Dự thảo tóm tắt Luận án Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ ANH MINH
ĐA TẠP QUÁN TÍNH
VÀ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM
CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân
Mã số :
62.46.01.03
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2019
Công trình được hoàn thành tại: Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc
gia Hà nội.
Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu.
Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phản biện 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án
tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vào hồi
giờ
ngày
tháng
năm 20...
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
Hà Nội - 2019
MỞ ĐẦU
Mục tiêu chính của luận án "Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của
các phương trình vi phân" là phát biểu và chỉ ra điều kiện tồn tại đa tạp quán tính (đa
tạp quán tính chấp nhận được) cho một số lớp các phương trình vi phân: phương trình
vi phân với trễ hữu hạn, phương trình vi phân trung tính, phương trình vi phân cấp hai
theo thời gian, phương trình vi phân ngẫu nhiên. Cụ thể, luận án ngoài phần mở đầu,
kết luận, danh mục các công trình liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, gồm có
05 chương sau:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái
niệm và chứng minh chi tiết các kết quả bổ trợ sử dụng trong các chương còn lại
của luận án: sơ lược về phổ của toán tử và không gian hàm Banach.
• Chương 2. Đa tạp quán tính chấp nhận được của một số lớp phương trình vi phân
hàm với trễ hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi định nghĩa khái niệm đa tạp
quán tính chấp nhận được và xét sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của
lớp các phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng
du
+ Au = f(t, ut), t > s, t, s ∈ R; us(·) = φ(·) ∈ Cβ
(1)
dt
trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R × Cβ → X là một toán tử phi
tuyến ϕ - Lipschit.
• Chương 3. Đa tạp quán tính chấp nhận được của một lớp các phương trình đạo
hàm riêng trung tính. Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính
1
chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính dạng
d
(Fut) + A(Fut) = f(t, ut), t > s,
us = φ, s ∈ R,
dt
(2)
trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; F : Cβ → X là một toán tử tuyến tính
bị chặn được gọi là toán tử sai phân, f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến
liên tục hay là toán tử trễ ϕ - Lipschitz
• Chương 4. Đa tạp quán tính châp nhận được của phương trình vi phân cấp hai
theo biến thời gian Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính
chấp nhận được của lớp các phương trình vi phân cấp hai theo biến thời gian, có
dạng
x¨(t) + 2εx˙(t) + Ax(t) = f(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0,
(3)
x(s) = xs,0, s ∈ R,
x˙(s) = xs,1,
trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R × Xβ → X là toán tử phi tuyến
liên tục và 0 6 β 6 1/2.
• Chương 5. Đa tạp quán tính của phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian
hàm chấp nhận được Trong chương này, chúng tôi xét sự tồn tại đa tạp quán tính
của lớp các phương trình vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận
được, có dạng
du
˙
+ Au = f(t, u) + u ◦ W
(4)
dt
˙
trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f là hàm ϕ - Lipschitz; và u ◦ W là
phần nhiễu.
2
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Sơ lược về lý thuyết phổ của toán tử
Trong luận án này chúng ta sử dụng giả thiết sau:
Giả thiết 1. A là toán tử tự liên hợp, xác định dương có phổ rời rạc,
0 < λ1 6 λ2 6 ..., mỗi giá trị có bội hữu hạn và lim λk = ∞.
k→∞
Hơn nữa, {ek}∞k=1 lập thành một cơ sở trực giao trong X bao gồm các hàm riêng tương
ứng của A (tức là, Aek = λkek).
Với N ∈ N∗, ta xây dựng phép chiếu trực giao PN lên không gian con
span {ek : k = 1, 2, ..., N}, bởi công thức
N
X
PN x =
hx, ekiek.
