Giáo trình Kỹ thuật số (Phần 1)
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỐNG SỐ & MÃ
U NGUYÊN LÝ CỦA VIỆC VIẾT SỐ
U CÁC HỆ THỐNG SỐ
Ò Hệ cơ số 10 (thập phân)
Ò Hệ cơ số 2 (nhị phân)
Ò Hệ cơ số 8 (bát phân)
Ò Hệ cơ số 16 (thâp lục phân)
U BIẾN ĐỔI QUA LẠI GIỮA CÁC HỆ THỐNG SỐ
Ò Đổi từ hệ b sang hệ 10
Ò Đổi từ hệ 10 sang hệ b
Ò Đổi từ hệ b sang hệ bk & ngược lại
Ò Đổi từ hệ bk sang hệ bp
U CÁC PHÉP TOÁN Số NHị PHÂN
Ò Phép cộng
Ò Phép trừ
Ò Phép nhân
Ò Phép chia
U MÃ HÓA
Ò Mã BCD
Ò Mã Gray
Nhu cầu về định lượng trong quan hệ giữa con người với nhau, nhất là trong những
trao đổi thương mại, đã có từ khi xã hội hình thành. Đã có rất nhiều cố gắng trong việc tìm
kiếm các vật dụng, các ký hiệu . . . dùng cho việc định lượng này như các que gỗ, vỏ sò, số
La mã . . . Hiện nay số Ả rập tỏ ra có nhiều ưu điểm khi được sử dụng trong định lượng, tính
toán. . . ..
Việc sử dụng hệ thống số hằng ngày trở nên quá quen thuộc khiến chúng ta có thể đã
quên đi sự hình thành và các qui tắc để viết các con số.
Chương này nhắc lại một cách sơ lược nguyên lý của việc viết số và giới thiệu các hệ
thống số khác ngoài hệ thống thập phân quen thuộc, phương pháp biến đổi qua lại của các số
trong các hệ thống khác nhau. Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đến hệ thống nhị phân là hệ
thống được dùng trong lãnh vực điện tử-tin học như là một phương tiện để giải quyết các vấn
đề mang tính logic.
Phần cuối của chương sẽ giới thiệu các loại mã thông dụng để chuẩn bị cho các
chương kế tiếp.
1.1 Nguyên lý của việc viết số
Một số được viết bằng cách đặt kề nhau các ký hiệu, được chọn trong một tập hợp xác
định. Mỗi ký hiệu trong một số được gọi là số mã (số hạng, digit).
Thí dụ, trong hệ thống thập phân (cơ số 10) tập hợp này gồm 10 ký hiệu rất quen
thuộc, đó là các con số từ 0 đến 9:
S10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Khi một số gồm nhiều số mã được viết, giá trị của các số mã tùy thuộc vị trí của nó
trong số đó. Giá trị này được gọi là trọng số của số mã.
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
CHƯƠNG 1: CÁC HỆ THỐNG SỐ & MÃ
U NGUYÊN LÝ CỦA VIỆC VIẾT SỐ
U CÁC HỆ THỐNG SỐ
Ò Hệ cơ số 10 (thập phân)
Ò Hệ cơ số 2 (nhị phân)
Ò Hệ cơ số 8 (bát phân)
Ò Hệ cơ số 16 (thâp lục phân)
U BIẾN ĐỔI QUA LẠI GIỮA CÁC HỆ THỐNG SỐ
Ò Đổi từ hệ b sang hệ 10
Ò Đổi từ hệ 10 sang hệ b
Ò Đổi từ hệ b sang hệ bk & ngược lại
Ò Đổi từ hệ bk sang hệ bp
U CÁC PHÉP TOÁN Số NHị PHÂN
Ò Phép cộng
Ò Phép trừ
Ò Phép nhân
Ò Phép chia
U MÃ HÓA
Ò Mã BCD
Ò Mã Gray
Nhu cầu về định lượng trong quan hệ giữa con người với nhau, nhất là trong những
trao đổi thương mại, đã có từ khi xã hội hình thành. Đã có rất nhiều cố gắng trong việc tìm
kiếm các vật dụng, các ký hiệu . . . dùng cho việc định lượng này như các que gỗ, vỏ sò, số
La mã . . . Hiện nay số Ả rập tỏ ra có nhiều ưu điểm khi được sử dụng trong định lượng, tính
toán. . . ..
Việc sử dụng hệ thống số hằng ngày trở nên quá quen thuộc khiến chúng ta có thể đã
quên đi sự hình thành và các qui tắc để viết các con số.
