Về một giải pháp cứng hóa phép tính lũy thừa modulo
Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin
Về ột giải pháp cứng h a phép t nh y thừa
modulo
Trần Văn Thắng, Hoàng Văn Thức
Keywords: RSA; Montgomery multiplication;
FPGA.
Tóm tắt— h p t nh th o u o à ph p
t nh n trong ngu n th t
à ph p t nh phứ t p, ti u t n tài ngu n và
th i gi n th hi n i t v i s n Th
thi ứng h ph p t nh th o u o tr n
gi p n ng o t , gi th i gi n
ho ph p t nh, p ứng u ầu trong ài to n
th t Tr ng t ph p t nh th à ph p
nh n o u o s n Trong n i ung ài o
h ng tôi trình à gi i thi u, ph n t h, h n
thu t to n th o u o và ph p nh n o u o
Montgo er tr n t s ông trình nghi n
ứu tr n th gi i h p t nh th o u o
ượ th thi ằng ngôn ngữ ô t phần ứng
HDL Veri og s o u o h n 2048 it, hip
XC7z045 K t qu th hi n ph p t nh
th o u o v i h i gi i ph p thi t k õi I nh n
Montgo er kh nh u ượ tổng hợp ngắn g n
tr n B ng 1 và B ng 2.
I. GIỚI THIỆU
thể n i cho đến th i điể hiện t i RS
à hệ ật h a c ng hai đang được ứng
dụng rộng r i nhất trong các sản ph bảo ật
và an toàn th ng tin. Để hệ thống ật RS
được ứng dụng ột cách hiệu quả và an toàn,
trên thế giới đ c nhiều c ng tr nh nghiên cứu
cải tiến thuật toán t nh y thừa odu o trên
ph n cứng và ph n ề , đ y à phép t nh c
bản tiêu tốn nhiều th i gian t nh toán nhất trong
các nguyên th y ật RS . Trên c sở các
ết quả đ được c ng bố trên thế giới, trong bài
viết này chúng t i tr nh bày việc ph n t ch, ựa
chọn và triển hai cài đặt cứng h a thuật toán
tính y thừa odu o với độ dài odu o à 2048
bit, đưa ra ột số đánh giá ban đ u hi ết quả
cài đặt được thực thi trên hip Xi inx X 7z045.
Abstract— Modular exponentiation is the
basic operation in cryptography algorithm RSA.
This’s
o p i te gorith , onsu ing
Để thực hiện phép y thừa odu o, chúng
ta c thể sử dụng ột trong các thuật toán: phép
y thừa nhị ph n từ trái qua phải (Left-to-right
Binary Exponentiation), phép y thừa nhị ph n
từ phải qua trái (Right-to-left Binary
Exponentiation) phép y thừa cửa sổ trượt
(Slide-window Exponentiation). Tùy thuộc vào
i trư ng cài đặt à ỗi thuật toán c những
điể nh yếu hác nhau. Dưới đ y chúng t i
xin giới thiệu ột số thuật toán t nh y thừa
odu o đưa ra ph n t ch, ựa chọn ra ột thuật
toán hiệu quả thực thi trên nền tảng ph n cứng
FPGA.
resource and time to implement (especially with
large number). Hardware implementation of
modular exponentiation on the FPGA would
increase speed, reduce computation time that is
required by the practice. The heart of modular
operand is modular multiplication of large
number. In this paper we presented introduction,
the analysis, choosing modular exponentiation
algorithm
and
modular
multiplication
Montgomery based on several public researchs
on the world. Modular exponentiation operation
is implemented with hardware language HDL
Verilog with the modulus is chosen as 2048 bit,
chip FPGA XC7z045. Implementation results of
modular exponentiation with two different
designs of IPcore Montgomery is briefly
presented in Table 1 and Table 2.
Ph n tiếp theo c a bài báo sẽ c bố cục như
sau: Mục II sẽ tr nh bày ột số thuật toán y
thừa odu o và một số cải biên cho phép nh n
nhanh Montgomery. Tiếp theo Mục III sẽ tr nh
bày cách triển hai thực hiện. Kết quả thực hiện
sẽ được tr nh bày trong Mục IV và cuối cùng à
Mục Kết uận.
