu trúc lớp
một lớp nguyên tử với hàm phân bố là dạng hàm đôi gồm một lớp graphene và một lớp khí điện tử
delta Dirac.
hai chiều với điện môi nền không đồng nhất cũng
Trong graphene đơn lớp, thế tương tác đã được tính toán và được sử dụng để tính điện
Coulomb đã được xác định như một hàm tỷ lệ trở Coulomb drag, tần số plasmon và tốc độ phân
nghịch với vector sóng và hằng số điện môi nền rã plasmon [7], [8], [11], [12]. Cấu trúc gồm
trung bình bao bọc lớp graphene. Kết quả này đã
nhiều lớp graphene đã được Zhu và các cộng sự
nghiên cứu với điện môi nền đồng nhất [17].
Theo tìm hiểu của tác giả, những hệ ba lớp
(*)
Trường Đại học An Giang.
82
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP
Tap chí Khoa hoc so 39 (08-2019)
graphene có điện môi nền không đồng nhất hiện trạng thái của các điện tử trong các lớp graphene.
chưa thấy có công bố khoa học nào mặc dù các Các hàm này có dạng:
2
công bố trước đây cho thấy có sự khác biệt đáng
z z ,
(2)
(3)
(4)
1
kể trong biểu thức thế tương tác Coulomb từ đó
dẫn tới sự khác biệt về những đặc tính điện của hệ
không đồng nhất so với hệ đồng nhất mang cùng
các thông số đặc trưng [1], [5], [7], [8], [9], [11].
Chính vì vai trò quan trọng của thế tương tác
Coulomb và sự không đồng nhất của điện môi nền
đối với các đặc tính của cấu trúc lớp, bài báo này
nhằm xác định thế tương tác Coulomb cho các
điện tử trong một cấu trúc gồm ba lớp graphene,
được ngăn cách nhau bằng những lớp điện môi
nền khác nhau, làm cơ sở cho việc xác định các
đặc tính khác nữa của cấu trúc loại này. Các biểu
thức giải tích của thế Coulomb nội lớp và xuyên
lớp được xác định từ nghiệm của phương trình
Poisson trong không gian xung lượng.
2
z z d ,
2
2
z z 2d .
3
Lần lượt thay các phương trình (2), (3), (4)
vào phương trình (1) với chú ý tính chất của hàm
delta Dirac ta được biểu thức các thế Coulomb
nội lớp và xuyên lớp trong không gian xung
lượng là:
U q e q,0,0 ,
11
U22 q e q,d,d ,
(5)
(6)
(6)
(7)
(8)
(9)
U33 q e q,2d,2d ,
U12 q U q e q,0,d ,
21
2. Lý thuyết
U q U q e q,0,2d ,
13 31
Lớp ba graphene với hằng số điện môi nền
không đồng nhất có cấu tạo được mô tả trên
Hình 1. Ba lớp graphene song song nhau và song
song với mặt phẳng Oxy, cách đều nhau một
U23 q U q e q,d,2d .
32
Để tìm dạng tường minh của các biểu thức
thế tương tác này ta cần xác định dạng tường
khoảng cách bằng d, lần lượt ở các vị trí z 0
z d và z 2d.
,
minh của hàm q,z,z . Hàm q,z,z là ảnh
Fourrier của hàm ,z,z , hàm thế biểu
thị tương tác của hai phần tử điện tích
và
trong không gian. Hàm
là nghiệm của phương trình
z và z
tại các vị trí
,z,z
Poisson [13]
(10)
z ,z,z 4e z z .
Hàm z là hằng số điện môi nền dọc
theo trục Oz. Với hệ trên Hình 1, hàm này có thể
xác định là
,
z 0
1
,
0 z d
d z 2d
z 2d
2
z
.
