Tóm tắt Luận án Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của luận án
Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác được mô tả bởi
các phương trình và hệ phương trình vi phân với các điều kiện biên khác nhau.
Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân
cấp bốn không đầy đủ và phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ. Phương trình
vi phân cấp bốn mà trong đó hàm vế phải chứa ẩn hàm và chứa đầy đủ các đạo
hàm các cấp của nó (từ cấp một đến cấp ba) được gọi là phương trình vi phân
cấp bốn đầy đủ. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấp
bốn không đầy đủ.
Bài toán biên đối với phương trình vi phân đã thu hút được sự quan tâm của
các nhà khoa học như Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós,.... Một số nhà
toán học và cơ học Việt Nam, như Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn
Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, ... cũng
nghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên cho phương trình vi phân.
Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến cấp
bốn được quan tâm rất nhiều trong thời gian gần đây vì nó là mô hình toán học
của nhiều bài toán trong cơ học. Dưới đây chúng tôi điểm qua một số bài toán
biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn.
Đầu tiên, xét bài toán về dầm trên nền đàn hồi được mô tả bởi phương trình
vi phân phi tuyến cấp bốn dạng
u(4)(x) = f(x, u(x), u00(x))
(0.0.2)
hoặc
u(4)(x) = f(x, u(x), u0(x))
(0.0.3)
trong đó u là độ võng của dầm, 0 ≤ x ≤ L. Các điều kiện biên tại hai đầu của
dầm được cho phụ thuộc vào ràng buộc của bài toán. Đã có một số kết quả nghiên
cứu về định tính của các bài toán biên đối với các phương trình vi phân trên như
sự tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Đáng chú ý phải kể đến các
bài báo của Alves và cộng sự (2009), Amster và cộng sự (2008), Bai (2004), Li
(2010), Ma và cộng sự (1997),..., ở đó phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới,
phương pháp biến phân, các định lý điểm bất động được sử dụng. Trong các bài
1
báo này điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải f(x, u, v) hoặc về bậc tăng
trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được.
Trong các bài báo đã nhắc đến ở trên, phương trình vi phân cấp bốn không
chứa đạo hàm cấp ba. Khoảng hơn chục năm trở lại đây, phương trình vi phân
cấp bốn đầy đủ, cụ thể là phương trình
u(4)(x) = f(x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x))
(0.0.6)
thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả (xem Ehme và cộng sự (2002), Feng và
cộng sự (2009), Li và cộng sự (2013), Li (2016), Minhós và cộng sự (2009), Pei
và cộng sự (2011),...). Các kết quả chính trong các bài báo trên là nghiên cứu sự
tồn tại, tính duy nhất và tính dương của nghiệm. Các công cụ được sử dụng là lý
thuyết bậc Leray-Schauder (xem Pei và cộng sự (2011)), định lý điểm bất động
Schauder trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm
trên (xem Bai (2007), Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Minhós
và cộng sự (2009)) hoặc giải tích Fourier (xem Li và Liang (2013)).
Tuy nhiên, trong tất cả các bài báo nêu trên, các tác giả cần đến một giả thiết
rất quan trọng là hàm f : [0, 1] × R4 → R thỏa mãn điều kiện Nagumo và một
số điều kiện khác về tính đơn điệu và tăng trưởng tại vô cùng. Cần lưu ý rằng,
trong phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn
luôn cần thiết nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng.
Các bài toán về hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa nhiều,
chẳng hạn Kang và cộng sự (2012), Lu¨ và cộng sự (2005), Zhu và cộng sự (2010),
trong đó các tác giả xét phương trình vi phân chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn.
Với các điều kiện phức tạp, bằng việc sử dụng định lý chỉ số điểm bất động trên
nón, các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệm dương. Tuy nhiên, các kết quả đạt
được là có tính lý thuyết thuần túy vì không có ví dụ nào minh họa sự tồn tại
nghiệm.
Minhós và Coxe (2017, 2018) là các tác giả đầu tiên xét hệ hai phương trình
vi phân cấp bốn đầy đủ. Tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ cho tính giải được
của hệ bằng việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm trên và Định lý điểm
bất động Schauder. Chứng minh kết quả này rất cồng kềnh và phức tạp, đòi hỏi
điều kiện Nagumo đối với các hàm f và h.
Mặc dù đã có các thành tựu quan trọng đạt được trong việc nghiên cứu định
tính và tìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các
lĩnh vực ứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học,. . . luôn đặt ra các bài bài toán
mới phức tạp trong phương trình cũng như các điều kiện biên. Các bài toán này
có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và thực tiễn. Hơn nữa, trong các bài báo
kể trên, các điều kiện đưa ra phức tạp và khó kiểm tra, trong đó hạn chế về điều
kiện Nagumo và điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của hàm vế phải. Với phương
pháp đơn điệu, giả thiết tìm được nghiệm dưới và nghiệm trên luôn luôn cần thiết
nhưng việc tìm chúng nói chung không dễ dàng. Mặt khác, một số bài báo chưa
có ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết. Chính vì thế, việc tiếp tục nghiên
cứu cả về mặt định tính và định lượng các bài toán mới cho phương trình và hệ
phương trình vi phân cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau là rất có ý nghĩa
2
khoa học và thực tiễn.