Chương này nhắc lại một cách sơ lược nguyên lý của việc viết số và giới thiệu các hệ
thống số khác ngoài hệ thống thập phân quen thuộc, phương pháp biến đổi qua lại của các số
trong các hệ thống khác nhau. Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đến hệ thống nhị phân là hệ
thống được dùng trong lãnh vực điện tử-tin học như là một phương tiện để giải quyết các vấn
đề mang tính logic.
Phần cuối của chương sẽ giới thiệu các loại mã thông dụng để chuẩn bị cho các
chương kế tiếp.
1.1 Nguyên lý của việc viết số
Một số được viết bằng cách đặt kề nhau các ký hiệu, được chọn trong một tập hợp xác
định. Mỗi ký hiệu trong một số được gọi là số mã (số hạng, digit).
Thí dụ, trong hệ thống thập phân (cơ số 10) tập hợp này gồm 10 ký hiệu rất quen
thuộc, đó là các con số từ 0 đến 9:
S10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Khi một số gồm nhiều số mã được viết, giá trị của các số mã tùy thuộc vị trí của nó
trong số đó. Giá trị này được gọi là trọng số của số mã.
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
Thí dụ số 1998 trong hệ thập phân có giá trị xác định bởi triển khai theo đa thức của
10:
199810 = 1x103 + 9x102 +9x101 + 9x100 = 1000 + 900 + 90 + 8
Trong triển khai, số mũ của đa thức chỉ vị trí của một ký hiệu trong một số với qui ước
vị trí của hàng đơn vị là 0, các vị trí liên tiếp về phía trái là 1, 2, 3, ... . Nếu có phần lẻ, vị trí
đầu tiên sau dấu phẩy là -1, các vị trí liên tiếp về phía phải là -2, -3, ... .
Ta thấy, số 9 đầu tiên (sau số 1) có trọng số là 900 trong khi số 9 thứ hai chỉ là 90.
Có thể nhận xét là với 2 ký hiệu giống nhau trong hệ 10, ký hiệu đứng trước có trọng
số gấp 10 lần ký hiệu đứng ngay sau nó. Điều này hoàn toàn đúng cho các hệ khác, thí dụ,
đối với hệ nhị phân ( cơ số 2) thì tỉ lệ này là 2.
Tổng quát, một hệ thống số được gọi là hệ b sẽ gồm b ký hiệu trong một tập hợp:
Sb = {S0, S1, S2, . . ., Sb-1}
Một số N được viết:
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b với ai ∈ Sb
Sẽ có giá trị:
N = an bn + an-1bn-1 + an-2bn-2 + . . .+ aibi +. . . + a0b0 + a-1 b-1 + a-2 b-2 +. . .+ a-mb-m.
n
i
=
a b
∑
i
i =−m
aibi chính là trọng số của một ký hiệu trong Sb ở vị trí thứ i.
1.2 Các hệ thống số
1.2.1 Hệ cơ số 10 (thập phân, Decimal system)
Hệ thập phân là hệ thống số rất quen thuộc, gồm 10 số mã như nói trên.
Dưới đây là vài ví dụ số thập phân:
N = 199810 = 1x103 + 9x102 + 9x101 + 8x100 = 1x1000 + 9x100 + 9x10 + 8x1
N = 3,1410 = 3x100 + 1x10-1 +4x10-2 = 3x1 + 1x1/10 + 4x1/100
1.2.2 Hệ cơ số 2 (nhị phân, Binary system)
Hệ nhị phân gồm hai số mã trong tập hợp
S2 = {0, 1}
Mỗi số mã trong một số nhị phân được gọi là một bit (viết tắt của binary digit).
Số N trong hệ nhị phân:
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)2
(với ai∈ S2)
Có giá trị là:
N = an 2n + an-12n-1 + . . .+ ai2i +. . . + a020 + a-1 2-1 + a-2 2-2 + . . .+ a-m2-m
an là bit có trọng số lớn nhất, được gọi là bit MSB (Most significant bit) và a-m là bit
có trọng số nhỏ nhất, gọi là bit LSB (Least significant bit).
Thí dụ: N = 1010,12 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 = 10,510
1.2.3 Hệ cơ số 8 (bát phân ,Octal system)
Hệ bát phân gồm tám số trong tập hợp
S8 = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Số N trong hệ bát phân:
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)8 (với ai ∈ S8)
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
Có giá trị là:
N = an 8n + an-18n-1 + an-28n-2 +. . + ai8i . . .+a080 + a-1 8-1 + a-2 8-2 +. . .+ a-m8-m
Thí dụ: N = 1307,18 = 1x83 + 3x82 + 0x81 + 7x80 + 1x8-1 = 711,12510
1.2.4 Hệ cơ số 16 (thập lục phân, Hexadecimal system)
Hệ thập lục phân được dùng rất thuận tiện để con người giao tiếp với máy tính, hệ
này gồm mười sáu số trong tập hợp
S16 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
(A tương đương với 1010 , B =1110 , . . . . . . , F=1510) .