Từ khóa: RSA; Montgomery multiplication;
FPGA.
Bài báo được nhận ngày 01/11/2018. Bài báo được gửi
nhận xét và được chấp nhận đăng bởi phản biện thứ nhất vào
ngày 02/12/2018 và 20/12/2018. Bài báo được gửi nhận xét
và được chấp nhận đăng bởi phản biện thứ hai vào ngày
5/12/2018 và 28/12/2018.
Số 2.CS (08) 2018 45
Journal of Science and Technology on Information Security
II. THUẬT TOÁN LŨY THỪ MODULO
A. Một số thuật toán lũy thừa modulo
Thuật toán [3]. Lũy thừa nhị phân từ trái
qua phải
Đ u vào: g ϵ G, A à ột số nguyên dư ng
và e = (et et-1....e1 e0 )2
Thuật toán [1]. Thuật toán lũy thừa từ trái
qua phải k-ary
Đ u ra: ge
Đ u vào: g và e = (et et-1....e1 e0 )b ở đ y b =
2k và k ≥ 1;
1. A ← 1
Đ u ra: ge
2. Cho i ch y từ t giả d n về 0 thực hiện
như sau:
1. T nh toán trước
1.1. g0 ← 1
2.1. A← A.A
1.2. Cho i ch y từ 1 tới (2k - 1) thực hiện:
g0 ← gi-1 do đ , gi = gi
2. A ← 1
2.2. Nếu ei = 1 thì A← A.g
3. Trả i ết quả A
Thuật toán [4]. Lũy thừa nhị phân từ phải
qua trái
3. Cho i ch y từ t giả về 0 thực hiện như
Đ u vào: g ϵ G và ột số nguyên dư ng
e>>1
sau:
3.1. A ← A2k
3.2. A ← A.gi
Đ u ra: ge
1. A ← 1, S ← g
4. Trả i ết quả A
2. Trong khi e ≠ 0 thực hiện như sau:
2.1. Nếu e ẻ th A ← A . S
2.2. e← e/2
Thuật toán [2]. Thuật toán lũy thừa sliding-
window
Đ u vào: g và e = (et et-1....e1 e0 )2 với et = 1,
và ột số nguyên k >> 1
2.3. Nếu e ≠ 0 th S ← S . S
3. Trả i ết quả A
Đ u ra: ge
1. T nh toán trước
Đối với Thuật toán 3, trong vòng ặp t i
bước 2.1 và 2.2 ết quả phép t nh A trong bước
2.1 à giá trị đ u vào cho bước 2.2. Do vậy
quá tr nh thực hiện phải t nh toán tr nh tự nối
tiếp ết thúc bước 2.1 rồi ới đến bước 2.2.
Trong hi đ , hác với Thuật toán 3, ở Thuật
toán 4, trong vòng ặp t i bước 2 ết quả phép
tính bước 2.1 và 2.3 c thể thực hiện t nh toán
song song để n ng cao tốc độ thực thi phép t nh.
Trọng t phép y thừa à phép nh n odu o
và phép b nh phư ng odu o số ớn. Trên thế
giới g n đ y đ c nhiều c ng tr nh c ng bố iên
quan đến việc n ng cao t nh hiệu quả phép nh n
và phép b nh phư ng odu o, trong đ phải ể
tới thuật toán nh n Montgo ery odu o. Trong
ph n tiếp theo chúng t i xin giới thiệu ột giải
pháp cải biên cho phép nh n Montgomery
odu o số ớn, đồng th i đưa ra ết quả thực
hiện và đánh giá việc cài đặt thuật toán y thừa
odu o trên ng n ngữ tả ph n cứng FPG .