(11)
3,
4 ,
Hình 1. Lớp ba graphene với bốn lớp điện môi có
hằng số điện môi khác nhau
Sử dụng phép biến đổi Fourier cho hàm
ta dẫn tới phương trình [13]
Thế tương tác Coulomb trong không gian
xung lượng được xác định bằng biểu thức [13]:
d q,z,z
d
2
(12)
z
z q q,z,z 4e z z .
2
dz
dz
(1)
Uij q z
i j
Giải phương trình (12) với hàm z xác
định từ phương trình (11) ta thu được hàm
với i, j 1,2,3 là các chỉ số cho từng lớp
graphene. Các hàm i, j là hàm sóng xác định
z
ứng với các trường hợp khác nhau rồi lần lượt
83
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP
Tap chí Khoa hoc so 39 (08-2019)
thay vào các phương trình (5)-(9) ta sẽ thu được
biểu thức thế tương tác Coulomb.
C C C
C2eqd C3eqd C4eqd C5eqd
1
2
3
3. Kết quả và thảo luận
Việc xác định nghiệm của phương trình (12)
2qd
C4e C5e2qd C6e2qd
(16)
.
chỉ nhằm mục đích tìm thế tương tác U q
2C2 2C3 1C1
ij
qd
C e C5eqd C eqd C3eqd
trong các phương trình (5)-(9) nên ta chỉ cần tìm
3
2
4
2
nghiệm ứng với ba trường hợp sau:
2qd
4C6e
C e2qd C5e2qd q 4e
3
Trường hợp 1 ( z 0, ứng với các điện
4
tử trong lớp graphene 1): nghiệm của (12) là:
Giải hệ các phương trình (14)-(16) để được
các hệ số A ,B ,Ci
qz
Ae ,
z 0
(
i 1,2,...,6) rồi thay vào
1
i
i
A eqz A eqz
A eqz A eqz
A eqz
,
,
0 z d
d z 2d
z 2d
biểu thức của hàm . Biểu thức thế tương tác
(5)-(9) có thể viết lại thành:
2
3
q, z,0
. (13)
4
5
U q eA ,
11
(17)
1
,
6
U22 q e B eqd B eqd
,
(18)
2
3
Để xác định các hằng số A A trong
1
6
U33 q eC e2qd
,
(19)
(20)
(21)
phương trình (13), ta sử dụng điều kiện liên tục
của hàm , của đạo hàm hàm và gián đoạn
hữu hạn của đạo hàm hàm tại z z 0 [2]:
6
U12 q U q eB ,
21
1
U13 q U q eC ,
31
1
A A A
1
2
3
U23 q U q e C eqd C eqd
.
(22)
32
A2eqd A eqd A4eqd A eqd
2
3
3
5
Các tính toán chi tiết cho thấy, biểu thức thế
Coulomb cho lớp ba graphene có dạng:
2qd
A4e A e2qd A e2qd
5
6
.
(14)
2e2
q
A A A q 4e
1
2
2
2
3
1
U q
ij
f q ,
ij
(23)
2 A eqd A eqd A eqd A eqd
3
3
2
3
4
5
trong đó:
A e A e2qd A e2qd
2
2 3
3 4 2
2 3 e2qd 2 3
3 4 e4qd
2qd
3
,(24)
q
4
5
4
6
f11
N
qd
8e2qd cosh qd sinh qd cosh qd sinh qd
Hệ các phương trình (14) cho phép ta xác
N
1
2
3
4
qd
(25)
f22
q
,
định các hệ số
A
của hàm thế q .
i
2
2 3
2 1 2
3 2 e2qd
2 3 e4qd
(26)
,
2
qd
2
1
+ Trường hợp 2 và 3 ( z d và z 2d,
ứng với các điện tử trong lớp graphen thứ hai
và thứ ba): dạng nghiệm cũng giống như (13)
nhưng hệ các phương trình xác định hệ số
(thay vì A ta ký hiệu là B và C) có khác do đạo
hàm gián đoạn tại z d và z 2d [2]:
f33
q
N
82e2qd cosh qd sinh qd
,
3
4
(27)
(28)
f12 q f q
21
N qd
823e2qd
f13 q f q
,
31
N qd
83e2qd cosh qd sinh qd
B B B
2
1
. (29)
(30)
1
2
3
f32 q f q
23
N qd
B2eqd B3eqd B4eqd B5eqd
B4e2qd B5e2qd B6e2qd
Với
(15)
N x
2 3
3 4 2e2x
2 3 3 24
2
1
1
.