Đó là lý do vì sao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải bài toán biên
hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn".
2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận án
Mục tiêu của luận án là phát triển phương pháp lặp kết hợp với các phương
pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài
toán biên hai điểm đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến
cấp bốn nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm, trong đó không dùng đến điều
kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo... của hàm vế phải.
3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu
Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán
tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích
hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất
và một số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán đối với phương trình và
hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ.
Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp
tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp.
Một số ví dụ được đưa ra, trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm
đúng, để minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và thực hiện tính
toán trên máy tính điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các thuật toán.
4. Kết quả đạt được của luận án
Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải
bài toán biên đối với phương trình và hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn
không đầy đủ và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán về phương trình
toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Các kết quả đạt được là:
• Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của các
bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra.
• Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của
phương pháp với tốc độ cấp số nhân.
• Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết,
trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không
được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn các điều kiện trong các
định lý của họ.
• Các thực nghiệm tính toán minh họa tính hiệu quả của phương pháp lặp.
Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [1]-[6] trong danh mục các công trình
của tác giả liên quan đến luận án.
3
5. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
án gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm một số định lý điểm bất
động; phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối với phương trình vi phân; hàm
Green đối với một số bài toán và phương pháp số giải phương trình vi phân. Các
kiến thức cơ bản trong Chương 1 đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho
các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3.
Trong Chương 2, bằng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương
trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, chứ không phải đối với ẩn hàm, chúng
tôi đã thiết lập sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất của nghiệm đối với một
số bài toán cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ.
Cũng trên cơ sở phương trình toán tử, chúng tôi xây dựng phương pháp lặp tìm
nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp. Một số ví dụ,
trong đó biết trước hoặc không biết trước nghiệm đúng được đưa ra đã minh họa
cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp.
Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối với hệ
hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ, chúng tôi
cũng thu được các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương
pháp lặp. Các kết quả này làm phong phú thêm và khẳng định tính hiệu quả của
cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với
hàm dựa trên vế phải.
Trong luận án, các kết quả lý thuyết đã được kiểm tra bằng các thực nghiệm
tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 7.0 trên máy tính PC với
CPU Intel Core i3, 4GB RAM.
4
Chương 1
Kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương tiếp
theo được tham khảo từ các tài liệu Ladde (1985), Melnikov và cộng sự (2012),
Samarskii và cộng sự (1989), Zeidler (1986).
1.1 Một số định lý điểm bất động
Trong mục này, chúng tôi trình bày ba định lý điểm bất động có ứng dụng
nhiều trong nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm của các phương trình vi phân:
Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý điểm
bất động Schauder.
1.2 Phương pháp đơn điệu giải bài toán biên đối
với phương trình vi phân
Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại,
duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình vi phân
là phương pháp đơn điệu. Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm dưới và nghiệm
trên đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu
trong những năm gần đây. Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa ra
cách chứng minh các định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác
nhau, đó là kỹ thuật hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm.
Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β tương
ứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution) của
bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụ đơn
điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện
α ≤ α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αk ≤ ... ≤ u ≤ u ≤ ... ≤ βk ≤ ... ≤ β2 ≤ β1 ≤ β.
Trong trường hợp u = u, bài toán có nghiệm duy nhất trong dải < α, β >, nếu
khác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên.
5
1.3 Hàm Green đối với một số bài toán
Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bài toán giá trị biên.
Đặc biệt, hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của các bài toán.
Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất
dny
dxn
dn−1
y
dxn−1
L[y(x)] ≡ p0(x)
+ p1(x)
+ ... + pn(x)y = 0,
(1.3.1)
(1.3.2)
ꢀ
ꢁ
n−1
dky(a)
dky(b)
dxk
X
Mi(y(a), y(b)) ≡
αki
+ βki
= 0, i = 1, ...n,
dxk
k=0
trong đó pi(x), i = 0, ...n là các hàm liên tục trên (a, b), p0(x) = 0 với mọi điểm
thuộc (a, b).
Định nghĩa 1.4. (Melnikov và cộng sự (2012)) Hàm G(x, t) được gọi là hàm
Green của bài toán giá trị biên (1.3.1)-(1.3.2) nếu xem như hàm của biến x, nó
thỏa mãn các điều kiện dưới đây với mọi t ∈ (a, b) :
(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n
và thỏa mãn phương trình (1.3.1) trên (a, t) và (t, b), tức là:
L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b).