1.1. g1← g, g2 ← g2
1.2. Cho i ch y từ 1 tới (2k-1 - 1) thực hiện:
g2i+1 ← g2i-1.g2
2. A ← 1, i ← t
3. Trong khi i >> 0 thực hiện:
3.1. Nếu ei = 0 thì A ← A2, i ← i-1
3.2. Nếu không ( ei ≠ 0), t chuỗi bit dài
nhất ei ei-l..... el sao cho i - l+1 ≤ k và ei = 1 thực
hiện như sau:
A ← A2i-l +1. g(eiei-1....e1)2, i ← l-1
4. Trả i ết quả A
Thuật toán y thừa từ trái qua phải k-ary và
thuật toán s iding-window thực hiện phép t nh
y thừa qua bốn bước t nh toán và hai vòng ặp
thực hiện t i bước 1 và bước 3. Trong đ , Bước
1 thực hiện t nh toán trước giá trị gi và g2i+1 làm
giá trị đ u vào trong vòng ặp t i bước 3. Việc
thực hiện t nh toán trước giá trị c a gi và g2i+1
giúp quá tr nh thực hiện thuật toán nhanh, giải
pháp này rất phù hợp với việc cài đặt thực trên
ph n ề , bằng cách ta ưu trữ các giá trị t nh
toán trước.
46 Số 2.CS (08) 2018
Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin
B. Một số cải biên cho phép nhân nhanh
Montgomery
Thuật toán [5]. Thuật toán nhân
Nếu (S0 ^ C0 ^ Y0) & ~Xi thì I = N + Y
2.2. (S,C) := CSA( S, C , I );
2.3. S:= S Div 2 ; C:= C Div 2
3. P = S + C;
Montgomery cơ bản
Đ u vào: X,Y,N với 0 ≤ X,Y < N
Đ u ra: P = (X*Y(2-n)) mod N
N: số odu o
4. Nếu P > N thì P = P - N;
Điể nổi bật c a thuật toán Faster
Montgo ery so với thuật toán Montgomery c
bản đ là trong vòng ặp thay thế hai bộ cộng có
nhớ bằng ột bộ cộng S , với sự thay thế này
giả được tài nguyên thiết ế, giả được độ trễ
c nhớ trong bộ cộng số ớn nâng cao được t n
số ho t động c a õi IP hi thực hiện giải pháp
này. H n chế trong thuật toán Faster
Montgo ery vẫn sử dụng ột bộ cộng có nhớ ở
ngoài vòng ặp trong Bước 3, vì vậy t n số tổng
hợp c a IPcore Faster Montgo ey vẫn phụ
thuộc vào t n số bộ cộng này. Tiếp theo chúng
tôi sẽ giới thiệu ột ết quả được công bố trong
bài báo [3] để cải tiến bộ cộng trên.
n: độ dài theo bit c a N
Xi: bit thứ i c a X
1. P := 0
2. Với (i=0; i < n; i = i++) thực hiện
2.1. P = P + Xi*Y
2.2. Nếu P0= 1 thì P = P + N;
2.3. P = P/2 ;
3. Nếu P > N thì P = P - N
H n chế c a thuật toán nh n Montgo ery
c bản à sử dụng 2 bộ cộng c nhớ trong vòng
ặp ở bước 2.1 và 2.2, do đ độ trễ an truyền
trong cài đặt cứng h a sẽ bằng n độ trễ an
truyền c a ột F (Full Adder) ột bit. rất
nhiều phư ng pháp trong thiết ế để tăng hiệu
quả t nh toán và giả th i gian trễ cho bộ cộng
trong đ phải ể tới phư ng pháp sử dụng bộ
cộng S (Carry Save Adder). Bộ cộng S
h ng phụ thuộc vào c nhớ an truyền nên th i
gian trễ trong ỗi phép t nh đúng bằng độ trễ
c a ột bộ cộng F ột bit. Tuy nhiên ết quả
đ u ra c a bộ cộng S à ết quả trung gian
chưa phải à ết quả cuối cùng c a phép t nh.
Để thấy được việc ứng dụng bộ cộng S vào
thuật toán nh n Montgo ery c bản như thế
nào, chúng ta xe xét các cải biên dưới đây.
