Bài giảng Kiến trúc máy tính - Tuần 9: Phép toán số học trên máy tính (Tiếp theo)

KIẾN TRÚC MÁY TÍNH

Tuần 9

PHÉP TOÁN SỐ HỌC TRÊN

MÁY TÍNH

(Tiếp theo)

03/2017

1

PHÉP TOÁN SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH

Mục tiêu:

Hiểu các phép toán số học trên số nguyên và số thực dấu chấm động trong

máy tính.

▪ Với số nguyên:

✓Hiểu các phép toán cộng, trừ, nhân và chia

✓Cách thiết kế mạch nhân và chia

▪ Với số thực dấu chấm động:

✓Hiểu các phép toán cộng, trừ và nhân

✓Cách thiết kế mạch nhân

Slide được dịch và cá c hì nh được lấy từ sá ch tham khảo:

Computer Organization and Design: The Hardware/Software Interface,

Patterson, D. A., and J. L. Hennessy, Morgan Kaufman, Revised Fourth Edition,

2011.

03/2017

2

PHÉP TOÁN SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH

1. Giới thiệu

2. Phép cộng & Phép trừ

3. Phép nhân

4. Phép chia

5. Số thực dấu chấm động

03/2017

3

Số thực dấu chấm động

Định nghĩa:

Biểu diễn số thực:

❖ Scientific notation: Một số thực được gọi là “scientific notation” khi bên trái

dấu chấm có đúng 1 chữ số.

❖ Normalized number: Một số thực được gọi là “Normalized number” (dạng

chuẩn) khi số này được viết trong “scientific notation” và chữ số bên trái dấu

chấm không phải là 0.

Ví dụ: 1.0_tenx 10^-9: số thực chuẩn

0.1_tenx 10^-8: không phải số thực chuẩn

10.0_tenx 10^-10: không phải số thực chuẩn

03/2017

4

Số thực dấu chấm động

Định nghĩa:

❖Trong máy tính, các số nhị phân phải được đưa về dạng chuẩn như

sau:

03/2017

5

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động theo chuẩn IEEE 754 (với độ chính xác đơn)

(chuẩn này được áp dụng cho hầu hết các máy tính được chế tạo từ năm 1980)

+127

Trong đó:

s biểu diễn dấu của số thực dấu chấm động (1 nghĩa là âm, ngược lại 0 là dương)

Phần mũ (exponent) có kích thước là 8 bit. Exponent là biểu diễn quá 127 của yyyy

(excess-127 hoặc bias of 127 ).

Phần lẻ (fraction) dùng 23 bits để biểu diễn cho xxxxxxxxx

Tổng quát, số thực dấu chấm động được tính dựa theo (với Bias = 127):

6

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động theo chuẩn IEEE 754 (với độ chính xác đơn)

(chuẩn này được áp dụng cho hầu hết các máy tính được chế tạo từ năm 1980)

+127

Tổng quát, số thực dấu chấm động được tính dựa theo:

Hoặc:

(với s1, s2, s3 … là các bit lần lượt từ trái sang phải của fraction)

03/2017

7

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động theo chuẩn IEEE 754 (với độ chính xác đơn)

(chuẩn này được áp dụng cho hầu hết các máy tính được chế tạo từ năm 1980)

+127

Ví dụ: Số -0.75 sẽ được biểu diễn trong máy tính như thế nào nếu dùng chuẩn IEEE 754

với độ chính xác đơn

-0.75_ten= -3/4_ten= -3/2²= -11_two/2²= -0.11_two

ten

Chuẩn hóa: 0.11_two= 1.1_twox 2^-1

-1 +127 = 126

03/2017

8

Số thực dấu chấm động

Ví dụ: Cho biểu diễn số dấu chấm động với độ chính xác đơn như hình sau,

hỏi số tương ứng với biểu diễn này trong hệ thập phân là bao nhiêu?

Trả lời:

bit dấu s là 1

exponent chứa 129

Số tương ứng: (−1)^s× (1+ fraction) × 2^{(exponent – 127)}

= (−1)¹× (1+ 0.01) × 2^{(129 – 127)}

= (−1.01 × 2²)_two= −5.0_ten

03/2017

9

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

❖ Tràn trên (Overflow): trường hợp này xảy ra khi kích thước của số mũ lớn hơn

kích thước giới hạn trên (số mũ dương).

❖ Tràn dưới (Underflow): trường hợp này xảy ra khi kích thước của số mũ nhỏ hơn

kích thước giới hạn dưới (số mũ âm).

Nhằm hạn chế việc tràn trên hoặc tràn dưới về số mũ, IEEE 754 giới thiệu thêm một

cách biểu diễn số thực dấu chấm động, vơí trường exponent mở rộng lên tới 11 bits.

Cách biểu diễn này gọi là IEEE 754 với độ chính xác kép

▪ Độ chính xác đơn (Single precision): một số thực dấu chấm động được biểu

diễn ở dạng 32 bit.

▪ Độ chính xác kép (Double precision): một số thực dấu chấm động được biểu

diễn ở dạng 64 bit.

Chú ý: Trong lập trình ngôn ngữ C, các số thực dạng float sẽ được định dạng theo kiểu độ

chính xác đơn, còn các số dạng double sẽ được định dạng theo kiểu độ chính xác kép

03/2017

10

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động theo chuẩn IEEE 754 (với độ chính xác kép)

Trong đó:

s biểu diễn dấu của số thực dấu chấm động (1 nghĩa là âm, ngược lại 0 là dương)

Phần mũ (exponent) có kích thước là 11 bits. Exponent là biểu diễn quá 1023 của

yyyy (excess-1023 hoặc bias of 1023).