2B2 2B3 1B
1
e4x
2 3
3 4
.
2
1
3 B eqd B5eqd B eqd B3eqd q 4e
2
Các biểu thức tương tự cho lớp đôi
graphene đã được Badalyan và Peeters công bố
[1]. Thế tương tác Coulomb nội lớp (intra-layer),
được xác định từ các biểu thức (24)-(26), bị ảnh
hưởng bởi hằng số điện môi của môi trường
4
2
3 B e2qd B5e2qd B e2qd
4
4
6
Và
84
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP
xung quanh các lớp graphene lân cận và không hai giá trị khoảng cách lớp khác nhau
Tap chí Khoa hoc so 39 (08-2019)
chịu ảnh hưởng nhiều bởi vector sóng q và
khoảng cách giữa hai lớp d (do tử số và mẫu số
chứa lũy thừa cơ số tự nhiên cùng bậc). Trong
khi đó, thế tương tác Coulomb xuyên lớp (inter-
layer) bị ảnh hưởng mạnh bởi tích qd (do chứa
thừa số lũy thừa cơ số tự nhiên ở mẫu số có bậc
lớn hơn so với ở tử số) như có thể nhận thấy từ
các biểu thức (27)-(29).
d 20 nm và d 50 nm. Kết quả cho thấy, ở
hai khoảng cách lớp khác nhau, đồ thị các hàm
U q nằm gần nhau trong khi đồ thị các hàm
ii
U q tách làm hai nhóm rõ rệt. Điều này chứng
ij
tỏ các hàm thế U q phụ thuộc mạnh hơn vào
ij
khoảng cách lớp so với các hàm U q như đã
ii
nhận định từ các biểu thức giải tích.
Đối với hệ có điện môi nền đồng nhất, ta
thay 1 2 3 4 vào các biểu thức
(23)-(30) và thu được:
2e2
U q
e i j qd
.
(31)
ij
q
Hình 2. Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) và xuyên
lớp (b) trong lớp ba graphene với điện môi nền
không đồng nhất. Các tham số sử dụng là
Biểu thức (31) là thế tương tác Coulomb đã
được Zhu và các cộng sự sử dụng để tính phổ
kích thích tập thể cho hệ gồm nhiều lớp graphene
có điện môi nền đồng nhất [17]. Để có được
những so sánh chi tiết hơn, Hình 4 vẽ đồ thị các
hàm thế với điện môi nền đồng nhất và không
đồng nhất. Hệ đồng nhất sử dụng hằng số điện
môi nền là trung bình của hằng số điện môi hai
lớp xung quanh hệ ( / 2 2,4).
d 20 nm
2 3 Al O 9,1
, , ,
n 1011 cm2
1 SiO 3,8
3
,
4 air 1,0
2
3
Hình 2 biểu diễn các hàm thế tương tác như
một hàm theo vector sóng q. Trong hình vẽ,
U0 2e2 và kF là vector sóng Fermi của
4
1
graphene,
Các hằng số điện môi nền được sử dụng là
1 SiO 3,8, 2 3 Al O 9,1,
n là mật độ hạt tải trong graphene.
2
2
3
4 air 1,0 [13]. Các Hình 2(a) và 2(b) cho
thấy, các thế tương tác nội lớp có giá trị lớn hơn
đáng kể so với thế tương tác xuyên lớp ở cùng
một giá trị vector sóng, khoảng cách lớp và mật
độ hạt tải.