Số N trong hệ thập lục phân:
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)16 (với ai∈ S16)
Có giá trị là:
N = an 16n + an-116n-1 + an-216n-2 +. . + ai16i . . .+a0160+ a-1 16-1 + a-2 16-2 +. . .+ a-m16-m
Người ta thường dùng chữ H (hay h) sau con số để chỉ số thập lục phân.
Thí dụ: N = 20EA,8H = 20EA,816 = 2x163 + 0x162 + 14x161 + 10x160 + 8x16-1
= 4330,510
1.3 Biến đổi qua lại giữa các hệ thống số
Khi đã có nhiều hệ thông số, việc xác định giá trị tương đương của một số trong hệ
này so với hệ kia là cần thiết. Phần sau đây cho phép ta biến đổi qua lại giữa các số trong bất
cứ hệ nào sang bất cứ hệ khác trong các hệ đã được giới thiệu.
1.3.1 Đổi một số từ hệ b sang hệ 10
Để đổi một số từ hệ b sang hệ 10 ta triển khai trực tiếp đa thức của b
Một số N trong hệ b:
N = (anan-1an-2. . .ai . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b với ai ∈ Sb
Có giá trị tương đương trong hệ 10 là:
N = an bn + an-1bn-1 +. . .+ aibi +. . . + a0b0+ a-1 b-1 + a-2 b-2 +. . .+ a-mb-m.
Thí dụ:
* Đổi số 10110,112 sang hệ 10
10110,112 = 1x24 + 0 + 1x22 + 1x2 + 0 + 1x2-1 + 1x2-2 = 22,7510
* Đổi số 4BE,ADH sang hệ 10
4BE,ADH=4x162+11x161+14x160+10x16-1+13x16-2 = 1214,67510
1.3.2 Đổi một số từ hệ 10 sang hệ b
Đây là bài toán tìm một dãy ký hiệu cho số N viết trong hệ b.
Tổng quát, một số N cho ở hệ 10, viết sang hệ b có dạng:
N = (anan-1 . . .a0 , a-1a-2 . . .a-m)b = (anan-1 . . .a0)b + (0,a-1a-2 . . .a-m)b
Trong đó
(anan-1 . . .a0)b
= PE(N) là phần nguyên của N
và
(0,a-1a-2 . . .a-m)b = PF(N) là phần lẻ của N
Phần nguyên và phần lẻ được biến đổi theo hai cách khác nhau:
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
Phần nguyên:
Giá trị của phần nguyên xác định nhờ triển khai:
PE(N) = anbn + an-1bn-1 + . . .+ a1b 1+ a0b0
Hay có thể viết lại
PE(N) = (anbn-1 + an-1bn-2 + . . .+ a1)b + a0
Với cách viết này ta thấy nếu chia PE(N) cho b, ta được thương số là PE’(N) = (anbn-
1 + an-1bn-2 + . . .+ a1) và số dư là a0.
Vậy số dư của lần chia thứ nhất này chính là số mã có trọng số nhỏ nhất (a0) của
phần nguyên.
Lặp lại bài toán chia PE’(N) cho b:
PE’(N) = anbn-1 + an-1bn-2 + . . .+ a1= (anbn-2 + an-1bn-3 + . . .+ a2)b+ a1
Ta được số dư thứ hai, chính là số mã có trọng số lớn hơn kế tiếp (a1) và thương số
là PE”(N)= anbn-2 + an-1bn-3 + . . .+ a2.
Tiếp tục bài toán chia thương số có được với b, cho đến khi được số dư của phép chia
cuối cùng, đó chính là số mã có trọng số lớn nhất (an)
Phần lẻ:
Giá trị của phần lẻ xác định bởi:
PF(N) = a-1 b-1 + a-2 b-2 +. . .+ a-mb-m
Hay viết lại
PF(N) = b-1 (a-1 + a-2 b-1 +. . .+ a-mb-m+1
)
Nhân PF(N) với b, ta được : bPF(N) = a-1 + (a-2 b-1 +. . .+ a-mb-m+1 ) = a-1+ PF’(N).
Vậy lần nhân thứ nhất này ta được phần nguyên của phép nhân, chính là số mã có
trọng số lớn nhất của phần lẻ (a-1) (số a-1 này có thể vẫn là số 0).
PF’(N) là phần lẻ xuất hiện trong phép nhân.
Tiếp tục nhân PF’(N) với b, ta tìm được a-2 và phần lẻ PF”(N).
