Luận án Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

BÙI THỊ THUÝ

DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA

CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC

HÀ NỘI – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

……..….***…………

BÙI THỊ THUÝ

DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA

CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS. TSKH Nguyễn Văn Khang

2. TS Trần Đình Sơn

Hà Nội – 2017

i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

LỜI CAM ĐOAN

n, N

số nguyên dương

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và chưa được

,

p,q,r,, Q

số bất kỳ

công bố trong bất cứ công trình nào khác. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là

n

f ^{ }

t

đạo hàm cấp n của hàm f

 

trung thực.

D^pf t

đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f

 

a

^GD^pf t

đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald - Letnikov

 

a

Tác giả luận án

^RD^pf t

đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville

 

a

^CD^pf t

đạo hàm cấp phân số theo Caputo

 

a

^WD^pf t

tích phân cấp phân số theo Weyl

 



Bùi Thị Thuý

^{D _ E}D^pf t

đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex

hàm Gamma

 

0

 .

 

hàm Beta

 .

 

hàm Mittag – Leffler một tham số

hàm Mittag – Leffler hai tham số

Trung bình theo thời gian

 .

_ 

E_

.

_ 

,

.

x

Đạo hàm theo thời gian của x

Mô phỏng số

MPS

MỤC LỤC

ii

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn

Văn Khang và TS Trần Đình Sơn đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt

thời gian thực hiện luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy và đào

tạo trong quá trình học nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn Viện Cơ học, Học viện

Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo

điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án.

Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới đơn vị công tác là Bộ môn Cơ lý thuyết, Khoa

Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh.

Xin cảm ơn ThS Dương Văn Lạc và Kỹ sư Trương Quốc Chiến, cảm ơn

gia đình và bạn bè đã khích lệ, động viên và giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn

thành tốt luận án này.

iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

n, N

số nguyên dương

số bất kỳ

p,q,r,, Q

,

n

f ^{ }

t

 

đạo hàm cấp n của hàm f

D^pf t

đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f

 

a

^GD^pf t

đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –

Letnikov

 

a

^RD^pf t

đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –

Liouville

 

a

^CD^pf t

đạo hàm cấp phân số theo Caputo

 

a

^WD^pf t

tích phân cấp phân số theo Weyl

đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex

hàm Gamma

 



^{D _ E}D^pf t

 

0

 .

 

hàm Bêta

 .

 

hàm Mittag – Leffler một tham số

hàm Mittag – Leffler hai tham số

Trung bình theo thời gian

 .

_ 

E_

.

_ 

,

.

x

Đạo hàm theo thời gian của x

Mô phỏng số

MPS

1

MỤC LỤC

Lời cam đoan ………………………………………….……………………………i

Lời cảm ơn..……………………………………………………………...................ii

Danh mục các từ viết tắ t ......................................................................................... iii

Mục lụ c .......................................................................................................................1

Danh mục hình ..........................................................................................................3

Mở đầu .......................................................................................................................6

Chương 1. Mô hình đàn nhớt cấp phân số ...........................................................11

1.1. Một số kiến thức bổ trợ ……………………………………………………….11

1.1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên ...11

1.1.2. Hàm Gamm a .........................................................................................12

1.1.3. Hàm Mittag – Leffler............................................................................16

1.1.4. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên .................18

1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số ……………………………..... 21

1.2.1. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –

Liouville.............................................................................................................21

1.2.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –

Letniko v .............................................................................................................22

1.2.3. Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo .....................................24

1.2.4. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức .....25

1.2.5. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác .................28

1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính …………………………………… 29

1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α).....................30

1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α) ...............................31

1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k₁, k₂, α) .....32

1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân s ố ...........33

1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến ……………………………………. 35

1.5. Kết luận chương 1 …………………………………………………………… 38

Chương 2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

bằng phương pháp số ..............................................................................................39

2

2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba………… 39

2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark ...................................................39

2.1.2. Tính toán dao động tuyến tính hệ cấp b a ..............................................41

2.1.3. Tính toán dao động phi tuyến hệ cấp b a ...............................................41

2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........42

2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực cấp một….. 51

2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta ............................................51

2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ........52

2.3. Kết luận chương 2……………………………………………………………. 62

Chương 3. Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa

đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận ..............................................64