Hình 4. Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) và xuyên
lớp (b) trong lớp ba graphene với điện môi nền đồng
nhất và không đồng nhất. Các tham số sử dụng là
d 20 nm, n 1011 cm2, 1 SiO 3,8,
3
2 3 Al O 9,1, 4 air 1,0. Hệ đồng nhất
2
3
so sánh có hằng số điện môi trung bình bằng
/ 2 2,4
4
1
Hình 4(a) cho thấy, đối với hệ đồng nhất,
thế Coulomb nội lớp trong mỗi lớp graphene là
như nhau được biểu diễn bằng đường liền nét
đậm. Trong khi đó, các hàm này có giá trị khác
nhau đáng kể đối với hệ không đồng nhất do
chúng phụ thuộc khác nhau vào các hằng số điện
môi của môi trường. Sự khác biệt xảy ra nhiều
Hình 3. Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) và xuyên
lớp (b) trong lớp ba graphene với điện môi nền
không đồng nhất. Các tham số sử dụng là
d 20 nm và d 50 nm
1 SiO 3,8, 2 3 Al O 9,1,
,
n 1011 cm2,
3
2
3
4 air 1,0
Để tìm hiểu kỹ hơn ảnh hưởng của khoảng
cách giữa các lớp đối với các thế Coulomb đã
tìm được, Hình 3(a) và 3(b) vẽ các thế này với
nhất đối với thế U22
q do lớp graphene 2 nằm
cách xa hai lớp điện môi bao bọc hệ (1 và 4
)
85
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP
Tap chí Khoa hoc so 39 (08-2019)
nhất. Hình 4(b) cho thấy các thế tương tác trị khác nhau nhiều đối với từng lớp graphene và
Coulomb xuyên lớp trong hệ không đồng nhất có ít chịu tác động bởi khoảng cách giữa các lớp.
giá trị không khác nhau nhiều. Trong hệ đồng Trong khi đó, các thế Coulomb xuyên lớp giảm
nhanh theo vector sóng và khoảng cách giữa các
lớp. Cả thế tương tác nội lớp và xuyên lớp bị ảnh
hưởng đáng kể bởi sự không đồng nhất của hằng
số điện môi nền trong hệ. Các kết quả giải tích về
thế Coulomb trong bài báo này có thể sử dụng để
khảo sát những đặc tính quan trọng khác như
điện trở Coulomb drag, tính chất vận chuyển
hoặc phổ kích thích tập thể của hệ.
nhất, các hàm U12
q và U23 q có cùng giá trị
(đường liền nét đậm) trong khi thế U13
q
nhận
giá trị nhỏ hơn nhiều và giảm nhanh hơn theo
vector sóng (đường chấm gạch).
4. Kết luận
Bài báo đã sử dụng phương trình Poisson để
tìm biểu thức giải tích của thế tương tác
Coulomb nội lớp và xuyên lớp trong không gian
xung lượng của một cấu trúc gồm ba lớp
graphene được ngăn cách bởi những lớp điện
môi nền khác nhau. Kết quả tính toán cho thấy
các thế tương tác nội lớp bị tác động bởi điện
môi bao bọc các lớp graphene lân cận, nhận giá
Lời cảm ơn
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát
triển khoa học và công nghệ Quốc gia
(NAFOSTED) trong đề tài mã số 103.01-
2017.23./.
Tài liệu tham khảo
[1]. Badalyan, S. M. and Peeters, F. M. (2012), “Effect of nonhomogenous dielectric background
on the plasmon modes in graphene double-layer structures at finite temperatures”, Physical Review B,
(85), p. 195444.
[2]. Chow T. (2003), Mathematical Methods for Physicists: A concise introduction, Cambridge
University Press, Virtual Publishing.
[3]. Hwang, E. H. and Sarma, S. D. (2007), “Dielectric function, screening, and plasmons in 2D
graphene”, Physical Review B, (75), p. 205418.