Thuật toán [7]. Thuật toán Semi Carry Save
Adder Montgomery
Đ u vào: X,Y,N với 0 ≤ X,Y < N
Đ u ra: SS[k+2]= (X*Y(2-n)) mod N
N: số odu o
n: độ dài theo bit N
1. (SS,SC) = CSA(Y,N,0);
2. Trong khi (SC!= 0)
(SS,SC) = CSA(SS,SC,0);
3. D = SS;
4. SS[0] = 0; SC[0] = 0;
5. Với (i=0; i<n+1; i++) thực hiện
qi = (S[i]0 + C[i]0 + Xi* Y0 ) mod 2;
Nếu (Xi = 0 và qi = 0) thì I = 0;
Thuật toán [6]. Thuật toán Faster
Montgomery
Đ u vào: X,Y,N với 0 ≤ X,Y < N
Đ u ra: P = (X*Y(2-n)) mod N
N: số odu o
Nếu (Xi = 0 và qi = 1) thì I = N;
Nếu (Xi = 1 và qi = 0) thì I = Y;
Nếu (Xi = 1 và qi = 1) thì I = D;
(SS[i+1], SC[i+1] ) = CSA(SS[i], SC[i],I )/2;
6. Trong khi (SC[k+2] != 0)
n: độ dài theo bit c a N
Xi: bit thứ i c a X
1. S = 0, C = 0;
(SS[k+2], SC[k+2]) = CSA(SS[k+2],SC[k+2], 0);
7. Trả l i kết quả SS[k+2];
2. Với (i=0; i < n; i = i++) thực hiện
2.1.
Điểm nổi bật giải pháp Semi Carry Save
Adder Montgomery (SCSAMM) là thay thế bộ
cộng có nhớ trong Bước 3 c a thuật toán Faster
Montgomery bằng bộ cộng SCSA t i Bước 6
trong thuật toán SCSA Montgomery. Với giải
Nếu ((S0 = C0) và ( Xi)) thì I = 0
Nếu ((S0 != C0) và ~Xi thì I = N
Nếu ((S0 ^ C0 ^ Y0) & Xi) thì I = Y
Số 2.CS (08) 2018 47
Journal of Science and Technology on Information Security
BẢNG 1. KẾT QUẢ THỰ THI LÕI IP
pháp thiết kế này thuật toán không còn sử dụng
bộ cộng có nhớ. Do đ , sẽ khắc phục được h n
chế trong thuật toán Faster Montgomery, nâng
cao t n số ho t động cho lõi IP nhân
Montgomery sau khi tổng hợp, và giảm th i
gian thực hiện một phép tính để giải pháp này
có thể áp dụng hiệu quả với những số modulo
có kích thước lớn như 2048, 3072, hoặc 4096.
MONTGOMERY TRÊN FPGA
T n số
Chiều
Tài
nguyên
thiết kế
ho t
Chip
FPGA
dài bit
Thuật toán
động
(k)
(MHz)
(LUTs)
25.279
20.241
TT[6]
Faster MM
TT[7]
194
XC7
2048
Z045
III. PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI THỰC
HIỆN THUẬT TOÁN LỰA CHỌN
SCSA MM
284
Lõi IP SCSA Montgomery được thiết ế
theo Thuật toán [7] đ giải quyết được h n chế
trong Thuật toán [6] nâng cao t n số ho t động
c a õi IP từ 194 MHz lên 284 MHz đ y là ột
A. Thiết kế cứng hóa lõi IP SCSA Montgomery
Lõi IP S S được x y dựng thiết ế dựa
trên thuật toán [7] với độ dài số odu o 2048
bit, dưới đ y à h nh thiết ế õi IP S S inh chứng cho thấy tính hiệu quả c a õi IP
Montgomery trên FPGA.
được thiết ế theo giải pháp SCSA
Montgomery.