Lặp lại bài toán nhân phần lẻ với b cho đến khi kết quả có phần lẻ bằng không, ta sẽ
tìm được dãy số (a-1a-2 . . .a-m).
Chú ý: Phần lẻ của số N khi đổi sang hệ b có thể gồm vô số số hạng (do kết quả của
phép nhân luôn khác 0), điều này có nghĩa là ta không tìm được một số trong hệ b có giá trị
đúng bằng phần lẻ của số thập phân, vậy tùy theo yêu cầu về độ chính xác khi chuyển đổi mà
người ta lấy một số số hạng nhất định.
Thí dụ:
* Đổi 25,310 sang hệ nhị phân
Phần nguyên:
25 : 2 = 12 dư 1
12 : 2 = 6 dư 0
6 : 2 = 3 dư 0
3 : 2 = 1 dư 1
⇒ a0 = 1
⇒ a1 = 0
⇒ a2 = 0
⇒ a3 = 1
thương số cuối cùng là 1 cũng chính là bit a4:
⇒ a4 = 1
Vậy PE(N) = 11001
Phần lẻ:
0,3 * 2 = 0,6
0,6 * 2 = 1,2
0,2 * 2 = 0,4
0,4 * 2 = 0,8
0,8 * 2 = 1,6
⇒ a-1 = 0
⇒ a -2 = 1
⇒ a-3 = 0
⇒ a-4 = 0
⇒ a-5 = 1 . . .
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
Nhận thấy kết quả của các bài toán nhân luôn khác không, do phần lẻ của lần nhân
cuối cùng là 0,6, đã lặp lại kết quả của lần nhân thứ nhất, như vậy bài toán không thể kết thúc
với kết quả đúng bằng 0,3 của hệ 10.
Giả sử bài toán yêu cầu lấy 5 số lẻ thì ta có thể dừng ở đây và
PF(N) = 0,01001.
Kết quả cuối cùng là:
25,310 = 11001,010012
* Đổi 1376,8510 sang hệ thập lục phân
Phần nguyên: 1376 : 16 = 86 số dư = 0
86 : 16 = 5 số dư = 6
137610 = 560H
0,85 * 16 = 13,6
⇒ a0 = 0
⇒ a1 = 6 & ⇒ a2 = 5
Phần lẻ:
⇒ a-1 = 1310=DH
⇒ a -2 = 9
⇒ a-3 = 9
0,6 * 16 = 9,6
0,6 * 16 = 9,6
Nếu chỉ cần lấy 3 số lẻ:
Và kết quả cuối cùng:
0,8510= 0,D99H
1376,8510 = 560,D99H
1.3.3 Đổi một số từ hệ b sang hệ bk và ngược lại
Từ cách triển khai đa thức của số N trong hệ b, ta có thể nhóm thành từng k số hạng từ
dấu phẩy về hai phía và đặt thành thừa số chung
N = anbn +. . . +a5b5 + a4b4 +a3b3 +a2b2 +a1b1 +a0b0 +a-1 b-1 +a-2 b-2 +a-3 b-3. . .+a-mb-m
Để dễ hiểu, chúng ta lấy thí dụ k = 3, N được viết lại bằng cách nhóm từng 3 số hạng,
kể từ dấu phẩy về 2 phía
N = ...+ (a5b2 + a4b1 + a3b0)b3 + (a2b2 + a1b1 + a0b0 )b0+ (a-1 b2 + a-2 b1 + a-3b0)b-3 +...
Phần chứa trong mỗi dấu ngoặc luôn luôn nhỏ hơn b3 , vậy số này tạo nên một số
trong hệ b3 và lúc đó được biểu diễn bởi ký hiệu tương ứng trong hệ này.
Thật vậy, số N có dạng:
N = ...+A2B2+A1B1+A0B0 + A-1B-1 +...
Trong đó:
B=b3 (B0=b0; B1=b3; B2=b6, B-1=b-3 ....)
A2= a8b2 + a7b1 + a6b0 = b3(a8b-1 + a7b-2 + a6b-3) < B=b3
A1= a5b2 + a4b1 + a3b0 = b3(a5b-1 + a4b-2 + a3b-3) < B=b3
A0= a2b2 + a1b1 + a0b0 = b3(a2b-1 + a1b-2 + a0b-3) < B=b3
Các số Ai luôn luôn nhỏ hơn B=b3 như vậy nó chính là một phần tử của tập hợp số tạo
nên hệ B=b3
Ta có kết quả biến đổi tương tự cho các hệ số k khác.
Tóm lại, để đổi một số từ hệ b sang hệ bk, từ dấu phẩy đi về hai phía, ta nhóm từng k
số hạng, giá trị của mỗi k số hạng này (tính theo hệ b) chính là số trong hệ bk .