3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số …………………………………………………… 64

3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo

hàm cấp phân số .................................................................................................64

3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa

đạo hàm cấp phân số ..........................................................................................73

3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân s ố ……………………………………………………………………….. 82

3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật

đạo hàm cấp phân số ..........................................................................................82

3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật đạo

hàm cấp phân số .................................................................................................95

3.3. Kết luận chương 3 …………………………………………………………...108

K ết luận chung và những đóng góp mới của luận án ........................................109

D anh mục các công trình đã công bố ..................................................................111

T ài liệu tham khảo ................................................................................................112

3

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1. Chu tuyến L ..............................................................................................26

Hình 1.2. Chu tuyến tích phân gồm L₁, L₂và γ .......................................................27

Hình 1.3. Mô hình đàn hồi tuyến tính   E .D⁰ ................................................30





Hình 1.4. Mô hình nhớt tuyến tính cấp nguyên

Hình 1.5. Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số

.D¹

..................................30

 c .D^

.................................30





t

Hình 1.6. Mô hình Kelvin – Voigh ..........................................................................30

Hình 1.7. Phân tích lự c .............................................................................................30

Hình 1.8. Mô hình Maxwell .....................................................................................31

Hình 1.9. Phân tích lự c .............................................................................................31

Hình 1.10. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn ................................................................32

Hình 1.11. Phân tích lự c ...........................................................................................32

Hình 1.12. Mô hình ô tô ...........................................................................................33

Hình 1.13. Phân tích lự c ...........................................................................................33

Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô ..............................................................................34

Hình 1.15. Phân tíc h lự c ...........................................................................................34

Hình 1.16. Mô hình cổ điển ......................................................................................35

Hình 1.17. Mô hình mới ...........................................................................................35

Hình 1.18. Hệ dao động chịu kích động va đập .......................................................36

Hình 1.19. So sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h = 30m m ...............37

Hình 1.20. So sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h = 60mm ..............38

Hình 2.1. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số p  0.5, a 1.3, b  0.5, c  0.25, f  0 .......................................................45

Hình 2.2. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số p  0.5, a 1.3, b  0.5, c  0.25, f  sin t 

.......................................46







Hình 2.3. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số p  0.5, a 10, b 1 , c 10 .........................................................................46

4

Hình 2.4. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số p 1.5, a 1 , b 1 , c 1 , f  0 ....................................................................49

Hình 2.5. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

....................................................50

p 1.5, a 1 , b 1 , c 1 , f  sin t 







Hình 2.6. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số p 1.5, a 10, b 1 , c 10 .........................................................................51

Hình 2.7. Xấp xỉ tích phân bởi công thức hình thang ..............................................54

Hình 2.8. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

phân số p  0.5, a 1.3, b  0.5, c  0.25, f  0 .......................................................56

Hình 2.9. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp

.......................................57

p  0.5, a 1.3, b  0.5, c  0.25, f  sin t 







Hình 2.10. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm

cấp phân số p 1.5, a 1 , b 1 , c 1 , f  0 .............................................................61

Hình 2.11. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm

..............................................61

p 1.5, a 1 , b 1 , c 1 , f  sin t 







Hình 2.12. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm

cấp phân số p 1.5, a 10, b 1 , c 10 ..................................................................62

Hình 3.1. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.2. Đường cong biên độ tần số khi

thay đổ i .............................................70

_p

.....................................71

_p 0; p  0.25

Hình 3.3. Đường cong biên độ tần số khi _p1 ; p  0 ...........................................71

Hình 3.4. Đường cong biên độ tần số khi _p1 ; p  0.25 ......................................71

Hình 3.5. Đường cong biên độ tần số khi _p1 ; p  0 ........................................72

Hình 3.6. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi ...............................................72

Hình 3.7. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi _p 0.5; p  0.5 ............73

Hình 3.8. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.9. Đường cong biên độ tần số khi

tha y đổ i .............................................79

thay đổi ..............................................79

_p

p

5

Hình 3.10. Đường cong biên độ tần số kh i

......................................80

....................................80

......................................81

....................................81

_p 0; p  0.5

_p1 ; p  0.25

_p1 ; p  0.5

_p1 ; p  0.75

Hình 3.11. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.12. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.13. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.14. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi .............................................82