(1.1)
k=1
Để đơn giản, từ đây ta viết P thay cho PN . Lúc này, ta có các đánh giá nhị phân sau
ꢀ
ꢀ
ꢀ
−tA
λN |t|
ꢀ
e
P 6 Me
với t ∈ R
λN
ꢀ
ꢀ
ꢀ
β
β −tA
A e P 6 λN Me |t|, t ∈ R,
ꢀ
ꢀ
ꢀ
(1.2)
−tA
−λN+1
e
(I − P) 6 Me
t, t > 0,
ꢀ
ꢀ
"
#
ꢁ ꢂ
β
ꢀ
ꢀ
ꢀ
β
t
β
β −tA
A e
(I − P) 6 M
+ λN+1 e−λ t, t > 0.
N+1
ꢀ
3
ở đây, M > 1 là một hằng số nào đó.
Hơn nữa, ta có thể xây dựng hàm Green
e
−(t−τ)A[I − P] với t > τ,
G(t, τ) :=
(1.3)
(1.4)
−e−(t−τ)AP
với t 6 τ.
Dễ thấy G(t, τ) từ X vào Xβ.
λN + λN+1
Mặt khác, theo các đánh giá nhị phân (1.2), với γ =
ta có
2
ꢃ
ꢃ
ꢃ
ꢃ
ꢃ
eγ(t−τ)AβG(t, τ) 6 K(t, τ)e−µ|t−τ| với mọi t = τ,
ꢃ
λN+1 − λN
trong đó µ =
và
2
ꢁ
ꢂ
β
β
+ λβN+1 nếu t > τ,
nếu t 6 τ.
t − τ
K(t, τ) =
β
λN
1.2 Không gian hàm Banach
Để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được, trong các Chương
2 và Chương 3 ta giả sử E là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E0 là
I
I
không gian liên kết của nó thỏa mãn
Giả thiết 2. (i) Không gian hàm Banach E và không gian liên kết của nó E0 là các
I
I
không gian chấp nhận đưược.
(ii) Không gian hàm
1+β
1−β
β
I
E := {u ∈ E | |u|
∈ E }
I
I
cũng là một không gian hàm Banach chấp nhận được với chuẩn
ꢄ
ꢅ
1−β
1+β
1+β
1−β
kukβ := max kukE , k|u| kE
.
I
I
(iii) E0 chứa hàm E - bất biến ν - mũ, tức là: với hàm ϕ > 0, ν > 0 cố định, các hàm
I
I
hν và Θν
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
h (t) := e−ν|t−·|ϕ(·)
ꢀ
ν
EI0
4
1−β
1+β
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
1+β
1+β
1−β
1−β |t−·|
Θ (t) := e−ν
ϕ
(·)
, với t ∈ I,
ꢀ
ν
EI0
thuộc E .
I
Bên cạnh đó, để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính chấp nhận được cho các
phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian, trong Chương 4 ta giả sử E là một
I
không gian hàm chấp nhận được nào đó và EI0 là không gian liên kết của nó thỏa mãn
Giả thiết 3. (i) Không gian hàm Banach E và không gian liên kết của nó E0 là các
I
I
không gian chấp nhận đưược.
(ii) Với ϕ ∈ EI0 và ν > 0 cố định, hàm hν cho bởi
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
h (t) := e−ν|t−·|ϕ(·)
khi t ∈ I
ꢀ
ν
EI0
thuộc vào E .
I
Cuối cùng, để nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính cho lớp các phương trình
vi phân ngẫu nhiên trên không gian hàm chấp nhận được, trong Chương 5, ta giả sử
E là một không gian hàm chấp nhận được nào đó và E0 là không gian liên kết của nó
I
I
thỏa mãn
Giả thiết 4. Không gian hàm Banach E và không gian liên kết của nó E0 là các không
I
I
gian chấp nhận được.
Kết luận chương 1
Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức cơ bản về lý thuyết phổ của toán
tử, không gian hàm Banach và đề xuất một số giả thiết về các không gian hàm Banach
sử dụng ở từng chương cụ thể của luận án.