Thí dụ:
* Đổi số N = 10111110101 , 011012 sang hệ 8 = 23
Từ dấu phẩy, nhóm từng 3 số hạng về hai phía (nếu cần, thêm số 0 vào ở nhóm đầu và
cuối để đủ 3 số hạng mà không làm thay đổi giá trị của số N):
N = 010 111 110 101 , 011 0102
Ghi giá trị tương ứng của các số 3 bit, ta được số N trong hệ 8
N = 2
7
6
5 , 3
2
8
* Đổi số N trên sang hệ 16 = 24
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
Cũng như trên nhưng nhóm từng 4 số hạng
N = 0101 1111 0101 , 0110 10002
N =
5
F
5
,
6
8 16
Từ kết quả của phép đổi số từ hệ b sang hệ bk, ta có thể suy ra cách biến đổi ngược
một cách dễ dàng: Thay mỗi số hạng của số trong hệ bk bằng một số gồm k số hạng trong hệ
b.
Thí dụ để đổi số N = 5 F5, 6816 (hệ 24) sang hệ nhị phân (2) ta dùng 4 bit để viết cho
mỗi số hạng của số này:
N = 0101 1111 0101 , 0110 10002
1.3.4 Đổi một số từ hệ bk sang hệ bp
Qua trung gian của hệ b, ta có thể đổi từ hệ bk sang hệ bp. Muốn đổi số N từ hệ bk
sang hệ bp, trước nhất đổi số N sang hệ b rồi từ hệ b tiếp tục đổi sang hệ bp.
Thí dụ:
- Đổi số 1234,678 sang hệ 16
1234,678 = 001 010 011 100,110 1112 = 0010 1001 1100,1101 11002 = 29C,DCH
- Đổi số ABCD,EFH sang hệ 8
ABCD,EFH = 1010 1011 1100 1101,1110 11112 = 1 010 101 111 001 101,111 011
1102 = 125715,7368
Dưới đây là bảng kê các số đầu tiên trong các hệ khác nhau:
Thập
phân
0
Nhị
phân
0
Bát
phân
0
Thập lục
phân
0
Thập
phân
13
Nhị
phân
1101
Bát
phân
15
Thập lục
phân
D
1
1
1
1
14
1110
16
E
2
10
2
2
15
1111
17
F
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11
3
4
5
6
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
16
17
18
19
20
21
22
23
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
20
21
22
23
24
25
26
17
10
11
12
12
14
15
16
17
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
7
10
11
12
13
14
24
25
30
31
18
19
Bảng 1.1
1.4 Các phép tính trong hệ nhị phân
Các phép tính trong hệ nhị phân được thực hiện tương tự như trong hệ thập phân, tuy
nhiên cũng có một số điểm cần lưu ý
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
1.4.1 Phép cộng
Là phép tính làm cơ sở cho các phép tính khác.
Khi thực hiện phép cộng cần lưu ý:
0 + 0 = 0 ;
0 + 1 = 1 ;
1 + 1 = 0 nhớ 1 (đem qua bít cao hơn).
Ngoài ra nếu cộng nhiều số nhị phân cùng một lúc ta nên nhớ :
- Nếu số bit 1 chẵn, kết quả là 0;
- Nếu số bit 1 lẻ kết quả là 1
- Và cứ 1 cặp số 1 cho 1 số nhớ (bỏ qua số 1 dư, thí dụ với 5 số 1 ta kể là 2 cặp)
Thí dụ: Tính 011 + 101 + 011 + 011
1 1 ← số nhớ
1 1 1 ← số nhớ
0 1 1
+ 1 0 1
0 1 1
0 1 1
--------
1 1 1 0
1.4.2 Phép trừ
Cần lưu ý:
0 - 0 = 0 ;
1 - 1 = 0 ;
1 - 0 = 1 ;
0 - 1 = 1 nhớ 1 cho bit cao hơn
Thí dụ: Tính 1011 - 0101
1
← số nhớ
1 0 1 1
- 0 1 0 1
---------
0 1 1 0
1.4.3 Phép nhân
Cần lưu ý:
0 x 0 = 0 ;
0 x 1 = 0 ;
1 x 1 = 1
Thí dụ: Tính 1101 x 101
1 1 0 1
1 0 1
x
---------
1 1 0 1
0 0 0 0
1 1 0 1
---------------
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
1 0 0 0 0 0 1
1.4.4 Phép chia
Thí dụ: Chia 1001100100 cho 11000
Lần chia đầu tiên, 5 bit của số bị chia nhỏ hơn số chia nên ta được kết quả là 0, sau đó
ta lấy 6 bit của số bị chia để chia tiếp (tương ứng với việc dịch phải số chia 1 bit trước khi
thực hiện phép trừ)
Kết quả : (11001.1) 2 = (25.5)10
1.5 Mã hóa
1.5.1 Tổng quát
Mã hóa là gán một ký hiệu cho một đối tượng để thuận tiện cho việc thực hiện một
yêu cầu cụ thể nào đó.