[4]. Hwang, E. H. and Sarma, S. D. (2009), “Exotic plasmon modes of double layer graphene”,
Phys. Rev. B, (80), p. 205405.
[5]. Nguyen Quoc Khanh and Nguyen Van Men (2018), “Plasmon modes in bilayer-monolayer
[6]. Dang Khanh Linh and Nguyen Quoc Khanh (2018), “Electrical conductivity of bilayer-
graphene double layers at finite temperature”, Superlattices and Microstructures, (114), p. 406-415.
[7]. Nguyen Van Men and Nguyen Quoc Khanh (2018), “Plasmon modes in Dirac/Schrödinger
hybrid electron systems including layer-thickness and exchange-correlation effects”, Canadian
Journal of Physics, (96), p.615-621, dx.doi.org/10.1139/cjp-2017-0542.
[8]. Nguyen Van Men and Nguyen Quoc Khanh (2017), “Plasmon modes in graphene-GaAs
heterostructures”, Physics Letters A, (381), p. 3779.
[9]. Nguyen Van Men, Nguyen Quoc Khanh and Dong Thi Kim Phuong (2019), “Plasmon
modes in MLG-2DEG heterostructures: Temperature effects”, Physics Letters A, (383), p. 1364-1370.
[10]. Nguyen Van Men, Nguyen Quoc Khanh and Dong Thi Kim Phuong (2019), “Plasmon
modes in double bilayer graphene heterostructures”, Solid State Communications, (294), p. 43-48.
[11]. Nguyen Van Men and Dong Thi Kim Phuong (2018), “Plasmon modes in bilayer-graphene
- GaAs heterostructures including layer-thickness and exchange-correlation effects”, International
Journal of Modern Physics B, 32(23), p. 1850256.
[12]. Principi, A., Carrega, M., Asgari, R., Pellegrini, V., and Polini, M. (2012) “Plasmons and
Coulomb drag in Dirac/Schrödinger hybrid electron systems”, Physical Review B, (86), p. 085421.
86
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP
Tap chí Khoa hoc so 39 (08-2019)
[13]. Scharf, B. and Matos-Abiague, A. (2012), “Coulomb drag between massless and massive
fermions”, Physical Review B, (86), p. 115425.
[14]. Hồ Sỹ Tá (2017), Các đặc trưng plasmon và tính chất động lực học của hệ điện tử trong
graphene, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Việt Nam.
[15]. Dinh Van Tuan and Nguyen Quoc Khanh (2013), “Plasmon modes of double-layer
graphene at finite temperature”, Physica E, (54), p. 267-272.
[16]. Vazifehshenas, T., Amlaki, T., Farmanbar, M., and Parhizgar, F. (2010), “Temperature effect
on plasmon dispersions in double-layer graphene systems”, Physics Letters A, (374), p. 4899-4903.
coupled N-layer graphene structures”, Physical Review B, (87), p. 085401.
COULOMB BARE INTERACTION IN THREE-LAYER GRAPHENE
Summary
The Coulomb bare interaction has significant contributions to important characters of charged
multibody systems. This paper is to determine the analytical expressions for Coulomb interactions
between electrons in a structure made up of three parallel monolayer graphene sheets, separated by
different dielectric layers via solving Poisson equations. Analytical and numerical results show that
Coulomb potential functions in momentum space are affected strongly by the inhomogeneity of
dielectric background. Inter-layer Coulomb potentials decrease remarkably with an increase in wave
vector q and separated distance d, while intra-layer ones are only weak functions of q and d, and
depend on the environment around other graphene sheets.
Keywords: Coulomb bare interaction, graphene, inhomogeneous background dielectric.
Ngày nhận bài: 26/3/2019; Ngày nhận lại: 11/7/2019; Ngày duyệt đăng: 15/7/2019.
87
6 trang
18/04/2022
1940
Bạn đang xem tài liệu "Thế tương tác Coulomb trong lớp ba graphene", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- the_tuong_tac_coulomb_trong_lop_ba_graphene.pdf