5
Chương 2
ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC
CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VỚI TRỄ HỮU HẠN
2.1 Phát biểu bài toán
Cho X là một không gian Hilbert tách được nào đó, A là toán tử thỏa mãn Giả thiết
1, r > 0, 0 6 β < 1 là các hằng số, ta ký hiệu
Cβ = C ([−r, 0]; Xβ))
(2.1)
là không gian các hàm liên tục mạnh trên [−r, 0] nhận giá trị trên Xβ.
Khi đó, Cβ là một không gian Banach với chuẩn
kvkC = sup kAβv(θ)k, ∀v ∈ Cβ.
β
θ∈[−r,0]
Trong chương này, chúng ta nghiên cứu sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của
một lớp các phương trình vi phân với trễ hữu hạn có dạng
du
+ Au = f(t, ut), t > s, t, s ∈ R; us(·) = φ(·) ∈ Cβ
(2.2)
dt
trong đó ; f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến và r > 0 là hằng số trễ; ut là hàm
lịch sử xác định bởi ut(θ) = u(t + θ) với mọi −r 6 θ 6 0.
Ta đặt
ꢆ
EI = E(I, Cβ) := h : I → Cβ | h đo được mạnh và kh(·)kC ∈ E .
I
β
6
Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
khk := kh(·)k
.
ꢀ
EI
Cβ
E
I
và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được E .
I
Hơn nữa, ta giả sử f là hàm ϕ - Lipschitz như trong Định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1. Cho E là một không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ là một
hàm giá trị dương thuộc vào E. Hàm f : R × Cβ → X gọi là ϕ - Lipschitz nếu f thỏa
mãn
(i) kf(t, 0)k 6 ϕ(t) với mọil t ∈ R,
(ii) kf(t, φ1) − f(t, φ2)k 6 ϕ(t)kφ1 − φ2kC với mọi t ∈ R và mọi φ1, φ2 ∈ Cβ.
β
Nhận thấy rằng, nếu f(t, φ) là ϕ - Lipschitz thì kf(t, φ)k 6 ϕ(t)(1 + kφkC ) với mọi
β
φ ∈ Cβ và t ∈ R.
Định nghĩa 2.2. Một hàm u(·) là nghiệm đủ tốt của phương trình (2.2) trên [s − r, T]
nếu us(θ) = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] và
t
Z
u(t) = e−(t−s)Au(s) +
e
−(t−τ)Af(τ, uτ )dτ
(2.3)
s
với mọi t ∈ [s, T].
2.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được
ˆ
Lúc này, trên Cβ, ta có thể định nghĩa toán tử chiếu P bởi công thức
(Pφ)(θ) = e−θAPφ(0) với φ ∈ Cβ.
ˆ
(2.4)
Khi đó, ta có thể định nghĩa khái niệm về "đa tạp quán tính chấp nhận được" như sau
Định nghĩa 2.3. Một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E của phương trình (2.3) là
một tập các mặt Lipschitz M = (Mt)t∈R trong Cβ có dạng
ˆ
Mt = {pˆ+ Φt(pˆ(0)) | pˆ ∈ PCβ} ⊂ Cβ
7
ˆ
trong đó Φt : PX → (I − P)Cβ là một ánh xạ Lipschitz. Hơn nữa, các điều kiện sau
được thỏa mãn
(i) Các hằng số Lipschitz của Φt không phụ thuộc t. Nói cách khác, tồn tại một hằng
số C không chứa t sao cho
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
β
kΦt(x1) − Φt(x2)k 6 C A (x1 − x2) ∀ x1, x2 ∈ Xβ; t ∈ R.
Cβ
(ii) Tồn tại γ > 0 để với mỗi φ ∈ Mt có duy nhất một nghiệm u(·) của phương trình
0
(2.3) trên (−∞, t0] thỏa mãn ut = φ và hàm
0
t → e−γ(t −t)kutkC , t 6 t0
0
β
thuộc E(−∞,t ] với mỗi t0 ∈ R.
0
(iii) M là bất biến dương đối với phương trình (2.3). Nghĩa là, nếu u(t) là một nghiệm
của phương trình (2.3) thỏa us = φ ∈ Ms, thì với mọi t > s ta có ut ∈ Mt.