Một cách toán học, mã hóa là một phép áp một đối một từ một tập hợp nguồn vào
một tập hợp khác gọi là tập hợp đích.
(H 1.1)
Tập hợp nguồn có thể là tập hợp các số, các ký tự, dấu, các lệnh dùng trong truyền dữ
liệu . . . và tập hợp đích thường là tập hợp chứa các tổ hợp thứ tự của các số nhị phân.
Một tổ hợp các số nhị phân tương ứng với một số được gọi là từ mã. Tập hợp các từ
mã được tạo ra theo một qui luật cho ta một bộ mã. Việc chọn một bộ mã tùy vào mục đích
sử dụng.
Thí dụ để biểu diễn các chữ và số, người ta có mã ASCII (American Standard Code
for Information Interchange), mã Baudot, EBCDIC . . .. Trong truyền dữ liệu ta có mã dò
lỗi, dò và sửa lỗi, mật mã . . ..
Vấn đề ngược lại mã hóa gọi là giải mã.
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
Cách biểu diễn các số trong các hệ khác nhau cũng có thể được xem là một hình thức
mã hóa, đó là các mã thập phân, nhị phân, thập lục phân . . . và việc chuyển từ mã này sang
mã khác cũng thuộc loại bài toán mã hóa.
Trong kỹ thuật số ta thường dùng các mã sau đây:
1.5.2 Mã BCD (Binary Coded Decimal)
Mã BCD dùng số nhị phân 4 bit có giá trị tương đương thay thế cho từng số hạng
trong số thập phân.
Thí dụ:
Số 62510 có mã BCD là 0110 0010 0101.
Mã BCD dùng rất thuận lợi : mạch điện tử đọc các số BCD và hiển thị ra bằng đèn
bảy đoạn (led hoặc LCD) hoàn toàn giống như con người đọc và viết ra số thập phân.
1.5.3 Mã Gray
Mã Gray hay còn gọi là mã cách khoảng đơn vị.
Nếu quan sát thông tin ra từ một máy đếm đang đếm các sự kiện tăng dần từng đơn vị,
ta sẽ được các số nhị phân dần dần thay đổi. Tại thời điểm đang quan sát có thể có những lỗi
rất quan trọng. Thí dụ giữa số 7(0111) và 8 (1000), các phần tử nhị phân đều phải thay đổi
trong quá trình đếm, nhưng sự giao hoán này không bắt buộc xảy ra đồng thời, ta có thể có
các trạng thái liên tiếp sau:
0111 → 0110 → 0100 → 0000 → 1000
Trong một quan sát ngắn các kết quả thấy được khác nhau. Để tránh hiện tượng này,
người ta cần mã hóa mỗi số hạng sao cho hai số liên tiếp chỉ khác nhau một phần tử nhị phân
(1 bit) gọi là mã cách khoảng đơn vị hay mã Gray.
Tính kề nhau của các tổ hợp mã Gray (tức các mã liên tiếp chỉ khác nhau một bit)
được dùng rất có hiệu quả để rút gọn hàm logic tới mức tối giản.
Ngoài ra, mã Gray còn được gọi là mã phản chiếu (do tính đối xứng của các số hạng
trong tập hợp mã, giống như phản chiếu qua gương)
Người ta có thể thiết lập mã Gray bằng cách dựa vào tính đối xứng này:
- Giả sử ta đã có tập hợp 2n từ mã của số n bit thì có thể suy ra tập hợp 2n+1 từ mã của
số (n+1) bit bằng cách:
- Viết ra 2n từ mã theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
- Thêm số 0 vào trước tất cả các từ mã đã có để được một phần của tập hợp từ mã mới
- Phần thứ hai của tập hợp gồm các từ mã giống như phần thứ nhất nhưng trình bày
theo thứ tự ngược lại (giống như phản chiếu qua gương) và phía trước thêm vào số 1 thay vì
số 0 (H 1.2).
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
(H 1.2)
Để thiết lập mã Gray của số nhiều bit ta có thể thực hiện các bước liên tiếp từ tập hợp
đầu tiên của số một bit (gồm hai bit 0, 1).