(ii) G(x, t) phải thỏa mãn các điều kiện biên trong (1.3.2), tức là
Mi(G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, ..., n.
(iii) Tại x = t, G(x, t) và tất cả các đạo hàm riêng theo biến x tới cấp (n − 2) là
các hàm liên tục
∂kG(x, t)
∂kG(x, t)
lim
− lim
= 0, k = 0, ..., n − 2.
∂xk
∂xk
x→t+
x→t−
(iv) Đạo hàm riêng cấp (n − 1) theo biến x của G(x, t) là gián đoạn khi x = t,
cụ thể
∂
n−1G(x, t)
∂xn−1
∂
n−1G(x, t)
∂xn−1
1
lim
− lim
= −
.
x→t+
x→t−
p0(t)
Định lý sau chỉ ra điều kiện về sự tồn tại và duy nhất của hàm Green.
Định lý 1.6. (Melnikov và cộng sự (2012)) (Tồn tại và duy nhất). Nếu bài toán
giá trị biên thuần nhất trong (1.3.1)-(1.3.2) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tại
duy nhất hàm Green tương ứng với bài toán.
Xét phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
dny
dxn
dn−1
y
dxn−1
L[y(x)] ≡ p0(x)
+ p1(x)
+ ... + pn(x)y = −f(x),
(1.3.3)
6
với các điều kiện biên thuần nhất
ꢀ
ꢁ
n−1
dky(a)
dxk
dky(b)
dxk
X
Mi(y(a), y(b)) ≡
αki
+ βki
= 0, i = 1, ...n.
(1.3.4)
k=0
trong đó các hệ số pj(x) và các hàm vế phải f(x) trong phương trình (1.3.3) là
các hàm liên tục, với p0(x) = 0 trên (a, b) và Mi biểu diễn các dạng độc lập tuyến
tính với các hệ số hằng.
Định lý sau thể hiện mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3.3)-(1.3.4)
với bài toán thuần nhất tương ứng.
Định lý 1.7. (Melnikov và cộng sự (2012)) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất
tương ứng với (1.3.3)-(1.3.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3.3)-(1.3.4)
có nghiệm duy nhất biểu diễn dưới dạng
Z
b
y(x) =
G(x, t)f(t)dt,
a
trong đó G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng.
1.4 Phương pháp số giải phương trình vi phân
Để giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân, người ta chỉ có thể tìm
được nghiệm giải tích của chúng trong một số rất ít các trường hợp đặc biệt còn
đại đa số các trường hợp buộc phải sử dụng phương pháp giải gần đúng. Phương
pháp sai phân là một trong những phương pháp số giải gần đúng phương trình
vi phân. Ý tưởng chung của các phương pháp sai phân là đưa bài toán vi phân
về bài toán rời rạc trên một lưới điểm dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số
tuyến tính.
Bài toán giá trị biên đối với các phương trình vi phân cấp hai, bằng phương
pháp sai phân ba điểm dẫn đến giải hệ phương trình có ma trận hệ số dạng ba
đường chéo. Một trong các phương pháp trực tiếp hữu hiệu giải hệ này là phương
pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt của phương pháp khử). Trong mục 1.4 chúng
tôi trình bày chi tiết phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo (xem Samarskii
và cộng sự (1989)).
7
Chương 2
Phương pháp lặp giải bài toán biên
đối với phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn
Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điều
kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số bài báo trong những năm
gần đây. Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sử dụng lý
thuyết bậc Leray-Schauder (Pei và Chang (2011)), định lý điểm bất động Schauder
trên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên, chẳng
hạn, Bai (2007), Ehme và cộng sự (2002), Feng và cộng sự (2009), Minhós và cộng
sự (2009) hoặc giải tích Fourier (Li và Liang (2013)). Trong các bài báo này điều
kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng
là không thể thiếu được. Trong các bài báo nêu trên, các tác giả đưa bài toán
ban đầu về phương trình toán tử đối với ẩn hàm u(x). Khác với cách tiếp cận đó,
trong các bài báo [1]-[4], chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử
đối với hàm dựa trên vế phải ϕ(x) = f(x, u(x), v(x), ...). Ý tưởng này bắt nguồn
từ một bài báo trước đây của tác giả Đặng Quang Á (2006) khi nghiên cứu bài
toán Neumann đối với phương trình kiểu song điều hòa. Xét trong miền bị chặn
thích hợp, chúng tôi không dùng đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện
Nagumo... của hàm vế phải. Khi đó, toán tử đối với ϕ dưới một số điều kiện dễ
kiểm tra của hàm f trong miền bị chặn là toán tử co. Theo nguyên lý ánh xạ co,
bài toán ban đầu có duy nhất nghiệm và đảm bảo sự hội tụ của phương pháp lặp
tìm nghiệm xấp xỉ. Tính dương của nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng
được chỉ ra. Một số ví dụ, trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc
chưa biết được đưa ra để minh họa cho các kết quả lý thuyết thu được.