Phần lẻ (fraction) dùng 52 bits để biểu diễn

Tổng quát, số thực dấu chấm động được tính dựa theo (với Bias = 1023):

11

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động theo chuẩn IEEE 754 (với độ chính xác kép)

Ví dụ: Số -0.75 sẽ được biểu diễn trong máy tính như thế nào nếu dùng chuẩn IEEE 754 với độ

chính xác kép

-0.75_ten= -3/4_ten= -3/2²= -11_two/2²= 0.11_two

ten

Chuẩn hóa: 0.11_two= 1.1_twox 2^-1(phần exponent = -1 + 1023 = 1022 = 01111111110)

12

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Tại sao IEEE 754 không sử dụng biểu diễn dạng bù hai cho phần mũ mà dùng dạng

bias-of-127 cho độ chính xác đơn và và bias-of-1023 cho độ chính xác kép?

Ví dụ: giả sử dùng bù 2 để biểu diễn phần mũ cho 2 số sau:

1.0_twox 2^-1

1.0_twox 2⁺¹

➔ Khi nhìn vào phần mũ của 1.0_twox 2^-1thì nó lại giống như là số rất lớn (thực chất

lại là nhỏ), còn trong khi nhìn vào phần mũ của 1.0_twox 2⁺¹thì nó lại giống như là

số nhỏ (thực chất lại là lớn) ➔ vì vậy IEEE 754 chọn cách biểu diễn dùng bias-of-

127 cho độ chính xác đơn thay vì bù 2

13

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động dùng IEEE 754

Dãy biểu diễn số độ chính xác đơn có tầm

trị từ:

Số nhỏ nhất:

Đến số lớn nhất

IEEE 754 mã hóa số thực dấu chấm động

03/2017

14

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Các vấn đề cần lưu ý:

Rõ ràng, trong một biểu diễn số thực dấu chấm động nếu

- Tăng số bit chứa phần fraction thì tăng độ chính xác.

- Tăng kích thước phần exponent là tăng tầm trị biểu diễn.

➔ Vì vậy, khi thiết kế một biểu diễn/thể hiện cho số dấu chấm động (ví dụ không sử dụng

IEEE 754) thì tùy vào mục đích sử dụng mà lựa chọn số giới hạn cho fraction và

exponent sao cho phù hợp nhất.

03/2017

15

Số thực dấu chấm động

Biểu diễn số thực dấu chấm động

Các vấn đề cần lưu ý:

❖ Số thực dấu chấm động dạng nhị phân (binary floating-point)

dạng chuẩn

1.xxxxxxxxx_two× 2^yyyy

❖ Số thực dấu chấm động dạng thập phân (decimal floating-

point) dạng chuẩn:

1.xxxxxxxxx_ten× 10^yyyy

yyyy: exponent (phần mũ)

xxxxxxxxx: fraction (tạm dịch là phần phân số/lẻ)

1.xxxxxxxxx: significand (tạm dịch là phần trị)

03/2017

16

Số thực dấu chấm động

Phép toán cộng trên số thực dấu chấm động

Ví dụ: Thực hiện cộng hai số thực dấu chấm động chuẩn trong hệ thập phân sau

9.999_tenx 10¹+ 1.610_tenx 10^-1.

Giả sử số thực dấu chấm động lưu trữ phần trị (significand) dùng 4 chữ số, phần số

mũ (exponent) lưu trữ dùng 2 chữ số.

Bước 1.

Điều chỉnh sao cho phần mũ của hai số hạng trở thành bằng nhau

(Lấy số hạng có số mũ nhỏ hơn điều chỉnh theo số hạng có số mũ lớn hơn)

1.610_tenx 10^-1= 0.01610_tenx 10¹

Vì significand chỉ cho phép dùng 4 chữ số, nên 0.01610_tenx 10¹làm tròn thành

0.016 x 10¹

(quy tắc làm tròn tùy vào đề bài yêu cầu. Trong ví dụ này, làm tròn theo quy

tắc nếu chữ số bên phải của phần bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5 thì chữ số bên trái

nhất của phần còn lại tăng lên 1)

03/2017

17

Số thực dấu chấm động

Phép toán cộng trên số thực dấu chấm động

Bước 2.

Thực hiện cộng phần significand của hai số hạng

Tổng là 10.015_ten× 10¹

Bước 3.

- Chuyển tổng về dạng chuẩn hóa: 10.015_ten× 10¹=1.0015 × 10²

- Kiểm tra phần mũ có bị tràn trên, tràn dưới ? => không tràn

(Nếu tràn, phép toán sẽ tạo ra một ngoại lệ (exception) và dừng)

Bước 4.

Làm tròn tổng: vì significand chỉ cho phép dùng 4 chữ số, nên 1.0015 × 10²làm

tròn thành 1.002 × 10²

Lưu ý: Việc làm tròn trong một số trường hợp có thể làm tổng mất đi dạng chuẩn hóa. Vì

vậy sau khi làm tròn, phải kiểm tra xem tổng có còn trong dạng chuẩn hóa hay không,

nếu không, quay lại bước 3

03/2017

18

Số thực dấu chấm động

Phép toán cộng trên số thực dấu chấm động

Giải thuật thực hiện phép cộng

trên số thực dấu chấm động

trong hệ nhị phân tương tự như

cho số hệ thập phân

03/2017

19

Số thực dấu chấm động

Phép toán cộng trên số thực dấu chấm động

Ví dụ: Cộng 2 số thực dấu chấm động trong hệ nhị phân cho 2 số thập phân sau: 0.5₁₀

và -0.4375₁₀theo lưu đồ giải thuật.

Giả sử phần significant dùng 4 bits lưu trữ, còn phần mũ lưu trữ như IEEE 754 độ

chính xác đơn.

Đáp án:

03/2017

20