Dưới đây là các bước tạo mã Gray của số 4 bit. Cột bên phải của bảng mã 4 bit cho giá
trị tương đương trong hệ thập phân của mã Gray tương ứng (H 1.3).
Trị thập
phân
tương
đương
→ 0
→ 1
⏐
1
bit
1
1
→ 2
→ 3
⎯→
2 bi
t
1
1
⏐
→ 4
→ 5
⎯⎯→
1
1
→ 6
→ 7
3
bi
t
1
1
1
1
1
1
1
1
⏐
⏐
⏐
→ 8
→ 9
→ 10
→ 11
→ 12
→ 13
→ 14
→ 15
⎯⎯→
4
bit
(H 1.3)
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
________________________________________Chương I : Các Hệ Thống Số I-1
Nhận xét các bảng mã của các số Gray (1 bit, 2 bit, 3 bit và 4 bit) ta thấy các số gần
nhau luôn luôn khác nhau một bit, ngoài ra, trong từng bộ mã, các số đối xứng nhau qua
gương cũng khác nhau một bit.
Bài Tập
1. Đổi các số thập phân dưới đây sang hệ nhị phân và hệ thập lục phân :
a/ 12 b/ 24 c/ 192 d/ 2079
e/ 15492
f/ 0,25 g/ 0,375 h/ 0,376 i/ 17,150 j/ 192,1875
2. Đổi sang hệ thập phân và mã BCD các số nhị phân sau đây:
a/ 1011 b/ 10110 c/ 101,1 d/ 0,1101
e/ 0,001 f/ 110,01
g/ 1011011 h/ 10101101011
3. Đổi các số thập lục phân dưới đây sang hệ 10 và hệ 8:
a/ FF b/ 1A c/ 789 d/ 0,13 e/ ABCD,EF
4. Đổi các số nhị phân dưới đây sang hệ 8 và hệ 16:
a/ 111001001,001110001 b/ 10101110001,00011010101
c/ 1010101011001100,1010110010101 d/ 1111011100001,01010111001
5. Mã hóa số thập phân dưới đây dùng mã BCD :
a/ 12 b/ 192 c/ 2079 d/15436 e/ 0,375 f/ 17,250
______________________________________________________________
______________________Nguyễn Trung Lập__________________________
KĨ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 1
" CHƯƠNG 2 HÀM LOGIC
D HÀM LOGIC CƠ BẢN
D CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC
Dạng tổng chuẩn
Dạng tích chuẩn
Dạng số
Biến đổi qua lại giữa các dạng chuẩn
D RÚT GỌN HÀM LOGIC
Phương pháp đại số
Phương pháp dùng bảng Karnaugh
Phương pháp Quine Mc. Cluskey
___________________________________________________________________________
____________
Năm 1854 Georges Boole, một triết gia đồng thời là nhà toán học người Anh cho xuất
bản một tác phẩm về lý luận logic, nội dung của tác phẩm đặt ra những mệnh đề mà để trả lời
người ta chỉ phải dùng một trong hai từ đúng (có, yes) hoặc sai (không, no).
Tập hợp các thuật toán dùng cho các mệnh đề này hình thành môn Đại số Boole. Đây là
môn toán học dùng hệ thống số nhị phân mà ứng dụng của nó trong kỹ thuật chính là các
mạch logic, nền tảng của kỹ thuật số.
Chương này không có tham vọng trình bày lý thuyết Đại số Boole mà chỉ giới hạn trong
việc giới thiệu các hàm logic cơ bản và các tính chất cần thiết để giúp sinh viên hiểu vận
hành của một hệ thống logic.
2.1. HÀM LOGIC CƠ BẢN
2.1.1. Một số định nghĩa
- Trạng thái logic: trạng thái của một thực thể. Xét về mặt logic thì một thực thể chỉ
tồn tại ở một trong hai trạng thái. Thí dụ, đối với một bóng đèn ta chỉ quan tâm nó đang ở
trạng thái nào: tắt hay cháy. Vậy tắt / cháy là 2 trạng thái logic của nó.
- Biến logic dùng đặc trưng cho các trạng thái logic của các thực thể. Người ta biểu
diễn biến logic bởi một ký hiệu (chữ hay dấu) và nó chỉ nhận 1 trong 2 giá trị : 0 hoặc 1.
Thí dụ trạng thái logic của một công tắc là đóng hoặc mở, mà ta có thể đặc trưng bởi trị
1 hoặc 0.
- Hàm logic diễn tả bởi một nhóm biến logic liên hệ nhau bởi các phép toán logic.
Cũng như biến logic, hàm logic chỉ nhận 1 trong 2 giá trị: 0 hoặc 1 tùy theo các điều kiện liên
quan đến các biến.