Các kết quả của chương này được trình bày trong các bài báo [1]-[4] trong
danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án. Cần nói thêm rằng,
trong bài báo của tác giả Đặng quang Á và Trương Hà Hải (2016) đã phát triển
phương pháp trên với phương trình elliptic cấp bốn phi tuyến.
8
2.1 Bài toán biên đối với phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn không đầy đủ
Phần này tập trung nghiên cứu bài toán biên đối với phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn không đầy đủ mô tả độ võng của dầm trên nền đàn hồi với hai
đầu được gối-tựa đơn giản dạng
u(4)(x) = f(x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1,
(2.1.1)
u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0.
trong đó f : [0, 1]×R2 → R là hàm liên tục. Bài toán đã thu hút sự quan tâm của
nhiều tác giả vì nó có ý nghĩa quan trọng trong cơ học, chẳng hạn Aftabizadeh
(1986), Ma và cộng sự (1997), Bai và cộng sự (2004), Li (2010)... Trong các bài
báo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của
nó tại vô cùng là không thể thiếu được.
Trong bài báo [2], chúng tôi cũng xét bài toán (2.1.1). Khác với cách tiếp cận
của các tác giả khác, chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối
với hàm dựa trên vế phải và chứng tỏ rằng toán tử này trong một số điều kiện
dễ kiểm tra có tính chất co. Điều này bảo đảm bài toán gốc có nghiệm duy nhất
sinh bởi điểm bất động của toán tử và sự hội tụ của phương pháp lặp xây dựng
nghiệm gần đúng.
Để nghiên cứu bài toán (2.1.1), với ϕ ∈ C[0, 1], ta xét phương trình toán tử
ϕ = Aϕ,
(2.1.2)
trong đó A là toán tử được xác định như sau
(Aϕ)(x) = f(x, uϕ(x), vϕ(x)).
(2.1.3)
Ở đây vϕ(x), uϕ(x) được xác định từ các bài toán
ꢂ
vϕ00 = ϕ(x), 0 < x < 1,
vϕ(0) = vϕ(1) = 0,
(2.1.4)
(2.1.5)
ꢂ
u0ϕ0 = vϕ(x), 0 < x < 1,
uϕ(0) = uϕ(1) = 0.
Mệnh đề 2.1. (Mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (2.1.1) với nghiệm của
phương trình toán tử (2.1.2)). Nếu ϕ(x) là nghiệm của (2.1.2) trong đó A được
xác định bởi (2.1.3)-(2.1.5) thì uϕ(x) là nghiệm của bài toán (2.1.1) và ngược lại.
Bổ đề 2.1. Giả sử v và u là nghiệm của các bài toán (2.1.4), (2.1.5). Khi đó, ta
có các khẳng định sau:
(i)
1
1
kvk ≤ kϕk, kuk ≤ kϕk,
(2.1.7)
8
64
trong đó k.k là chuẩn max trong C[0, 1].
9
(ii) Nếu ϕ(x) ≥ 0 trong [0, 1] thì −kϕk/8 ≤ v(x) ≤ 0 và 0 ≤ u(x) ≤ kϕk/64
trong [0, 1].
Với mỗi số M > 0 ký hiệu
ꢂ
ꢃ
M
M
DM = (x, u, v) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ , |v| ≤
,
(2.1.9)
64
8
và B[O, M] là hình cầu đóng tâm O với bán kính M trong không gian các hàm
liên tục C[0, 1].
Định lý 2.1. (Tính duy nhất nghiệm). Giả sử tồn tại các số M, L1, L2 ≥ 0 sao
cho
(i)
|f(x, u, v)| ≤ M với mọi (x, u, v) ∈ DM .
(2.1.10)
(2.1.11)
(ii)
|f(x, u2, v2) − f(x, v1, u1)| ≤ L1|u2 − u1| + L2|v2 − v1|
với mọi (x, ui, vi) ∈ DM , i = 1, 2.
(iii)
1
q := (L1 + 8L2) < 1.
(2.1.12)
64
Khi đó bài toán (2.1.1) có nghiệm duy nhất u(x) ∈ C[0, 1] thỏa mãn đánh giá
kuk ≤ M/64.
Xét trường hợp đặc biệt của Định lý 2.1. Ký hiệu
n
o
M
M
+
DM = (x, u, v) | x ∈ [0, 1], 0 ≤ u ≤ , − ≤ v ≤ 0 .
(2.1.16)
64
8
Định lý 2.2.(Tính dương của nghiệm). Giả sử tồn tại các số M, L1, L2 ≥ 0 sao
cho
(i)
+
0 ≤ f(x, u, v) ≤ M với mọi (x, u, v) ∈ DM .