B. Thực thi phép tính lũy thừa modulo
1. RSA và phép tính lũy thừa modulo
N
Y
0
D
>>
>>
Phép mã hóa giải ã RS thực hiện tính
toán như sau: C = Me (mod n), M = Cd (mod n)
trong đ M là bản rõ, C là bản ã, e là khóa
công khai (public key), d là khóa bí ật (private
key), n là số odu o có kích thước k bit. Mối
quan hệ giữa e,d,n được thể hiện qua biểu thức
Xi
qi
Ctrl_1
Ctrl_0
CSA
Ctrl_1
e.d = 1(mod(p-1)(q-1),với n = p.q, trong đ p
và q là hai số nguyên tố ớn có kích thước xấp
xỉ k/2 bit.
Loop_control
SC
SS
Ctrl_0
Zero_D
2. Sử dụng lõi IP SCSA Montgomery trong
phép tính lũy thừa modulo
SS[k+2]
Dựa trên việc phân tích ưu nhược điể các
thuật toán cài đặt phép tính y thừa odu o,
trong bài báo nhóm tác giả thực hiện theo thuật
toán [4] sử dụng song song hai õi IP SCSA
Montgomery được ý hiệu S S _M1,
SCSA_M2 để nâng cao tốc độ cho phép tính y
thừa odu o. Thuật toán [4] được triển hai như
sau:
Hình 1. Mô hình thiết kế lõi
IP SCSA Montgomery trên FPGA
Lõi IP SCSA được thiết ế sử dụng ột bộ
cộng trung tâ S với ba ngõ đ u vào 1,2,3
và hệ thống các thanh ghi lưu trữ X, SS, SC, N.
Trong đ thanh ghi X, N được thiết ế để lưu
giá trị đ u vào, SS và SC lưu ết quả tính toán
đ u ra, các thanh ghi được thiết ế có độ dài
2048 bit. Bộ điều hiển vòng ặp đ ng vai trò là
máy thái, điều hiển quá trình ho t động c a õi
IP đồng th i sinh ra các tín hiệu điều hiển
Ctrl_0, Ctrl_1 được sử dụng để ựa chọn đ u
vào cho bộ cộng S . Kết quả ỗi vòng thực
hiện được ưu ở hai thanh ghi SS, SC đồng th i
làm giá trị phản hồi cho vòng ặp tiếp theo. Số
vòng ặp phụ thuộc vào kích thước chiều dài
chuỗi bit c a số odu o. Dưới đ y là ết quả
tổng hợp thực hiện õi IP SCSA Montgomery
trên chip FPGA.
Thuật toán lũy thừa (C,M,d,n)
K= 22k (mod n)
k : kích thước chiều dài chuỗi bit
n: số odu o
1. P[0] = SCSA_M1(K, C, n);
R[0] = SCSA_M2(K, 1, n);
2. Vòng ặp cho i ch y từ 0 tới k
Nếu d[i] = 1 thì
R[i+1] = SCSA_M2(R[i], P[i], n);
Kết thúc nếu;
48 Số 2.CS (08) 2018
Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin
BẢNG 3. KẾT QUẢ THỰ HIỆN MỘT SỐ PHÉP TÍNH
LŨY THỪ MODULO
P[i+1] = SCSA_M1(P[i], P[i], n);
Kết thúc vòng ặp
RSA
dencrypt
RSA
encrypt
Chiều
dài bit
Thuật toán
[4] sử dụng
lõi IP
3. M = SCSA_M1(1, R[k], n);
Trả i ết quả M;
Chip
FPGA
khóa d
khóa e
(ms)
(k)
(ms)
Lõi IP phép tính y thừa odu o 2048 bit
được ập trình bằng ngôn ngữ ô tả ph n cứng
HDL Verilog, được thực hiện iể tra theo bộ
tiêu chu n tha số NIST FIPS 186-3. Dưới đ y
là ột số ết quả thực hiện õi IP phép tính y
thừa modulo:
IPcore nhân
Faster MM
0,24
0,22
21,1
15,6
XC7
z045
IPcore nhân
SCSA MM
2048
BẢNG 2. KẾT QUẢ ÀI ĐẶT THUẬT TOÁN [4] LŨY
