Tóm tắt Luận văn Hàm vectơ và ứng dụng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO
HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2016
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG
Phản biện 1: TS. PHAN ĐỨC TUẤN
Phản biện 2: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT
Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8
năm 2016.
Có thể tìm Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vectơ là một khái niệm trừu tượng. Để nắm được các kiến
thức về vectơ đòi hỏi người học phải có tư duy logic, khả năng sáng
tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế. Trong chương trình phổ thông,
kiến thức về vectơ được đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết
chiếm một nửa tổng số tiết hình học của ba năm cấp ba.
Kiến thức về vectơ ở phổ thông là các định nghĩa, các phép
toán cơ bản để vận dụng giải quyết một số bài toán cơ bản của vectơ
trong không gian, phương pháp tọa độ trong không gian. Đây chỉ là
một phần về kiến thức vectơ và ứng dụng hình học của vectơ. Ngoài
các ứng dụng trong hình học, vectơ còn có các ứng dụng trong vật lí,
trong đạo hàm và tích phân. Hàm vectơ là sự mở rộng khái niệm
vectơ bằng cách đặt tương ứng mỗi giá trị
một vectơ, khi đó
tR
mỗi vectơ có thể xem là một hàm vectơ hằng. Ứng dụng của hàm
vectơ được vận dụng để giải quyết các bài toán trong Vật lí, chẳng
hạn ta có thể viết phương trình vận tốc của chuyển động
vt v0 a.t,
trong đó
a
là vectơ gia tốc và t là thời gian. Khi chuyển động
vt
thẳng đều thì độ lớn của
là vt v0 at.
Là giáo viên dạy toán ở trường phổ thông với mong muốn
được tìm hiểu sâu sắc hơn về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm
vectơ nhằm có cái nhìn toàn diện hơn từ đó đưa ra cách truyền đạt để
học sinh có thể nắm bắt và tiếp cận kiến thức về vectơ một cách dễ
dàng, tôi quyết định chọn đề tài:
“Hàm vectơ và ứng dụng”
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ.
2
- Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan
đến hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến…
- Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể giải được bằng
cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Các kiến thức cơ bản về vectơ.
- Các kiến thức về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ.
- Các bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về
hàm vectơ.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” tôi đã sử dụng các
phương pháp nghiên cứu sau:
+ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội
dung đề tài luận văn.
+ Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận
văn.
+ Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn,
của các chuyên gia và của các đồng nghiệp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Hệ thống được kiến thức cơ bản về vectơ, khái niệm về hàm
vectơ và một số kiến thức liên quan về hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề
tài.
- Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn
như là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên phổ
thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức về vectơ.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung
chính của luận văn được chia thành hai chương.
Chƣơng 1: Kiến thức cơ bản về vectơ
Chƣơng 2: Hàm vectơ và ứng dụng
3
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ
1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ
Định nghĩa 1.1.1
Đại lượng có hướng được gọi là đại lượng vectơ (hay gọi tắt là
vectơ)
Các đại lượng vật lí như khối lượng, thể tích, công và năng lượng là
vô hướng; trong khi độ dời, vận tốc, gia tốc và lực là các vectơ.
Định nghĩa 1.1.2. Các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn
vị. Trong luận văn này vectơ đơn vị được phân biệt với vectơ khác
ˆ
a
là đại diện cho một vectơ đơn vị theo
bằng một dấu mũ; ví dụ
hướng của vectơ . Rõ ràng,
Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc OXYZ, các vectơ đơn vị
i, j,k
ˆ
a a
= a .
a
trên trục OX
Định nghĩa 1.1.3. Vectơ - không là vectơ có độ lớn bằng không và
không có hướng, được ký hiệu
Định nghĩa 1.1.4. Vectơ đối của vectơ
vectơ có modul bằng vectơ nhưng ngược hướng với vectơ
,
OY
,
OZ lần lượt được kí hiệu là
.
0
.
a
, được kí hiệu là –a , là một
a
a .
Định nghĩa 1.1.5. Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có
cùng modul và cùng hướng.
1.2. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ
a,b
Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ
được
(Hình (a)). Khi đó vectơ biểu diễn
bởi PR được định nghĩa là tổng của và , được viết: a b và
PQ QR
biểu diễn lần lượt bởi
,
a
b
được gọi là quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ.