(iv) M hút tất cả các nghiệm của phương trình (2.3) với cấp độ mũ. Tức là, với u(·)
là nghiệm tùy ý của phương trình (2.3), và với s ∈ R cố định nào đó, tồn tại một
hằng số dương H và một nghiệm u∗t thuộc M sao cho
kut − ut∗kC 6 He−γ(t−s) với t > s.
(2.5)
β
Định lý sau là kết quả chính của chương này, chỉ ra sự tồn tại của đa tạp quán tính
chấp nhận được của phương trình (2.3)
Định lý 2.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết 1. Hơn nữa, cho E, E0 và ϕ ∈ E0 thỏa mãn Giả
thiết 2. Ký hiệu eµ là hàm số eµ(t) = e−µ|t| với mọi t ∈ R, đặt
!
kΛ1ϕk∞ N1N2e3rµλN2βkeµkkmkβ
ꢇ
ꢈ
} :=
+ eγr N1ββ + N1λNβ +1 + N2λNβ
1 − e−µ
1 − kmkβ
(2.6)
2β
1+β
ꢁ
ꢂ
1−β
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
1+β
2
1+β
ꢀ
ꢀ
1−β
+ β
Λ ϕ
1
.
1 − β
∞
Giả sử f là ϕ - Lipschitz và hơn nữa
max {km(·)kβ, }} < 1
(2.7)
8
trong đó hàm m được định nghĩa ở (2.8), λN < λN+1 là hai giá trị riêng liên tiếp của
λN+1 − λN
A, và µ =
lớp E .
. Khi đó, phương trình (2.3) có đa tạp quán tính chấp nhận được
2
Trong đó,
m(t) = ββeµr(1 + λNβ +1 + λNβ )
!
2β
1+β
ꢁ
ꢂ
(2.8)
1−β
1+β
(·)kE0
1+β
1+β
1−β
2
ke−µ
ϕ
1−β |t−·|
× ke−µ|t−·|ϕ(·)kE +
0
1 − β
2.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher -
Kolmogorov
Trong mục này, ta áp dụng kết quả ở trên cho phương trình Fisher - Kolmogorov có
trễ có dạng
ꢁ
ꢂ
∂w(t, x)
∂2w(t, x)
a
=
+ aw(t, x) 1 −
w(t − r, x)
t > s, 0 < x < π
∂t
∂x2
K(t)
(2.9)
w(t, 0)
w(x, t)
= w(t, π) = 0, t ∈ R
= φ(x, t), 0 6 x 6 π, −r 6 t 6 0
với w(t, x) biểu thị cho mật độ dân số tại vị trí x và thời gian t; r là một hằng số dương,
a > 0 là hệ số tái sinh tuyến tính và K(t) > 0 là sức chứa của môi trường tại thời điểm
t, ϕ là một hàm cho trước.
Kết luận chương 2
Chương này, chúng tôi định nghĩa và chứng minh sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận
được của một lớp các phương trình vi phân hàm với trễ hữu hạn và sử dụng kết quả
thu được chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình Fisher -
Kolmogorov.
Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục công trình khoa học
liên quan đến luận án.
9
Chương 3
ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC
CỦA MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TRUNG TÍNH
3.1 Phát biểu bài toán
Trong chương này, chúng ta xét các phương trình vi phân trung tính dạng
d
(Fut) + A(Fut) = f(t, ut), t > s,
us = φ, s ∈ R,
dt
(3.1)
trong đó A là một toán tử tuyến tính không bị chặn trên một không gian Hilbert tách
được X nào đó; F : Cβ → X là một toán tử tuyến tính bị chặn được gọi là toán tử sai
phân, f : R × Cβ → X là một toán tử phi tuyến liên tục hay là toán tử trễ, và ut là
hàm lịch sử xác định bởi ut(θ) := u(t + θ) với mọi θ ∈ [−r, 0]. Ta sẽ chứng minh sự tồn
tại của đa tạp quán tính chấp nhận được trong trường hợp f là ϕ-Lipschitz (như trong
Định nghĩa 2.1).