Hình 3.15. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi ................82

_p1 ; p  0.5

Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.17. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.18. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi

thay đổ i ...........................................92

thay đổ i ............................................93

thay đổi ............................................93

_p

p

h₀

.................................94

_p 0.0 1 ; p  0.5

Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS

........................94

_p 0.0 1 ; p  0.5

Hình 3.21. Đường cong biên độ tần số khi

......................................94

_p 0; p  0.5

Hình 3.22. Đường cong biên độ tần số MPS khi

.............................95

_p 0; p  0.5

Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi

Hình 3.24. Đường cong biên độ tần số khi

thay đổ i .........................................104

thay đổ i ..........................................105

_p

p

Hình 3.25. Đường cong biên độ tần số khi thay đổi ..........................................105

h₂

Hình 3.26. Đường cong biên độ tần số khi _p 0; p  0.5 ;h₂ 0.0 1 ....................106

Hình 3.27. Đường cong biên độ tần số khi _p 0.0 1 ; p  0.5 ;h₂ 0.01 ...............107

Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi _p 0.0 1 ; p  0.5 ;h₂ 0.1 .................107

Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số MPS khi _p 0.0 1 ; p  0.5 ;h₂ 0.005 ....108

6

MỞ ĐẦU

1.

Lý do lựa chọn đề tài

Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo dựa trên các

mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell và mô

hình tuyến tính tiêu chuẩn…Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học công nghệ nói

chung và cơ học nói riêng, càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su

tổng hợp, silicone…), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên

không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó xuất hiện các mô hình đàn

nhớt cấp phân số.

Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với phần tử đạo

hàm cấp phân số. Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng đối với những biến dạng

lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện. Quy luật dao động của cơ hệ không còn

đơn thuần là quy luật tuyến tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến. Do đó các nhà

khoa học cần phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ có

đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối ưu phục vụ nhu cầu

cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân mô tả đặc tính dao động

phi tuyến của cơ hệ là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại.

2.

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các hệ dao động cơ học được

biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân

số. Cụ thể, tìm nghiệm của các phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số

hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số.

3.

Đối tượng và nội dung nghiên cứu của đề tài

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu diễn bởi các

phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Các hệ cơ học được mô

tả về mặt toán học bằng các phương trình vi phân cấp ba được gọi là các hệ động

lực cấp ba. Thuật ngữ này do GS.Nguyễn Văn Đạo sử dụng đầu tiên ở nước ta.

Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark, phương pháp số

Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm phương trình vi phân dao động

phi tuyến của một số cơ hệ đàn nhớt cấp ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất

dao động mới của cơ hệ.

7

4.

Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Lý thuyết về đạo hàm cấp không nguyên được đề cấp đến trong ghi chú của

Leibniz gửi tới L’Hospital [44] vào ngày 30 tháng 09 năm 1695, trong đó ý nghĩa

về đạo hàm cấp ½ đã được thảo luận.

dⁿ

dxⁿ

Khi trả lời câu hỏi của L’Hospital, biểu thức đạo hàm

có ý nghĩa như

1

thế nào khi n  , Leibniz đã trả lời “sẽ dẫn đến một mâu thuẫn”.Ông cũng viết

2

thêm “Từ mâu thuẫn này đến một ngày nào đó sẽ có những kết luận hữu ích”.

Ghi chú của Leibniz dẫn tới sự xuất hiện của lý thuyết đạo hàm và tích phân

cấp phân số vào cuối thế kỷ XIX và được đưa ra bởi Liouville, Grünwald, Letnikov

và Riemann. Cái nhìn tổng quát về lịch sử của lý thuyết đạo hàm cấp phân số có thể

được tìm thấy trong các tài liệu [46], [53], [57].

Năm 1819, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp

với là số tùy ý được đề

n n

cập đến. Trong cuốn sách về phép tính vi phân và tích phân dày hơn 700 trang của

Lacroix, ông đã để gần hai trang bàn về đề tài này. Ông đã trình bày cách tính đạo

hàm y x  xⁿvà viết

 

d^m

dx^m

n!

1

2

y x 

 

x^nm

(với n,m là số nguyên và với m 

)

n  m !