Định nghĩa 1.2.2 (Phép trừ hai vectơ)
4
Hiệu giữa hai vectơ a,b được viết là a b và theo quy tắc của đại
số vô hướng nó được viết thành tổng
a b
+ (- ). Biễu diễn a,b bởi
các vectơ PQ , QR như trước, khi đó QR 'sẽ đại diện cho -
QR' = QR (hình vẽ).
b
, với
SQ
a b
+ (- ) được biểu diễn bởi PR' hoặc
Nên a b hoặc
Định nghĩa 1.2.3 (Tổng của nhiều vectơ)
Giả sử có n vectơ a1,a2 ,...,an . Cho a1 được biểu diễn bởi OA
,
a2
1
được đại diện bởi A A2 , …, an được biểu diễn bởi An1 An
.
1
Vậy thì
OA OA A A2 a1 a2
;
2
1
1
OA OA2 A2 A a1 a2 a3
;
3
3
OA4 OA A A4 a1 a2 a3 a4
;
3
3
……………………………………………
OAn OAn1 An1An a1 a2 a3 ... an
.
Định nghĩa 1.2.4 (Phép nhân một vectơ với một số)
Nếu m là một số thực dương, khi đó m được định nghĩa như một
vectơ cùng hướng có độ lớn bằng ma.
Định lý 1.2.5
Nếu các vectơ được biểu diễn lần lượt bởi
các hằng số dương, khi đó m +n = (m+n) , với
bởi vectơ OR , R là một điểm trên PQ sao cho mPR nRQ
a
a
OP,OQ
a
,
b
và m, n là
a
b
c
c được biểu diễn
.
Định nghĩa 1.2.6 (Thành phần của vectơ trong các hƣớng vuông
góc với nhau)
Giả sử OP đại diện cho vectơ
r
(Hình vẽ). Qua điểm O vẽ các
đường thẳng vuông góc OX, OY, OZ theo quy tắc đinh ốc xoay bên
phải từ OY tới OZ dọc theo OX và cứ tiếp tục tuần hoàn theo các
5
chữ cái X, Y, Z. Vẽ lần lượt các đường vuông góc PQ, PR, PS xuống
mp(YOZ), (ZOX), (XOY) và ta có hình hộp chữ nhật OASBCRPQ.
Đặt OA= x, OB = y , OC = z và gọi các vectơ đơn vị theo các hướng
OX,OY,OZ
j
là
Vì OP OA AS SP OAOB OC . Nên
= x + y + z
Các vectơ x
trục tọa độ. Các thành phần của
i
, ,
k
suy ra:
OA xi; OB y j; OC zk
j
r
i
k
.
j
i
, y , z
k
được gọi là các thành phần của
r
trong hệ
r
theo từng hướng là duy nhất,
giống như chỉ vẽ được 1 hình hộp như ở trên. Do đó nếu 2 vectơ
bằng nhau thì các thành phần tương ứng của chúng cũng bằng nhau.
Trong không gian 2 chiều, nếu
trở thành:
r
nằm trên mp(XOY), kết quả trên
j
i
= x + y .
r
Định nghĩa 1.2.7 (Modun và cosin theo hƣớng của một vectơ theo
các thành phần của nó)
Từ hình vẽ trên, dễ thấy rằng : OP2 OA2 OB2 OC2 . Vì vậy
r2 x2 y2 z2
modun r của vectơ
r
được cho bởi:
, với x, y, z là
các modul của thành phần của
r x2 y2 z2
r
Hướng của vectơ
r
hay OP được xác định bởi cosin của góc tạo tạo
OX,OY,OZ
bởi OP với các trục
. Nếu góc này lần lượt là ,,
thì:
OA
OP
x
OB
OP
y
OC
OP
z
r
cos
; cos
; cos
r
r
cos,cos,cos được gọi là cosin theo hướng của OP ; chúng phụ
thuộc hệ thức:
6
x2 y2 z2
cos2 cos2 cos2
1
r2
Trong không gian hai chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), chúng ta có
kết quả tương tự:
x
y
r
r x2 y2 ; cos ; cos
với
cos2 cos2 1
r
Định nghĩa 1.2.8 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần)
r1 ,r2 ,r3
Giả sử các vectơ
,… được biểu diễn theo các thành phần
OX,OY,OZ
của chúng trong các trục vuông góc
r3 x3 i y3 j z3 k
................................
r1 r2 r3 .... (3i k) ...
(x1 x2 x3 ...)i (y1 y2 y3 ...) j (z1 z2 z3 ...)k
Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các
thành phần của chúng. Hoàn toàn tương tự khi trừ các vectơ.