Tương tự như Chương 2, ta đặt
ꢆ
E = E (I, Cβ) := h : I → Cβ | h đo được mạnh và kh(·)kC ∈ E .
I
I
β
Khi đó, E là một không gian Banach với chuẩn
I
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
khk := kh(·)k
.
ꢀ
EI
Cβ
E
I
và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được E .
I
Hơn nữa, ta cũng cần giả thiết sau về toán tử sai phân F:
10
Giả thiết 5. Cho X là một không gian Hilbert tách được. Toán tử sai phân F : Cβ → X
có dạng F = δ0 − Ψ với δ0 : Cβ → X là hàm Delta Dirac tập trung tại 0 (tức là,
δ0ϕ = ϕ(0)), và Ψ : Cβ → Xβ là một toán tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn kΨk < 1.
Định nghĩa 3.1. Một hàm u ∈ C([s − r, T]; Xβ) là một nghiệm đủ tốt của (3.1) trên
đoạn [s − r, T] nếu us = φ với giá trị ban đầu φ ∈ Cβ và
t
Z
Fut = e−(t−s)AFφ +
e
−(t−τ)Af(τ, uτ )dτ
(3.2)
s
với mọi t ∈ [s, T].
3.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được
ˆ
Lúc này, trên Cβ, tương tự như Chương 2, ta định nghĩa phép chiếu P bởi
(Pφ)(θ) = e−θAPφ(0) với φ ∈ Cβ.
ˆ
Khi đó, ta định nghĩa đa tạp quán tính chấp nhận được cho (3.2) như sau
Định nghĩa 3.2. Một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E của (3.2) là một họ các
mặt Lipschitz M = (Mt)t∈R trong Cβ có dạng
ˆ
Mt = {pˆ+ Φt(pˆ(0))|pˆ ∈ PCβ} ⊂ Cβ
ˆ
ˆ
ˆ
trong đó Φt : PX → QCβ (Q = IdC − P) và các điều kiện sau được thỏa mãn
β
(i) Hằng số Lipschitz của Φt không phụ thuộc t, tức là, tồn tại một hằng số C không
chứa t sao cho
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
β
kΦt(p1) − Φt(p2)k 6 C A (p1 − p2) , ∀ p1, p2 ∈ Xβ; ∀t ∈ R.
Cβ
(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho với mỗi φ ∈ Ms tồn tại tương ứng một và chỉ một nghiệm
u(t) của (3.2) trên (−∞, s] sao cho us = φ và hàm
n(t) = e−γ(s−t)kutkC , t 6 s
β
thuộc E(−∞,s] với mỗi s ∈ R.
11
(iii) M là F - bất biến dương dưới tác động của (3.2), tức là, nếu u(t) là một nghiệm
của (3.2), hàm u˜s định nghĩa bởi
u˜s(θ) = Fus+θ ∀θ ∈ [−r, 0]
(3.3)
và u˜s ∈ Ms thì u˜t ∈ Mt với mọi t0 > s. Ở đây, u˜t là hàm định nghĩa trong (3.3)
0
0
0
khi s thay bởi t0.
(iv) M hút tất cả các nghiệm của(3.2) với cấp độ F-mũ, tức là, với nghiệm bất kỳ u(·)
của (3.2) và với s ∈ R cố định, tồn tại một hằng số dương H, một nghiệm u∗(·)
sao cho u˜∗t ∈ Mt và
kut − ut∗k 6 He−γ(t−s) với t > s
(3.4)
Cβ
trong đó u˜∗t xác định trong (3.3).
Định lý sau là kết quả chính của chương này, chỉ ra sự tồn tại của đa tạp quán tính
chấp nhận được của phương trình (3.2)
Định lý 3.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết 1; E, E0 và ϕ ∈ E0 thỏa mãn Giả thiết 2. Hơn
nữa, cho F thỏa mãn Giả thiết 5 và f là ϕ-Lipschitz sao cho
max {||m||β, }} < 1 − kΨk .