Khoảng giữa các năm 1832 đến 1835, Liouville đã công bố một vài bài báo

về vấn đề này. Năm 1847, Riemann đã đưa ra định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa

theo các công trình của Liouville. Năm 1967, Caputo đưa ra một phương án mới về

định nghĩa đạo hàm cấp phân số.

Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ

yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các nhà

toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm

và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu

thực khác nhau, chẳng hạn như polymer. Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp

phân số mới thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó.

Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm

cấp không nguyên là hợp lý và phù hợp [15].

8

Đạo hàm cấp phân số cung cấp một công cụ mới để mô tả bộ nhớ và tính

chất di truyền của những vật liệu và quá trình khác nhau. Đây là ưu điểm chính của

đạo hàm cấp phân số so với những mô hình đạo hàm cấp nguyên cổ điển, trong đó

những ảnh hưởng như vậy trong thực tế bị bỏ qua.

Việc mô hình toán học và mô phỏng các cơ hệ và các quá trình, dựa trên sự

mô tả những tính chất của chúng thông qua đạo hàm cấp phân số, tất nhiên sẽ dẫn

tới những phương trình vi phân cấp phân số và dẫn tới sự cần thiết phải giải những

phương trình như vậy. Tuy nhiên, không thể tìm được những phương pháp tổng

quát để giải.

Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong lĩnh vực

cơ học đã được quan tâm nghiên cứu. Ví dụ những bài báo cổ điển của Bagley và

Torvik [71], Caputo [13], Caputo và Mainardi ([15], [16]) (bốn bài báo này đề cập

đến việc thiết lập mô hình của tính chất cơ học các vật liệu), Chern [17], Diethelm

và Freed ([22], [23]), Freed và Luchko [24] (mô hình trạng thái của những vật liệu

đàn nhớt và nhớt dẻo dưới ảnh hưởng của ngoại lực), Gaul, Klein, và Kempfle [31]

(mô tả sự tắt dần của những hệ cơ học) và Shaw, Warby, Whiteman [62] (mô hình

của những vật liệu đàn nhớt)…

Những ý tưởng về việc chèn đạo hàm cấp phân số vào việc thiết lập những

phương trình kết cấu của vật liệu đã được thử nhiều lần trong suốt nhiều thập kỷ

qua. Nutting ([49], [50], [51], [52]) là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên

nghĩ rằng hiện tượng chùng (relaxation) ứng suất có thể được mô hình thông qua

thời gian bậc phân số. Gemant ([33], [34]) nhận thấy rằng độ cứng tắt dần của vật

liệu đàn nhớt đã xuất hiện tỷ lệ với bậc phân số của tần số. Sau đó, ông ấy cũng đề

xuất những vi phân cấp phân số theo thời gian có thể mô hình hoá trạng thái cơ học

của vật liệu. Scott Blair và Caffyn [61] nghiên cứu chi tiết hơn việc sử dụng đạo

hàm cấp phân số để mô hình mối quan hệ ứng suất – biến dạng. Caputo ([12], [13],

[14]), Caputo và Mainardi [16] chỉ ra mối quan hệ quy luật kết cấu sử dụng phép

tính phân số có thể mô tả tính chất đàn nhớt và tính chất cơ học của tầng địa chất và

một số kim loại, thuỷ tinh. Sau những năm 1970, sự nghiên cứu một cách cẩn thận

và toàn diện các mô hình vật liệu đàn nhớt bằng phép tính phân số được thấy rõ

hơn. Bagley và Torvik [8] đã xem xét lại các bài báo liên quan đến ứng dụng của

9

phép tính phân số đối với tính đàn nhớt. Họ đã chỉ ra rằng những mô hình tính toán

đạo hàm cấp phân số của vật liệu đàn nhớt là phù hợp với lý thuyết mô tả trạng thái

của những vật liệu đàn nhớt. Việc hiểu biết những hàm chùng và rão (relaxation and

creep), va chạm tắt dần, đáp ứng dao động của vật liệu cấp phân số là một lĩnh vực

quan trọng cho các kỹ sư ứng dụng. Chẳng hạn Koeller [41] đã nghiên cứu những

hàm chùng và rão cho những phần tử phân số thông qua những phương trình tích

phân Volterra với nhân Abelian.