1.3. TÍCH CỦA CÁC VECTƠ
Định nghĩa 1.3.1 (Tích vô hƣớng) Tích vô hướng của hai vectơ
và tạo với nhau một góc được định nghĩa là đại lượng vô hướng
a.b.cos và được ký hiệu là
a
b
a .b
Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì:
a
.
b
= ab.cos =ba.cos =
b . a
Định nghĩa 1.3.2 (Tích có hƣớng) Tích có hướng của 2 vectơ
a , b
tạo với nhau một góc được định nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ
tích) có độ lớn là ab.sin và có hướng vuông góc với hướng của cả
2 vectơ
a và b theo đường đinh ốc xoắn về phía phải từ hướng của
7
vectơ
tích. Vectơ tích của 2 vectơ
hoặc
Định nghĩa 1.3.3 (Tích hỗn tạp)
a
đến hướng của vectơ
b
di chuyển theo hướng của vectơ
b
được ký hiệu là
a
và
a
b
a b
x .
Giá trị
là kết quả tích
a
và b c , nó được gọi là tích hỗn
và (bằng và
, sao đó là vuông góc với b c nó
có thể được coi như là trong mặt phẳng của và và do đó nó có
thể được thể hiện như là v = bp + qc trong đó p,q là vô hướng
a b c
tạp và có thể được thể hiện dưới dạng
b
c
b
c
)
Đại diện cho tích hỗn tạp là
v
v
b
c
i, j,k
j ,k
trong mặt phẳng
Lấy hình chữ nhật có vectơ đơn vị
với
b,c và j song song với mặt phẳng b. Khi đó :
j
j
a i a j a k
b
=b ;
c
=
c2
+
c3
k
;
a
=
j
1
2
3
v
= (
a i a j a k
)
[b
(
c2
j
+
c3
k
)]
1
2
3
a i a j a k
j
= (
)
(bc3
)
1
2
3
a bc k a bc j a b(c c j) a c b
=-
= -
2
3
3
3
2
2
3 3
=- a2bc a2c2b a3c3b
=( a2c2 a3c3 )b- a2bc
Nhưng a2c2 a3c3 =ac và a2b =ab
a b c ac b ab c
Chú ý rằng
khác với
hoặc
nên
a b c
a b c
c a b
tích hỗn tạp không có tính chất giao hoán.
8
CHƢƠNG 2
HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ
Định nghĩa 2.1.1 (Các hàm số vectơ của biến số vô hƣớng)
Cho , R . Hàm vectơ là phép đặt mỗi t , tương ứng duy
nhất với một vectơ kí hiệu là a t
.
Định nghĩa 2.1.2 (Định nghĩa hàm vectơ trong hệ trục tọa độ
Descartes)
r t f t i g t j
Một
hàm
có
dạng
hoặc
r t f t i g t j h t k là một hàm vectơ, trong đó hàm thành
phần f, g và h là các hàm giá trị thực sự của tham số t. Các hàm giá
trị vectơ đôi khi được biểu thị như r t f t ,g t
hoặc
r t f t ,g t ,h t
.
2.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ
Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa đạo hàm của một hàm vectơ)
r t
Cho hàm vectơ
với t(a;b).. Đạo hàm của một hàm của vectơ
r t t r t
r t
r ' t lim
được định nghĩa bởi
t0
t
nếu giới hạn trên tồn tại.
r ' t
Kí hiệu
hoặc
D r t
t
r ' t
r ' t
tồn tại cho
Nếu
tồn tại thì
r
được gọi là khả vi tại t. Nếu
tất cả t trong khoảng mở I thì
r
là khả vi trên khoảng I. Sự khả vi
của hàm vectơ có thể được mở rộng cho khoảng đóng bằng cách
xem xét giới hạn một bên như sau.
9
Định nghĩa 2.2.2 (Định nghĩa đạo hàm một bên của hàm vectơ)
Cho hàm vectơ r t với t[t0;b). Giới hạn bên phải nếu có của tỉ
r t t r t
số lim
khi t dần đến t0 được gọi là đạo hàm bên
t0
t
r' t
phải của hàm vectơ tại điểm t0 kí hiệu
0
r t r t
0
r ' t lim
0
tt0
t t0
r' t
Đạo hàm bên trái của hàm vectơ r t với t(a;t0 ], kí hiệu là
0
cũng được định nghĩa tương tự.
r t r t
0
r ' t lim
0
tt0
t t0
Định nghĩa 2.2.3 (Định nghĩa đạo hàm trên một đoạn của hàm
vectơ)
r t
r t
gọi là có đạo hàm
Cho hàm vectơ
với t[a;b].Hàm vectơ
trên đoạn [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b)
và có đạo hàm bên phải tại a và đạo hàm bên trái tại b.