Khi đó, phương trình (3.2) có một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E .
Trong đó
(3.5)
!
||Λ1ϕ||∞ N1N2e3rµλ2β||eµ||||m||β
ꢇ
ꢈ
1 − N||m||β
} =
+ eγr N1ββ + N1λNβ +1 + N2λNβ
1 − e−µ
(3.6)
2β
1+β
ꢁ
ꢂ
1−β
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
1+β
2
1+β
ꢀ
ꢀ
1−β
+ β
Λ ϕ
1
,
1 − β
∞
ở đây eµ(t) = e−µ|t|, và m(·) được định nghĩa như trong (2.8).
12
3.3 Đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình truyền nhiệt
của vật liệu nhớ có trễ
Kết quả của chương được áp dụng cho bài toán
"
#
2
t
R
∂
∂
u(t, x) =
u(t, x) + (t − s)(t − s − 1)u(s, x)ds
∂t
∂x2
t−1
t
t
R
R
+
[−2(t − s) + 1] u(s, x)ds + a(t)
ln (1 + |u(s, x)|) ds,
(3.7)
t−1
t−1
u(0, t) = u(π, t) = 0, t > s
us(x, θ) = u(x, s + θ) = φ(x, θ), x ∈ [0, π], θ ∈ [−1, 0] .
trong đó a(t) xác định bởi
ꢉ
ꢊ
1
2n+c
1
2n+c
n
nếu t ∈ n −
, n +
với n = 1, 2, ....
a(t) =
(3.8)
0
trường hợp còn lại.
Kết luận chương 3
Qua chương này, chúng ta xây dựng khái niệm đa tạp quán tính chấp nhận được và
chứng minh sự tồn tại của nó một lớp các phương trình vi phân trung tính và sử dụng
kết quả thu được chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được của phương trình
truyền nhiệt của vật liệu có nhớ, trễ. Các kết quả ở chương này, có thể được xem như
là kết quả mở rộng của chương 2.
Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục công trình khoa học
liên quan đến luận án.
13
Chương 4
ĐA TẠP QUÁN TÍNH CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA PHƯƠNG
TRÌNH TIẾN HÓA CẤP HAI THEO BIẾN THỜI GIAN
4.1 Phát biểu bài toán
Trong chương này, chúng ta chỉ ra sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận được cho
một lớp các phương trình tiến hóa cấp hai theo biến thời gian có dạng
x¨(t) + 2εx˙(t) + Ax(t) = f(t, x(t)), t > s, s ∈ R, ε > 0,
(4.1)
x(s) = xs,0, s ∈ R,
x˙(s) = xs,1,
trong đó A là toán tử thỏa mãn Giả thiết 1; f : R × Xβ → X là toán tử phi tuyến liên
tục và Xβ := D(Aβ) với 0 6 β 6 1/2.
Đặt H = D(A1/2) × X. Ta có H là một không gian Hilbert tách được với tích vô
hướng
(U, V ) = (Ax0, y0) + (x1, y1),
trong đó U = (x0, x1), V = (y0, y1) ∈ H . Lúc này, trên H bài toán (4.1) có thể được
viết lại dưới dạng hệ cấp một như sau
dU(t)
+ AU(t) = F(t, U(t)), t > s,
U(s) = Us,
dt
(4.2)
với
U(t) := (x(t), x˙(t)) và Us = (xs,0, xs,1).
14
Trong đó, toán tử tuyến tính A và ánh xạ F được định nghĩa bởi các công thức
AU = (−x1, Ax0 + 2εx1)
F(t, U(t)) = (0, f(t, x0(t)))
với tập xác định D(A) = D(A) × D(A1/2),
với U = (x0, x1).
Ta có thể kiểm tra được các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A có dạng
p
µ±N = ε ± ε2 − λN , gN± = (eN , −µ±N eN )
với mọi N = 1, 2, · · ·
với λN và eN là các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A.