(2.1.17)
(2.1.18)
(ii)
|f(x, u2, v2) − f(x, v1, u1)| ≤ L1|u2 − u1| + L2|v2 − v1|
+
với mọi (x, ui, vi) ∈ DM , i = 1, 2.
(iii)
1
q := (L1 + 8L2) < 1.
(2.1.19)
64
Khi đó bài toán (2.1.1) có nghiệm không âm duy nhất u(x) ∈ C[0, 1] thỏa mãn
đánh giá 0 ≤ u(x) ≤ M/64.
Xét quá trình lặp sau:
10
1. Cho xấp xỉ ban đầu
ϕ0(x) ∈ B[O, M], chẳng hạn, ϕ0(x) = f(x, 0, 0).
(2.1.20)
2. Biết ϕk (k = 0, 1, ...) giải liên tiếp hai bài toán
ꢂ
v00 = ϕk(x), 0 < x < 1,
vkk(0) = vk(1) = 0,
(2.1.21)
(2.1.22)
ꢂ
u00 = vk(x), 0 < x < 1,
ukk(0) = uk(1) = 0.
3. Cập nhật
ϕk+1 = f(x, uk, vk).
(2.1.23)
Định lý 2.3. Với các giả thiết của Định lý 2.1 (hoặc Định lý 2.2) phương pháp
lặp trên hội tụ với tốc độ cấp số nhân và có đánh giá sai số sau đây
qk
||uk − u|| ≤
||ϕ1 − ϕ0||,
(2.1.24)
64(1 − q)
trong đó u là nghiệm chính xác của bài toán (2.1.1) và q được xác định bởi (2.1.12).
Bổ đề 2.2. (Tính chất đơn điệu) Giả sử tất cả các điều kiện của Định lý 2.1 được
thỏa mãn. Hơn nữa, giả thiết rằng hàm f(x, u, v) tăng theo u và giảm theo v với
mọi (x, u, v) ∈ DM . Khi đó, nếu ϕ(1), ϕ(2) ∈ B[O, M] là các xấp xỉ ban đầu và
0
0
ϕ(01)(x) ≤ ϕ0(2)(x) với mọi x ∈ [0, 1] thì các dãy u(1), u(2) tạo ra bởi quá trình lặp
k
k
thỏa mãn tính chất
uk(1)(x) ≤ u(k2)(x), k = 0, 1, ...; x ∈ [0, 1].
uk(1)(x) ≤ u(k2)(x), k = 0, 1, ...; x ∈ [0, 1].
Định lý 2.4. Ký hiệu
ϕmin min f(x, u, v), ϕmax = max f(x, u, v).
=
(x,u,v)∈DM
(x,u,v)∈DM
Với các giả thiết của Bổ đề 2.2, nếu bắt đầu từ ϕ0 = ϕmin thì ta thu được dãy uk
tăng, ngược lại, nếu bắt đầu từ ϕ0 = ϕmax thì ta thu được dãy uk giảm, cả hai dãy
này hội tụ tới nghiệm chính xác u(x) của bài toán. Do đó, nếu ϕmin ≥ 0 thì bài
toán có nghiệm không âm, ngược lại, nếu ϕmax ≤ 0 thì bài toán có nghiệm không
dương.
Các ví dụ trong một số bài báo của các tác giả Bai (2004), Ma và cộng sự
(1997) thỏa mãn các điều kiện của chúng tôi đặt ra, do đó bài toán có nghiệm
duy nhất, trong khi họ chỉ chứng minh được tồn tại nghiệm. Hơn nữa, các điều
kiện chúng tôi đưa ra rất dễ kiểm tra. Thực nghiệm số trên các ví dụ này cho
11
thấy sự hội tụ nhanh của phương pháp lặp được đề xuất. Trong ví dụ dưới đây,
lấy xấp xỉ ban đầu ϕ0 = f(x, 0, 0) và sử dụng lưới đều với số điểm lưới N = 100.
Quá trình lặp được thực hiện cho đến khi
ek = kuk − uk−1k ≤ 10−16
.
(2.1.27)
Sử dụng công bội r(k) = e(k)/e(k − 1) để minh họa tốc độ hội tụ thực tế của
phương pháp lặp.
Ví dụ 2.2. (xem Bai (2004)). Xét bài toán
ꢂ
u(4)(x) = −5u00 − (u + 1)2 + sin2 πx + 1,
u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0.
Trong ví dụ này
f(x, u, v) = −5v − (u + 1)2 + sin2 πx + 1.
Ta thấy các điều kiện của Định lý 2.1 thỏa mãn với M = 3.5, L1 = 2.11, L2 = 5
và q ≈ 0.6580. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ.
Thực nghiệm số chỉ ra sau k = 45 lần lặp thì quá trình lặp dừng với e45 =
5.8981e − 017 và công bội thực tế là qact ≈ 0.4858 thay vì đánh giá lý thuyết
q ≈ 0.6580 như trên. Công bội r(k) và một số nghiệm xấp xỉ được mô tả trong
Hình 2.1. Từ hình vẽ này ta thấy tốc độ giảm của công bội rk hầu như không đổi.