Định lí 2.2.4 (Tính chất của đạo hàm)
r r(t)
u u(t)
là hai hàm vectơ khác nhau có đạo hàm theo
Có
và
t và c là một đại lượng vô hướng.
1.
2.
3.
4.
5.
D cr t cr' t
t
D r t u t r' t u' t
t
D w t r t w t r' t w' t r t
t
D r t .u t r t .u' t r' t .u t
t
D r t u t r t u' t r' t u t
t
10
6.
D r w t r' w t w' t
t
7. Nếu r t .r t c thì r t .r ' t 0
Định lí 2.2.5 (Đạo hàm của các hàm vectơ theo tọa độ)
1. Nếu r t f t i g t j nơi f và g là các hàm khả vi của t, thì
r ' t f ' t i g ' t j
2. Nếu r t f t i g t j h t k nơi f, g và h là các hàm khả vi
của t, thì
r ' t f ' t i g ' t j h' t k
Trong định lí sau đây, là các hàm vectơ và u là hàm vô hướng
của biến số vô hướng t; c là một vectơ bất biến, là hằng số trong cường
độ và hướng, và là một hằng số vô hướng. Trong kết quả (iii), hàm
a b
,
c
của quy tắc hàm số, s một biến số vô hướng thứ hai là một hàm của t.
Định lí 2.2.6
dc
(i)
0 ;
dt
d
dt
(ii)
(iii)
ca c
;
dt
d
db
da da ds
a b
;
.
;
dt
dt dt
dt ds dt
d
dt
ua
au
;
a.b
.ba.
dt
dt
dt dt
dt
(iv)
d
;
a b
b a
dt
dt
dt
Nhận xét 2.2.7 (Đạo hàm của một hàm vectơ có độ lớn bất biến)
11
Giả sử a a(t) là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng có hướng
a
a
thay đổi với t. Thì
với t bằng 0.
= hằng số, điều này dẫn đến đạo hàm của
đối
Vì vậy
hay
a. 0
2a.
0
dt
và đạo hàm của nó d
a a(t)
dt
/dt là các vectơ vuông góc.
(t) là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng
Do đó
a
a
Định lí 2.2.8.
có hướng thay đổi với t thì
a a
và đạo hàm của nó d /dt là các vectơ
vuông góc.
2.3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA HÀM VECTƠ
Định nghĩa 2.3.1 Tích phân bất định (hoặc nguyên hàm) của hàm
d A
vectơ đã cho a(t) là hàm vectơ
được viết là
A
(t) sao cho
. Khi đó kết quả
a
dt
a(t)dt A(t).
Nếu
c
là một vectơ hằng, ta cũng có
, nên tích
d A c / dt a(t).
a(t)
phân bất định tổng quát của
a(t)
là
∫
dt =
A
+
c
, trong đó
c
là vectơ hằng.
Nhận xét 2.3.2 (Nguyên hàm của tích các vectơ)
Với
a
,
b
là các hàm vectơ của , khi đó
a
.
b
là một hàm thực theo t
t
a b
a b dt
là các
và
là một hàm vectơ theo . Khi đó ∫
a
.
b
dt , ∫
t
nguyên hàm của tích các vectơ cũng hoàn toàn được xác định.
Định nghĩa 2.3.3 (Tích phân xác định của hàm vectơ)
a(t)
Nếu
A
(t) là một nguyên hàm của hàm vectơ
a(t)
thì tích phân xác
định của
từ đến được xác định bởi
a
b
12
b
a(t)dt A(b) A(a): A(t) |a
.
a
Định nghĩa 2.3.4 (Tích phân của hàm vectơ theo tọa độ)
1. Nếu r t f t i g t j , trong đó f và g là liên tục trên đoạn [a,
b], thì tích phân bất định của vectơ
r
là
r t dt f t dt i g t dt j
và nó cũng có tích phân xác định trên đoạn
là
a t b
b
r t dt f t dt i g t dt j
a
a
a
r t f t i g t j h t k
2. Nếu
, trong đó f, g và k là liên tục
trên đoạn [a, b] thì tích phân bất định của vectơ
r
là
r t dt f t dt i g t dt j h t dt k
và nó cũng có tích phân xác định trên đoạn
là
a t b
b
r t dt f t dt i g t dt j h t dt k
a
a
a
a
2.4 VECTƠ TIẾP TUYẾN
Định nghĩa 2.4.1 (Định nghĩa vectơ tiếp tuyến đơn vị)
Cho C một đường cong phẳng đại diện bởi vectơ
r
trên một khoảng
T t
mở I. Vectơ tiếp tuyến đơn vị
tại t được định nghĩa như sau:
T t
t 0.