Hơn nữa, ta đặt
ꢆ
EI = h : I → H | h đo được mạnh và kh(·)k ∈ E .
I
Khi đó, EI là một không gian Banach với chuẩn
khkE := kkh(·)kk .
I
E
I
và là không gian hàm Banach tương ứng với không gian hàm chấp nhận được E .
I
Giả sử tồn tại số tự nhiên N sao cho ε2 > λN+1. Ta phân tích H dưới dạng tổng
trực giao
H = H1 ⊕ H2
với
H1 = span{(ek, 0), (0, ek) : k = 1, · · · , N},
H2 = span{(ek, 0), (0, ek) : k > N + 1}
Trên H1 và H2, ta trang bị các tích vô hướng sau
hU, V i1 = ε2(x0, y0) − (Ax0, y0) + (εx0 + x1, εy0 + y1),
hU, V i2 = (Ax0, y0) − (ε2 − 2µN+1)(x0, y0) + (εx0 + x1, εy0 + y1).
Trong đó, U = (x0, x1) và V = (y0, y1) là các phần tử lần lượt thuộc H1 và H2.
Khi đó, ta có thể định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trong H như sau
1/2
hU, V i = hU1, V1i1 + hU2, V2i2, |U| = hU, Ui .
15
với U = U1 + U2 và V = V1 + V2, trong đó Vi, Ui ∈ Hi, i = 1, 2.
Ta cố định N, và xét các không gian con
H1± := span{gk± : k 6 N}.
+
1
Ta có H1 = H ⊕ H − và ký hiệu PH là các phép chiếu trực giao lên các không gian
i
1
con Hi trong H , i = 1, 2.
−
+
1
Đặt P ≡ PH và Q := I − P = PH + P . Ta có các đánh giá
H2
1
ꢃ
ꢃ
ꢃ
ꢃ
tA
µ−N |t|
e P 6 e
,
t ∈ R,
ꢃ
ꢃ
ꢃ
ꢃ
−tA
−µ−N+1
t
e
(I − P) 6 e
,
t > 0.
Hơn nữa, ta định nghĩa hàm Green như sau
e
−(t−τ)A[I − P] với mọi t > τ,
G(t, τ) =
(4.3)
(4.4)
−e−(t−τ)AP
với mọi t 6 τ.
Khi đó G(t, τ) từ H vào H và
eγ(t−τ)|G(t, τ)| 6 e−α|t−τ| với mọi t, τ ∈ R
trong đó
µ−N+1 − µ−N
µ−N+1 + µ−N
α :=
và γ :=
.
2
2
Nhận xét 4.1. Trong trường hợp không gian pha vô hạn chiều, thay cho (4.2), ta xét
phương trình tích phân
Z
t
U(t) = e−(t−s)AU(s) +
e
−(t−ξ)AF(ξ, U(ξ))dξ với hầu hết t > s.
(4.5)
s
Lúc này, một nghiệm của phương trình (4.5) được hiểu là một hàm U(·) đo được mạnh
xác định trên một khoảng J nào đó, nhận giá trị trong H và thỏa mãn (4.5) với t, s ∈ J.
Lưu ý rằng, một nghiệm U của phương trình (4.5) được gọi là một nghiệm đủ tốt của
phương trình (4.2).
Tiếp theo, ta định nghĩa tính chất ϕ-Lipschitz của phần phi tuyến f như sau
16
Định nghĩa 4.1. Cho E là một không gian hàm Banach chấp nhận được trên R và ϕ là
một hàm dương thuộc E. Khi đó, hàm f : R × Xβ → X gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thỏa
mãn
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢀ
ꢋ
ꢌ
β
(i) kf(t, x)k 6 ϕ(t) 1 + A x với hầu hết t ∈ R và với mọi x ∈ Xβ,
ꢀ
ꢀ
β
ꢀ
ꢀ
(ii) kf(t, x1)−f(t, x2)k 6 ϕ(t) A (x1 − x2) với hầu hết t ∈ R và với mọi x1, x2 ∈ Xβ.