Hình 2.1: Công bội thực tế r(k) (trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví
dụ 2.2.
Chú ý rằng trong Bai (2004), tác giả chỉ có thể thiết lập sự tồn tại nhưng
không đảm bảo tính duy nhất của nghiệm. Như Li (2010), Bai cũng sử dụng
nghiệm dưới α = 0 và nghiệm trên β = sin πx. Dãy xấp xỉ αn, βn trong Bai
(2004) được tạo ta bởi việc giải phương trình dạng u(4) +5u00 +4u = g(x) tại mỗi
bước lặp. Phương trình này thật khó để giải vì toán tử vi phân này không thể
phân tích thành tích của hai toán tử vi phân cấp hai.
12
2.2 Bài toán biên đối với phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn đầy đủ
Trong phần này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán biên cho phương
trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ với hai loại điều kiện biên khác nhau.
2.2.1 Trường hợp các điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản
Xét bài toán
ꢂ
u(4)(x) = f(x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)), 0 < x < 1,
(2.2.1)
u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0.
trong đó f : [0, 1] × R4 → R là liên tục. Bài toán này mô tả dầm uốn đàn hồi với
hai đầu được gối-tựa đơn giản.
Với bài toán này, bằng phương pháp giải tích Fourier và định lý điểm bất động
Leray-Schauder, năm 2013, Li và Liang đã thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài
toán dưới hạn chế về điều kiện tăng trưởng của hàm f(x, u, y, v, z) theo mỗi biến
tại vô cùng.
Trong bài báo [3], chúng tôi cũng xét bài toán (2.2.1). Phương pháp mà chúng
tôi đưa ra khác phương pháp của các tác giả khác, đó là phát triển kỹ thuật trong
[2] với bài toán giá trị biên cấp bốn đầy đủ và không đòi hỏi điều kiện bị chặn
hoặc tăng trưởng tuyến tính của hàm vế phải tại vô cùng như trong Li và Liang
(2013). Chúng tôi thu được kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm và sự
hội tụ của phương pháp lặp.
Các kết quả thu được tương tự như trong bài báo [2] với
n
M
DM = (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤
,
64
M
(2.2.9)
o
M
M
|y| ≤ , |v| ≤ , |z| ≤
16
,
8
2
n
M
+
DM = (x, u, y, v, z)| 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ u ≤
M −M
;
64
≤ v ≤ 0; |z| ≤
(2.2.22)
o
M
|y| ≤
;
,
16
8
2
Chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có
những ví dụ mà theo Li và Liang (2013) không đảm bảm được sự tồn tại nghiệm
của bài toán nhưng sử dụng lý thuyết mà chúng tôi đưa ra có thể thiết lập được
sự tồn tại và duy nhất nghiệm và phương pháp lặp hội tụ.
Tuy cùng điều kiện biên nhưng với bài toán biên đối với phương trình vi
phân cấp bốn không đầy đủ (2.1.1) thì dãy nghiệm có tính chất đơn điệu nhưng
trong bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính đầy đủ (2.2.1) thì
dãy nghiệm không có tính chất này vì phụ thuộc vào tính chất của hàm Green và
các đạo hàm của nó tương ứng với các bài toán.
13
2.2.2 Trường hợp các điều kiện biên dạng ngàm-tự do
Xét bài toán
u(4)(x) = f(x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)), 0 < x < 1,
u(0) = u0(0) = u00(1) = u000(1) = 0,
(2.2.30)
trong đó f : [0, 1] × R4 → R là liên tục. Đây là mô hình dầm côngxôn (cantilever
beam) (cố định ở bên trái và tự do ở bên phải).
Năm 2016, Li đã khẳng định được sự tồn tại nghiệm dương của bài toán
trên với một số điều kiện được đặt ra đối với hàm f. Điều kiện đưa ra là hàm
f(x, u, y, v, z) tăng trưởng trên tuyến tính hoặc dưới tuyến tính theo các biến
u, y, v, z. Trong trường hợp tăng trưởng trên tuyến tính, điều kiện Nagumo hạn
chế điều kiện tăng trưởng của f theo y và z. Kết quả này được chứng minh bằng
việc sử dụng lý thuyết của chỉ số điểm bất động trong nón rất phức tạp.
Trong bài báo [1], xét bài toán (2.2.30), chúng tôi thiết lập được sự tồn tại
và duy nhất của nghiệm của bài toán và sự hội tụ của phương pháp lặp. Bằng
phương pháp đưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải
và xét trong miền bị chặn thích hợp, chúng tôi đã không cần đến các điều kiện
tăng trưởng trong đó có điều kiện Nagumo. Các ví dụ không thỏa mãn điều kiện
trong bài báo của Li (2016) nhưng theo lý thuyết chúng tôi đưa ra khẳng định
được sự duy nhất nghiệm của bài toán. Hơn nữa, các điều kiện của định lý đơn
giản hơn và dễ kiểm tra.