r ' t
Định nghĩa 2.4.2 (Định nghĩa vectơ pháp tuyến đơn vị)
13
Cho C một đường cong phẳng đại diện bởi vectơ trên một khoảng
r
mở I. Nếu T ' t 0 , thì vectơ pháp tuyến đơn vị tại t được định
nghĩa như sau:
N t
T ' t
Định nghĩa 2.4.3 (Định nghĩa vận tốc và gia tốc)
Nếu x và y là hai hàm khác nhau của t, và
r
là một hàm vectơ được
cho bởi r t x t i y t j thì vectơ vận tốc, vectơ gia tốc và tốc
độ được viết như sau:
v t r ' t x' t i y' t j
Vectơ vận tốc:
Vận tốc: v t x' t 2 y' t 2
a t r" t x" t i y" t j
Vectơ gia tốc:
Gia tốc: r ' t x" t 2 y" t 2
Định lí 2.4.4 ( Hàm vị trí cho một vật phóng)
Bỏ qua sức cản không khí, con đường của vật phóng từ chiều cao
ban đầu h với tốc độ ban đầu v0 và góc nâng được mô tả bởi hàm
vectơ
r t v cos ti h v sin t gt
j
0
0
2
trong đó g là gia tốc do trọng lực.
Định lí 2.4.5 (Vectơ gia tốc)
r t
Nếu
là vectơ vị trí của đường cong phẳng C và tồn tại vectơ
pháp tuyến đơn vị
xác định bởi vectơ tiếp tuyến đơn vị
N t
N t
a t
nằm trên mặt phẳng
, thì vectơ gia tốc
T t
và vectơ pháp tuyến đơn vị
.
14
Định lí 2.4.6 (Thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của gia tốc)
Nếu r t là vectơ vị trí của đường cong phẳng C sao cho tồn tại
vectơ pháp tuyến đơn vị N t , thì hợp thành tiếp tuyến và pháp
tuyến của gia tốc được viết như sau:
a D v a.T
t
T
v
aN
aN 0
T
v
Chú ý rằng
. Pháp tuyến hợp thành của gia tốc cũng được gọi
là gia tốc hướng tâm.
2.5 ĐỘ DÀI CỦA ĐƢỜNG CONG
Định lí 2.5.1 Độ dài của đƣờng cong không gian
Nếu
C
là một đường cong phẳng được cho bởi
r t x t i y t j z t k
với t[a;b], thì đường cong của C có
độ dài là
b
b
x' t 2 y' t 2 z' t 2 dt r ' t dt
s
a
a
Định nghĩa 2.5.2 (Hàm độ dài của đƣờng cong)
Cho C là một đường cong phẳng được cho bởi
khoảng đóng [a; b].
r t
xác định trên
Với
, hàm độ dài của đường cong được cho bởi
a t b
x' u 2 y' u 2 z' u 2 du
s t r ' u du
Độ dài s được gọi là độ dài tham số.
15
Định nghĩa 2.5.3 (Định nghĩa độ cong)
Cho C là một đường cong phẳng (trong mặt phẳng hoặc trong không
gian) được cho bới r s , trong đó s là tham số độ dài. Độ cong K
tại s được cho bởi:
dT
K
T ' s
ds
Định lí 2.5.4 ( Công thức đo độ cong)
Nếu C là một đường cong phẳng được cho bởi r t , thì độ cong K
của C tại t được cho bởi
T
r' t r" t
K
r' t
r' t
Định lí 2.5.5
s t
Nếu
là hàm độ dài của đường cong phẳng C, thì vectơ gia tốc
được cho bởi:
dt2
dt
a t
T K
N
ds
dt
Trong đó K là độ cong của C và
là tốc độ.
2.6 ỨNG DỤNG CỦA HÀM VECTƠ
2.6.1 Ứng dụng của hàm vectơ giải một số bài toán về đƣờng cong
Bài toán 1: Tìm hàm vectơ vị trí của điểm P có quỹ đạo là parabol
y x2 1
được cho bởi
Lời giải
.