Theo cách xác định của F, ta có
Mệnh đề 4.1. Nếu f là ϕ-Lipschitz, thì
|F(t, U)| 6 ϕ(t) + ψ(t)|U|,
(4.6)
(4.7)
|F(t, U) − F(t, V )| 6 ψ(t)|U − V |,
với
s
(
)
1
λN+1
ε2 − λN+1
ψ(t) = ϕ(t)λβN+1δN−1,ε = ϕ(t)λNβ−+21δN−1,ε max 1,
.
Nhận xét 4.2. Để đơn giản, với mọi t ∈ R ta đặt
s
(
(
))
1
λN+1
ε2 − λN+1
κ(t) := max{ϕ(t), ψ(t)} = max ϕ(t), ϕ(t)λβN−+21δN−1,ε max 1,
như vậy, nếu f là ϕ-Lipschitz thì F là κ-Lipschitz, hay
|F(t, U)| 6 κ(t)(1 + |U|),
|F(t, U) − F(t, V )| 6 κ(t)|U − V |.
4.2 Đa tạp quán tính chấp nhận được
Định nghĩa 4.2. Cho E là một không gian hàm chấp nhận được và E là một không gian
Banach tương ứng với E. Một đa tạp quán tính chấp nhận dược lớp E của phương trình
(4.5) là một họ các mặt M = {Mt}t∈R trong X sao cho mỗi Mt là đồ thị của một hàm
Lipschitz
Φt : PH → (I − P)H ,
17
tức là,
Mt = {U + ΦtU : U ∈ PH } với t ∈ R.
Hơn nữa, các tính chất sau được thỏa mãn
(4.8)
(i) Các hằng số Lipschitz của Φt độc lập với t, nghĩa là, tồn tại một hằng số C không
phụ thuộc t sao cho
|ΦtU1 − ΦtU2| 6 C|U1 − U2| với mọi t ∈ R và U1, U2 ∈ PH .
(4.9)
(ii) Tồn tại γ > 0 sao cho với mỗi U0 ∈ Mt đều tồn tại một và chỉ một nghiệm U(·)
0
của phương trình (4.5) trên (−∞, t0] thỏa mãn U(t0) = U0 và hàm
V (t) = e−γ(t −t)|U(t)|, t 6 t0
(4.10)
0
thuộc E(−∞,t ] với mỗi t0 ∈ R.
0
(iii) {Mt}t∈R là bất biến dương dưới tác động của (4.5), tức là, nếu một nghiệm U(·)
của phương trình (4.5) thỏa mãn U(s) ∈ Ms, thì U(t) ∈ Mt với t > s.
(iv) {Mt}t∈R hút mũ tất cả các nghiệm của phương trình (4.5), tức là, với U(·) là
nghiệm tùy ý của (4.5), và s ∈ R tùy ý cố định, tồn tại một hằng số dương H sao
cho
distH (U(t), Mt) 6 He−γ(t−s) với t > s,
(4.11)
trong đó γ là hằng số ở (4.10), và distH là tựa khoảng cách Hausdorff sinh bởi
chuẩn trong H .
Nội dung chính của chương này là kết quả về sự tồn tại đa tạp quán tính chấp nhận
được của phương trình (4.5) ở định lý sau:
Định lý 4.1. Cho A thỏa mãn Giả thiết 1 và E, E0 thỏa mãn Giả thiết 3. Giả sử f là
ϕ-Lipschitz. Nếu
kN2
k < 1 và
kΛ1ϕk∞ + k < 1,
(4.12)
(1 − k)(1 − e−α)
thì phương trình (4.5) có một đa tạp quán tính chấp nhận được lớp E .
18
Tải về để xem bản đầy đủ
27 trang
20720
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Dự thảo tóm tắt Luận án Đa tạp quán tính và tính chất định tính nghiệm của các phương trình vi phân", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- du_thao_tom_tat_luan_an_da_tap_quan_tinh_va_tinh_chat_dinh_t.pdf