THỪ MODULO SỬ DỤNG Á IP BỘ NHÂN
MONTGOMERY KHÁC NHAU TRÊN FPGA
Để thấy rõ hiệu năng c a thuật toán 6 so với
các thuật toán 3 và thuật toán 5, nh nghiên
cứu đ tổng hợp và n p ên chip
Zynq7z045ffg676-2 thuật toán y thừa modulo
sử dụng các thuật toán nêu trên. Một số tiêu ch
ỹ thuật so sánh giữa chúng c thể t ược
như trong Bảng 4 dưới đ y (vẫn với các tha số
trong [5])
T n số
ho t
động
Tài
nguyên
thiết kế
Chiều
dài bit
Thuật toán
[4] sử dụng
IPcore
Chip
FPGA
(k)
(MHz)
194,4
281,2
(LUTs)
48.740
42.311
IPcore nhân
Faster MM
XC7
z045
IPcore nhân
SCSA MM
BẢNG 4. SO SÁNH Á THUẬT TOÁN NHÂN
2048
MODULU TRÊN CHIP Zynq7z045ffg676-2
Lõi IP phép tính y thừa odu o 2048 bit
sử dụng õi IP nhân odu o dựa trên giải pháp
ới Se i arry Save dder (S S )
Montgomery. Điều này hắc phục được ột số
h n chế trước đ c a phép nhân modulo được
thiết ế theo giải pháp Faster Montgo ery. Kết
quả tổng hợp õi IP trên nền tảng ph n cứng
chip FPGA XC7z045 như sau: số ượng thanh
ghi 57.475 chiế 13%, số cổng LUTs sử dụng
61.929 chiế 28% tổng số tài nguyên c a chip
FPG , t n số ho t động ớn nhất c a õi IP đ t
281 MHz, được thể hiện trong H nh 2.
Th i
gian
phép
Th i
gian
phép
Thuật
toán
Tài
T n số
clock
MHz
nguyên
thiết ế
(%)
nhân
mã hóa giải
modulo
(ms)
0,338
0,218
0,24
(ms)
42,00
21,10
15,67
T.Toán 3
T.Toán 5
T.Toán 6
141,36
225,78
284,10
25%
33 %
28%
Trong bảng Bảng 4 cho ta thấy õi IP y
thừa odu o áp dụng giải pháp thiết ế õi IP bộ
nh n odu o Montgo ery theo phư ng pháp c
bản,tài nguyên chiế 23%, t n số ho t động ớn
nhất 141 MHz, th i gian thực hiện phép t nh y
thừa 42,0 s. Áp dụng giải pháp thiết ế õi IP
bộ nh n odu o Faster Montgo ery tài nguyên
chiế 33 %, t n số ho t động 225 MHz, th i
gian thực hiện phép t nh y thừa 21,1 s. òn
với việc áp dụng thiết ế õi IP bộ nh n odu o
theo giải pháp S S-based Montgomerytài
nguyên chiế 28% tổng số ce ogic, thanh ghi,
t n số ho t động 284 MHz, th i gian thực hiện
ột phép t nh 15,67 s, đ y à ột ết quả ới
rất ý nghĩa trong bài toán thực thi hiệu năng cao
(các ết quả trên được thực hiện trên chip trên
chip Zynq7z045ffg676-2)
H nh 2. Kết quả tổng hợp õi IP trên nền tảng ph n
cứng chip FPG X 7z045
Số 2.CS (08) 2018 49
Journal of Science and Technology on Information Security
IV. KẾT QUẢ THỰ HIỆN
Trên c sở các ết quả nghiên cứu đ được
công bố trên thế giới về tối ưu hóa hiệu năng
hi triển hai các thuật toán tính y thừa
odu o bằng ngôn ngữ ô tả ph n cứng, nhóm
nghiên cứu đ phân tích, đánh giá và ựa chọn
và cài đặt thành công thuật toán y thừa nhị
phân từ phải qua trái áp dụng giải pháp Semi
arry Save dder trong bộ nhân Montgomery.