Để nghiên cứu bài toán (2.2.30), với ϕ ∈ C[0, 1], ta xét phương trình toán tử
ϕ = Aϕ,
(2.2.33)
trong đó A là toán tử được xác định như sau
(Aϕ)(x) = f(x, uϕ(x), yϕ(x), vϕ(x), zϕ(x)),
yϕ(x) = u0ϕ(x), zϕ(x) = vϕ0 (x).
(2.2.34)
(2.2.35)
với
Ở đây vϕ(x), uϕ(x) được xác định từ các bài toán
ꢂ
vϕ00(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,
(2.2.36)
(2.2.37)
vϕ(1) = vϕ0 (1) = 0,
ꢂ
u0ϕ0 (x) = vϕ(x), 0 < x < 1,
uϕ(0) = u0ϕ(0) = 0.
Mệnh đề 2.3. (Mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (2.2.30) với nghiệm của
phương trình toán tử (2.2.33)). Nếu ϕ(x) là nghiệm của (2.2.33) trong đó A được
xác định bởi (2.2.34)-(2.2.37) thì uϕ(x) là nghiệm của bài toán (2.2.30) và ngược
lại.
14
Các kết quả thu được tương tự như trong bài báo [2] với
M
M
M
DM = {(x, u, y, v, z)| 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ , |y| ≤ , |v| ≤ , |z| ≤ M},
8
6
2
(2.2.39)
n
M
+
DM = (x, u, y, v, z)| 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ u ≤
;
8
M
(2.2.57)
o
M
0 ≤ y ≤ ; 0 ≤ v ≤ ; −M ≤ z ≤ 0 ,
6
2
Phương pháp lặp như sau
1. Cho
ϕ0(x) = f(x, 0, 0, 0, 0).
(2.2.59)
2. Biết ϕk (k = 0, 1, ...) giải liên tiếp hai bài toán
ꢂ
vk00 = ϕk(x), 0 < x < 1,
(2.2.60)
(2.2.61)
vk(1) = vk0 (1) = 0,
ꢂ
u0k0 = vk(x), 0 < x < 1,
uk(0) = u0k(0) = 0.
3. Cập nhật
ϕk+1 = f(x, uk, u0k, vk, vk0 ).
(2.2.62)
Theo phương pháp lặp đề xuất ở trên, giải số bài toán biên (2.2.30) được đưa
về bài toán tìm nghiệm của dãy bài toán giá trị đầu (2.2.61) và bài toán giá trị
cuối (2.2.60) với phương trình vi phân cấp hai. Chú ý rằng các hàm vế phải của
các bài toán (2.2.60) và (2.2.61) chỉ phụ thuộc vào biến x, nên nghiệm xấp xỉ của
bài toán thực chất là xấp xỉ các tích phân xác định. Do đó có thể xây dựng lược
đồ sai phân với độ chính xác cấp cao mặc dù hàm vế phải của bài toán là các hàm
rời rạc xác định trên các lưới điểm. Để giải số theo phương pháp lặp, ta sử dụng
công thức Simpson với độ chính xác cấp bốn cho các bài toán (2.2.60), (2.2.61)
trên lưới đều ωh = {xi = ih, i = 0, 1, ..., N; h = 1/N}.
Chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho hiệu quả của các kết quả lý
thuyết, trong đó có những ví dụ mà theo Li (2016) không đảm bảo được sự tồn
tại nghiệm của bài toán nhưng sử dụng lý thuyết mà chúng tôi đưa ra có thể thiết
lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm và phương pháp lặp hội tụ.
Trong phạm vi luận án, phương pháp chúng tôi đưa ra áp dụng với bài toán
giá trị biên hai điểm với hàm vế phải liên tục, còn với các bài toán với hàm vế
phải không liên tục bài toán sẽ phải xét trong các không gian thích hợp.
Kết luận Chương 2
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải
hai bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ
và đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán về phương trình toán tử đối
15
với hàm dựa trên vế phải. Các kết quả đạt được là:
- Thiết lập được sự tồn tại, duy nhất và một số tính chất đối với nghiệm của các
bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra.
- Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của
phương pháp với tốc độ cấp số nhân.
- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết,
trong đó có các ví dụ mà sự tồn tại hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không
được bảo đảm bởi các tác giả khác do không thỏa mãn các điều kiện trong các
định lý của họ.
- Các thực nghiệm tính toán minh họa hiệu quả của phương pháp lặp.
16
Chương 3
Phương pháp lặp giải bài toán biên
đối với hệ phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp giải bài toán biên đối
với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ và đầy đủ với hai
dạng điều kiện biên. Các kết quả của chương này được trình bày trong các bài
báo [5], [6] trong danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án.