Caputo [14], Bagley và Torrik [9], Sakakibara [60], Zhang và Shimizu [76]

đã nghiên cứu những tính chất va chạm, dao động và tắt dần của các bộ dao động

với các toán tử phân số. Những tính chất đặc biệt của chúng được nêu bật. Những

ứng dụng kỹ thuật của vật liệu đàn nhớt để khử va chạm và dao động được nghiên

cứu bởi Gaul và Chen [32] và Tsai [72], Li và Tsai [45].

Những nghiên cứu của Sakakibara [60] trên bộ dao động phân số với đạo

hàm cấp ½ nhấn mạnh tầm quan trọng của toán tử phân số trên những tính chất

động lực học của cơ hệ. Zhang và Shimizu [76] nghiên cứu một vài khía cạnh quan

trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt mô hình bởi quy luật kết cấu

Kelvin – Voigt. Baker [10] nghiên cứu một phương trình đạo hàm riêng của mô

hình thanh đàn nhớt với quy luật Kelvin – Voigt.

Tính chất phi tuyến trong trạng thái của vật liệu tồn tại khá nhiều. Đối với vật

liệu polymer có một sự phức tạp rất lớn là sự tương tác phụ thuộc thời gian sẵn có

và nguồn gốc của tính phi tuyến. Sugimoto ([67], [68], [69], [70]) nghiên cứu bài

toán giá trị đầu của phương trình Burgers liên quan đến đạo hàm cấp phân số ½.

Nghiên cứu chỉ ra rằng đạo hàm cấp phân số cho thấy sự nổi bật của tính không liên

tục nhưng không cho phép kiểm tra độ dốc phi tuyến. Nhiều vật liệu giảm chấn

được phát triển và sử dụng những điều kiện chuyển tiếp ở mức độ cao của biến dạng

trong đó đáp ứng của chúng là phi tuyến một cách rõ ràng. Sackman và Kelly [59],

Papoulia và Kelly [54] xây dựng quan hệ kết cấu phi tuyến của vật liệu trong miền

thời gian để tính toán trạng thái phi đàn hồi và sự hư hại của vật liệu đàn nhớt sử

dụng bộ giảm chấn. Họ giải thích thành công những kết quả của thực nghiệm.

Rossikhin và Shitakova [58] nghiên cứu chi tiết động lực học phi tuyến liên quan

đến tính đàn nhớt. N. Gil – Negrete [35] nghiên cứu mô hình vật liệu cao su phi

tuyến kết hợp với tính đàn nhớt cấp phân số.

10

Hiện nay ở trong nước, một số tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học có đăng

một số công trình nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số nhưng còn ít và chủ yếu

nghiên cứu về mặt toán học. Trên tạp chí Toán học có các nghiên cứu về quy luật

luỹ thừa cho sự khuếch tán phân số, phương pháp Possion [36] và đó là các công

trình của các tác giả nước ngoài.

Trong luận án, tác giả đã áp dụng các phương pháp số Newmark, phương

pháp Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận để tính toán dao động phi tuyến của

hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số.

5.

Cấu trúc của luận án

Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận

chung và những đóng góp mới của luận án.

Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số”. Trong chương này giới thiệu

một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số, mô

hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng

quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số.

Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số

bằng phương pháp số”. Trong chương này áp dụng hai phương pháp số Newmark

và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo

hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết quả giữa hai phương pháp số.

Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa

đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”. Trong chương này áp dụng

phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ được mô tả

bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số (hệ Duffing và hệ

van der Pol), tính toán dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có

chứa đạo hàm cấp phân số (hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động). Với mỗi

cơ hệ, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều kiện ổn định của nghiệm dừng

dựa trên lý thuyết Lyapunov được khảo sát. Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu

ảnh hưởng của các tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ

tần số, điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và đạo

hàm cấp phân số.

11

CHƯƠNG 1. MÔ HÌNH ĐÀN NHỚT CẤP PHÂN SỐ

Chương 1 trình bày một số định nghĩa về đạo hàm và tích phân cấp phân số

của các tác giả khác nhau. Đó là các định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số

theo Riemann – Liouville, theo Grünwald – Letnikov, theo Caputo, theo hàm biến

phức, theo Weyl, theo Miller – Ross. Sử dụng định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp

phân số theo Riemann – Liouville, luận án đã trình bày mối quan hệ giữa định nghĩa

này với các định nghĩa khác về đạo hàm và tích phân cấp phân số. Phần tiếp theo

của chương trình bày một số mô hình đàn nhớt cấp phân số trong các hệ dao động.