Kết quả thực thi trên dòng chip Zynq
7z045ffg676-2 cho thấy các ưu điể về tài
nguyên thiết ế, t n số ho t động, th i gian thực
hiện đ thể hiện ết quả tốt h n so với ột số
thuật toán được công bố trước đ . Các ết quả
trên c ng đ được chúng tôi tích hợp cho các
odu e ph n cứng bảo ật (HSM) do Viện
Khoa học ông nghệ ật ã, Ban yếu
h nh ph ch trì thiết ế chế t o.
V. KẾT LUẬN
Trong hu n hổ bài báo này, nh tác giả
trình bày và cập nhật ột số c ng tr nh nghiên
cứu hoa học trên thế giới. Từ đ , ph n t ch ột
số thuật toán, để ựa chọn ra ột phư ng pháp
hiệu quả c thể thiết ế cứng h a phép t nh y
thừa odu o 2048 bit. Trong ph n thực nghiệ ,
nh tác giả triển hai thực thi phư ng pháp
này bằng ng n ngữ tả ph n cứng HDL
Veri og, sử dụng nền tảng ph n cứng c sẵn Kit
FPGA ZynqZC706. Sau đ , đưa ra ột số ết
quả so sánh giữa các giải pháp à nh đ thực
hiện với các giải pháp đ c , để à rõ t nh ưu
việt c a giải pháp nghiên cứu ới à nh ựa
chọn. Trong th i gian tới, hướng nghiên cứu
tiếp theo nh sẽ thực hiện giải pháp trên với
phép tính y thừa odu o 4096 bit.
50 Số 2.CS (08) 2018
Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin
SƠ LƯỢ VỀ TÁ GIẢ
TÀI LIỆU TH M KHẢO
[1]. A. Menezes, P. van Oorschot and S. Vanstone..
"Handbook of Applied Cryptography", CRC
Press, 1996.
[2]. Ranjeet Behera, Pradhan Abhisek, ―FPGA
Implementation of RSA algorithm and to
develop a crypto based security system‖,
National Institute of Technology, Rourkela,
2012-2013.
ThS. Trần Văn Thắng
Đ n vị c ng tác: Viện Khoa học –
ng nghệ ật , Ban yếu
h nh ph
Email: [email protected]
Quá tr nh đào t o: Nhận bằng ỹ sư
nă 2014 và Th c sĩ nă 2018
chuyên ngành Kỹ thuật điện tử.
[3]. D. J. ANITHA, G. SUJATHA, P. JAYARAMI
REDDY, “High Speed Low Cost New Semi
Carry Save Adder Montgomery Modular
Multiplier‖, International Journal of Scientific
Engineering and Technology Research, 2016.
[4]. Mclvor, Ciaran, Maire McLoone, and John V.
Hướng nghiên cứu hiện nay: ng nghệ vi ch,
FPGA.
TS. Hoàng Văn Thứ
Đ n vị c ng tác: Viện Khoa học –
ng nghệ mật , Ban yếu
h nh ph .
McCanny.
multiplication and RSA cryptographic processor
architectures.", Signals, Systems and
"Fast
Montgomery
modular
Email: [email protected]
Computers, 2004. Conference Record of the
Thirty-Seventh Asilomar Conference on. Vol. 1.
IEEE, 2003.
Quá trình đào t o: Nhận bằng ỹ sư
nă 1998 và Th c sĩ nă 2004
chuyên ngành Kỹ thuật ật , Học viện Kỹ thuật ật
. Nhận bằng Tiến sĩ Toán học, Viện Khoa học -
ng nghệ qu n sự nă 2012.
[5]. FIPS PUB 186-4. ―Digital Signature Standard
(DSS‖). July, 2013.
Hướng nghiên cứu hiện nay: Khoa học - ng nghệ
Mật .
Số 2.CS (08) 2018 51
7 trang
26080
Free
Bạn đang xem tài liệu "Về một giải pháp cứng hóa phép tính lũy thừa modulo", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- ve_mot_giai_phap_cung_hoa_phep_tinh_luy_thua_modulo.pdf