Mặc dù có nhiều cách để chọn tham số t, cách đơn giản nhất là lấy x = t.
y t2 1
Sau đó thay
và ta có r t ti t1 j
.
16
Bài toán 2: Tìm hàm vectơ vị trí của điểm P có quỹ đạo là đường cong
C xác định bởi giao tuyến của của elip
x2 y2 z2
và parabol hình trụ y x2 , Sau đó, tìm
1 , z 0
12 24
4
một hàm vectơ để đại diện cho đồ thị.
Lời giải
Trong bài toán này,ta chọn tham số đơn giản nhất là x = t. Với cách
chọn này, ta có thể thay công thức y x2 bởi công thức y t2 , Sau đó
, ta có được
6 t2 4 t2
z2
x2 y2
t2 t4 24 2t2 t4
.
1
1
4
12 24
12 24
24
24
Vì vậy ta có thể chọn
6 t2 4 t2
z
x t, y t2 ,
6
Kết quả hàm vectơ là
k, 2 t 2
r t ti tj
6
2.6.2. Ứng dụng đạo hàm của hàm vectơ
Bài toán 1: Một hàm vectơ được cho bởi
. Tìm
r t ti t 2 j
r ' t
OP r t
. Sau đó phác họa quỹ đạo điểm P xác định bởi
và vẽ
r 1
r ' 1
.
minh họa các vect ơ
Lời giải
và
Đạo hàm theo thành phần tọa độ ta được
r ' t i 2t j
17
Từ vị trí của vectơ r t ta có thể viết phương trình tham số x = t và
y t2 2 . Phương trình sau khi được thay thế là y x2 2
.
Khi t = 1, r 1 i 3 j và r ' 1 i 2 j.
Bài toán 2: Tìm quỹ đạo điểm P trong hệ trục tọa độ Descartes Oxy
xác định bởi vectơ vị trí
OP r t 5cost cos5t i 5sint sin5t j , 0 t 2
.
Lời giải
Đạo hàm của vectơ
r
là
r ' t 5sint 5sin5t i 5cos5t 5cos5t j
0,2
Trong khoảng thời gian
, chỉ có các giá trị của t mà
r ' t 0i 0 j
2
3
2
là t 0, , ,
và
Ngoài ra, ta có thể kết luận rằng C là bằng
2.
phẳng trên các khoảng thời gian
2
2
3
2
3
2
0,
,
, , ,
,2
và
2.6.3. Ứng dụng tích phân của hàm vectơ
Bài toán 1: Xác định vị trí bằng tích phân
Một vật ban đầu đứng yên tại điểm P(1, 2, 0) và di chuyến với một gia
a t j 2k
tốc
với
được đo chính xác đến từng giây. Tìm vị
a t
trí của vật sau 2 giây.
Lời giải
Từ sự mô tả chuyển động của đối tượng, ta có thể suy luận điều kiện lúc
đầu. Bởi vì lúc đầu vật đứng yên, ta có
18
v 0 0
Hơn thế nữa, bởi vì vật bắt đầu tại điểm (x, y, z) = (1, 2, 0), ta có
r 0 0 k
1
i 2 j
Để tìm hàm vị trí, ta nên lấy tích phân hai lần, mỗi lần sử dụng một điều
kiện ban đầu để giải cho hằng số tích phân. Vectơ vận tốc là
j 2k dt t j 2tk C
v t a t dt
C C1i C2 j C3 k
nơi
. Lấy t = 0 và áp đặt điều kiện ban đầu
v 0 0 , ta được
v 0 C i C j C k 0 C C C 0
1
2
3
1
2
3
Vì vậy, vận tốc tại thời điểm t là
v t t j 2tk
Tích phân lần nữa kết quả là
t j 2tk dt
r t v t dt
t2
j tk C
2
C C4 i C5 j C6 k
Nơi
. Lấy t = 0 và áp đặt điều kiện ban đầu
r 0 i 2 j
, ta có
r 0 C i C j C k i 2 j C 1, C 2, C 0
4
5
6
4
5
6
Vì thế vectơ vị trí là
r t i
2 j tk
2
Vị trí của vật sau thời gian t = 2 giây được cho bởi hàm
r 2 i 4 j 4k
Tải về để xem bản đầy đủ
26 trang
15480
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Luận văn Hàm vectơ và ứng dụng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tom_tat_luan_van_ham_vecto_va_ung_dung.pdf