1.1. Một số kiến thức bổ trợ

1.1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên

Chúng ta sử dụng

n

và

N

, Q

là những số nguyên dương, p,q,r, và là

những số bất kỳ. Cho một hàm số f t . Ta ký hiệu đạo hàm cấp 1, cấp 2,..., cấp

 

n

,…của hàm f t như sau

 

df t d²f t

   

dⁿf t

 

,...

(1.1)

,

,...,

dt

Ngoài ra ta cũng có các ký hiệu đạo hàm tương tự

df t d²f t dⁿf t

dt²

dtⁿ

     

,

,...,

,...

n

dt

 

2

dt

 

dt

 

Đạo hàm của hàm f t theo t  a bằng đạo hàm theo

t

của nó

 





df t

 

dt

d²f t

dⁿf t

df

d t  a 

 





 

,...



,



,...,



(1.2)

d t  a ²

d t  a ⁿ

dt²

dtⁿ



















Do tích phân là phép tính ngược của đạo hàm nên ta viết

d^1f t

t

 

1 ^ ^{f t dt}

(1.3)

(1.4)

(1.5)

 

0

dt

 

0

Các tích phân nhiều lớp được ký hiệu

t₁

d^2f t

t

 

 dt f t dt

 

1

0

2

 

dt

 

0

t_n1

t₂

t₁

d^nf t

 

t

dt f t dt .

 

n ^^dt^n1 ^dt^n2 

1

0

dt

 

0

12

Khi giới hạn dưới khác 0, các tích phân sẽ được viết

d^1f t

t

 

(1.6)

(1.7)

^ ^{f t dt}

 

0

d t  a ^1





a





t_n1

t₂

t₁

d^nf x

 

t

dt f t dt .

 

^^dt^n1 ^dt^n2 

1

0

d t  a ^n





a





Lưu ý phương trình sau đúng với đạo hàm nhưng không đúng với tích phân

dⁿf t

 







(1.8)

d t  a ⁿ

dtⁿ





d^nf t

 

Tức là



.

(1.9)

d t  a ^n

dt^n









n

Đạo hàm cấp

n

thường được viết

f ^{ }

t

 

(1.10)

Từ đó ta sẽ sử dụng đối với tích phân

t_n1

t₂

t₁

t

n

f ^

t  dt

dt_n2

dt f t dt .

(1.11)



 

n1

1

0

 

a

d ^pf t

 

p



Với p là số bất kỳ



 f ^t .

 

d t  a ^p

p

dt ^p

dt

 









d ^pf t

 

d ^pf

d t  a ^p



b .

 

d t  a ^p

















x b

Trong luận án này sử dụng ký hiệu

d ^pf t

 

 D^pf t .

 

a

d t  a ^p









1.1.2. Hàm Gamma

1.1.2.1. Định nghĩa hàm Gamma hay tích phân Euler loại 2

Với s > 0 ta có định nghĩa hàm Gamma (tích phân Euler loại 2)



 s  e^xx^s1dx,

(1.12)

 



0

13

Định nghĩa trên có được bằng phép đổi biến u  log t trong định nghĩa

 

ban đầu của Euler

1

 s  log x ^s1dx.

 







0

1.1.2.2. Công thức cơ bản thứ nhất của hàm Gamma

 s 1  s s , s  0

(1.13)





 





Chứng minh

Từ (1.12) tích phân từng phần



x

s

x



^s



 s e^xx^s1dx  s s

s  0 .

^{ s 1 } ^{e x dx  e x}







 







0

Do đó ta sẽ có

 s  s 1 s  2

s  k  s  k ,

 

k  s

(1.14)

  



 







Cho s  n ta có

 n  n n 1 n  2 2.1. 1 ,

    







 1  e^xdx  e^x

1,

 



0

  n 1 1.2...n  n!