3.1 Bài toán biên đối với hệ phương trình vi
phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ
Các bài toán đối với hệ phương trình vi phân cấp bốn được nghiên cứu chưa
nhiều, chẳng hạn Kang và cộng sự (2012), Lu¨ và cộng sự (2005), Zhu và cộng sự
(2010), trong đó các tác giả xét phương trình chỉ chứa các đạo hàm cấp chẵn. Với
các điều kiện phức tạp, bằng việc sử dụng định lý chỉ số điểm bất động trên nón,
các tác giả đã thu được sự tồn tại nghiệm dương. Tuy nhiên, các kết quả đạt được
là có tính lý thuyết thuần túy vì không có ví dụ nào minh họa sự tồn tại nghiệm.
Xét hệ phương trình vi phân
ꢂ
u(4)(x) = f(x, u(x), v(x), u00(x), v00(x)), 0 < x < 1,
(3.1.1)
v(4)(x) = h(x, u(x), v(x), u00(x), v00(x)), 0 < x < 1,
với các điều kiện biên
ꢂ
u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0,
(3.1.2)
v(0) = v(1) = v00(0) = v00(1) = 0.
trong đó f, h : [0, 1] × R+ × R+ × R− × R− → R+ là các hàm liên tục và u00, v00
trong f, h là các thành phần momen uốn tương ứng với các hiệu ứng uốn. par Năm
2012, Kang và cộng sự đã thiết lập sự tồn tại nghiệm dương của hệ (3.1.1)-(3.1.2)
với các điều kiện rất phức tạp.
Khác với phương pháp của các tác giả khác, trong bài báo [5], chúng tôi tiếp
tục phát triển kỹ thuật trong các bài báo [1]-[4] đối với hệ phương trình vi phân
17
phi tuyến cấp bốn (3.1.1)-(3.1.2). Bằng cách đưa bài toán về phương trình toán
tử với cặp thành phần phi tuyến nhưng không phải cặp hàm u, v cần tìm, chúng
tôi thiết lập sự tồn tại, duy nhất nghiệm và xây dựng phương pháp lặp. Bên cạnh
đó, các tính chất về dấu của nghiệm cũng được chỉ ra. Lợi thế của phương pháp
này là không đòi hỏi điều kiện Nagumo đối với các thành phần phi tuyến. Một
số ví dụ được đưa ra, trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa
biết, minh họa cho hiệu quả của các kết quả lý thuyết thu được.
ꢀ ꢁ
ϕ
ψ
Để nghiên cứu bài toán (3.1.1)-(3.1.2), với w =
, ϕ, ψ ∈ C[0, 1], ta xét
phương trình toán tử
w = Tw,
(3.1.9)
trong đó T xác định bởi
ꢀ
ꢁ
ꢀ
ꢁ
(Aw)(x)
(Bw)(x)
f(x, uϕ(x), vψ(x), rϕ(x), zψ(x))
h(x, uϕ(x), vψ(x), rϕ(x), zψ(x))
Tw =
=
.
(3.1.10)
Ở đây rϕ(x), uϕ(x), zψ(x), vψ(x) tương ứng là các nghiệm của dãy các bài toán
ꢂ
rϕ00(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,
(3.1.11)
rϕ(0) = rϕ(1) = 0,
ꢂ
u0ϕ0 (x) = rϕ(x), 0 < x < 1,
(3.1.12)
uϕ(0) = uϕ(1) = 0.
ꢂ
zψ00(x) = ψ(x), 0 < x < 1,
(3.1.13)
zψ(0) = zψ(1) = 0,
ꢂ
vψ00(x) = zψ(x), 0 < x < 1,
(3.1.14)
vψ(0) = vψ(1) = 0.
Mệnh đề 3.1. (Mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán (3.1.1)-(3.1.2) với nghiệm
của phương trình toán tử (3.1.9)). Nếu w(x) là nghiệm của (3.1.9), trong đó T
được xác định từ (3.1.10)-(3.1.14), thì s(x) = (uϕ(x), vψ(x)) là nghiệm của bài
toán (3.1.1)-(3.1.2) và ngược lại.
Với mỗi số M > 0 ký hiệu
n
DM = (x, u, v, r, z)| 0 ≤ x ≤ 1,
(3.1.21)
o
5M
5M
M
M
|u| ≤
, |v| ≤
, |r| ≤ , |z| ≤
,
384
384
8
8
và B[O, M] là hình cầu đóng tâm O với bán kính M trong không gian F =
(C[0, 1])2, tức là,
B[0, M] = {w ∈ F : kwkF ≤ M}
với chuẩn
kwkF = max{kϕk, kψk},
18
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
15760
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tóm tắt Luận án Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- tom_tat_luan_an_phuong_phap_lap_giai_bai_toan_bien_hai_diem.pdf