(1.15)





Biểu thức thứ 2 của hàm Gamma

dx  2tdt





Đặt x  t²



x^s1 t^{2 s1}











2

Từ (1.12) ta được  s  2 e^tt^2s1dt,

 



0



2

Hay

 s  2 e^xx^2s1dx,

s  0 ,

(1.16)

(1.17)

 







0



2

1



2

 

Với s  có



 2 e^xdx  2

  ,

 



2

 

2

0

Mặt khác theo công thức (1.14) ta có

1.3.5... 2n 1

1

2

1

2

3

2

1

2

1







 

 n 





 

 

 n 

n 





 .



 

 









 

2

2ⁿ



14

1.1.2.3. Công thức cơ bản thứ 2 của hàm Gamma và hàm Beta

Hàm Beta (tích phân Euler loại 1) có dạng

1

 p,q  x^p11 x ^q1dx,

p  0,q  0 .

(1.18)

ta có hàm Beta ở dạng tích phân suy rộng

















0

x  cos²

Bằng phép đổi biến

 2

 p,q  2 cos^{2 p1}.sin^2q1dx,

p  0,q  0 .

(1.19)











0

1

x  sin²



Đặt

ta cũng biến đổi được hàm  q, p  x^q11 x ^p1dx với











0

p  0,q  0 về dạng (1.19)





  p,q   q, p .









Như vậy hàm Beta đối xứng và có thể được tính toán thông qua hàm



nhờ

tính chất quan trọng sau

Định lý

 p  q

   

(1.20)

 p,q 

  q, p .









 p  q





Chứng minh

Từ (1.16) ta có



 

2

e^{ x  y}x^{2 p1}y^2q1dxdy.





 p  q  4 e^xx^{2 p1}dx e^{ y}y^2q1

^{dy  4} 

   



0

0 0

x  rcos, y  rsin

Sử dụng tọa độ cực

có

 2



2

e^rr^{2 pq 1}cos^{2 p1} sin^2q1drd





^{ p  q  4} 

   

0

 2



2

 2 e^rr^{2 pq 1}dr.2 cos^{2 p1} sin^2q1d







0

  p  q  p,q

dfcm .



 







Sử dụng tính chất vừa chứng minh ta có

1

 s  1 s   1  s,1 s   s,1 s  t^s11 t ^sdt.

     













0

x

Thay t 

suy ra

1 x



x^s1



 s  1 s 

  

dx 

,

0  s 1 .

(1.21)







 _{1 x}

sin s

0

15

1.1.2.4. Hàm Gamma có thể xem như giới hạn của một tích

Ta đã biết giới hạn

n

x





 e^x,

(1.22)

(1.23)

lim 1







^n

n



^



x

  s  e^xx^s1dx  lim 1

x^s1dx.

 









_n _

n

0

k

ⁿ

₀



x

Ký hiệu

 s  1

x^s1dx,

0  k  n,s  0 .

(1.24)

(1.25)

(1.26)

_k 













n

Tích phân từng phần (1.24) tính được

k

k1

x^s

s

k

x

k

n

x







ⁿ





 s  1

_k 



1

x^sdx  _k1s 1 ,















_ns

0

n

ns

₀

Mặt khác chú ý rằng

n

x^s

n^s

s

n

 s  x^s1dx 



.

₀ 



s 0

0

Thông qua (1.25) và (1.26) ta tính  s

_n 

n

n 1

n  2

1

 s  _n1s 1 







 s  n

₀

_n 





ns

ns n s 1 n s  2

n s  n 1













1.2 n

n^sn

1.2 n







n^s.

nⁿs s 1

s  n 1 s  n s s 1

 

s  n



 







Do đó hàm Gamma có thể được biểu diễn qua giới hạn của một tích

1.2 n

(s)  lim

n^s,

(s  0).

(1.27)

n

s s 1

 

s  n





Biểu thức (1.27) có thể dùng làm định nghĩa hàm Gamma. Khi đó, ta vẫn có

công thức truy toán cơ bản  s 1  s s

.





 

Thật vậy







1.2 n

n



 s 1  lim s

n^s









^n





s s 1

s  n

s  n 1



 





1.2 n

n

 s.lim

n^s.lim

 s s .

 

n

s s 1 s  n

s  n 1



 



Hàm Gamma được định nghĩa qua giới hạn của một tích như trên có các cực

điểm đơn là 0, -1, -2, …, - ,…

n

Luận án Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số - Bùi Thị Thúy