Thí dụ, một mạch gồm một nguồn hiệu thế cấp cho một bóng đèn qua hai công tắc mắc
nối tiếp, bóng đèn chỉ cháy khi cả 2 công tắc đều đóng. Trạng thái của bóng đèn là một hàm
theo 2 biến là trạng thái của 2 công tắc.
Gọi A và B là tên biến chỉ công tắc, công tắc đóng ứng với trị 1 và hở ứng với trị 0. Y là
hàm chỉ trạng thái bóng đèn, 1 chỉ đèn cháy và 0 khi đèn tắt. Quan hệ giữa hàm Y và các biến
A, B được diễn tả nhờ bảng sau:
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 2
A
0 (hở)
B
0 (hở)
Y=f(A,B)
0 (tắt)
0 (hở)
1 (đóng)
1 (đóng)
1 (đóng)
0 (hở)
1 (đóng)
0 (tắt)
0 (tắt)
1 (cháy)
2.1.2. Biểu diễn biến và hàm logic
2.1.2.1. Giản đồ Venn
Còn gọi là giản đồ Euler, đặc biệt dùng trong lãnh vực tập hợp. Mỗi biến logic chia
không gian ra 2 vùng không gian con, một vùng trong đó giá trị biến là đúng (hay=1), và vùng
còn lại là vùng phụ trong đó giá trị biến là sai (hay=0).
Thí dụ: Phần giao nhau của hai tập hợp con A và B (gạch chéo) biểu diễn tập hợp trong
đó A và B là đúng (A AND B) (H 2.1)
(H 2.1)
2.1.2.2. Bảng sự thật
Nếu hàm có n biến, bảng sự thật có n+1 cột và 2n + 1 hàng. Hàng đầu tiên chỉ tên biến
và hàm, các hàng còn lại trình bày các tổ hợp của n biến trong 2n tổ hợp có thể có. Các cột đầu
ghi giá trị của biến, cột cuối cùng ghi giá trị của hàm tương ứng với tổ hợp biến trên cùng
hàng (gọi là trị riêng của hàm).
Thí dụ: Hàm OR của 2 biến A, B: f(A,B) = (A OR B) có bảng sự thật tương ứng.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
f(A,B) = A OR B
0
1
1
1
2.1.2.3. Bảng Karnaugh
Đây là cách biểu diễn khác của bảng sự thật trong đó mỗi hàng của bảng sự thật được
thay thế bởi một ô mà tọa độ (gồm hàng và cột) xác định bởi tổ hợp đã cho của biến.
Bảng Karnaugh của n biến gồm 2n ô. Giá trị của hàm được ghi tại mỗi ô của bảng. Bảng
Karnaugh rất thuận tiện để đơn giản hàm logic bằng cách nhóm các ô lại với nhau.
Thí dụ: Hàm OR ở trên được diễn tả bởi bảng Karnaugh sau đây
A \ B
0
0
1
1
1
1
0
1
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 3
2.1.2.4. Giản đồ thời gian
Dùng để diễn tả quan hệ giữa các hàm và biến theo thời gian, đồng thời với quan hệ
logic.
Thí dụ: Giản đồ thời gian của hàm OR của 2 biến A và B, tại những thời điểm có một
(hoặc 2) biến có giá trị 1 thì hàm có trị 1 và hàm chỉ có trị 0 tại những thời điểm mà cả 2 biến
đều bằng 0.
(H 2.2)
2.1.3. Qui ước
Khi nghiên cứu một hệ thống logic, cần xác định qui ước logic. Qui ước này không
được thay đổi trong suốt quá trình nghiên cứu.
Người ta dùng 2 mức điện thế thấp và cao để gán cho 2 trạng thái logic 1 và 0.
Qui ước logic dương gán điện thế thấp cho logic 0 và điện thế cao cho logic 1
Qui ước logic âm thì ngược lại.
2.1.4. Hàm logic cơ bản (Các phép toán logic)
2.1.4.1. Hàm NOT (đảo, bù) :
Bảng sự thật
Y = A
A
Y = A
0
1
1
0
2.1.4.2. Hàm AND [tích logic, toán tử (.)] :
Bảng sự thật
Y = A.B
A
0
0
B
0
1
0
Y=A.B
0
0
0
1
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 4
1
1
1
Nhận xét: Tính chất của hàm AND có thể được phát biểu như sau:
- Hàm AND của 2 (hay nhiều) biến chỉ có giá trị 1 khi tất cả các biến đều bằng 1
hoặc
- Hàm AND của 2 (hay nhiều) biến có giá trị 0 khi có một biến bằng 0.
2.1.4.3. Hàm OR [tổng logic, toán tử (+)] :
Bảng sự thật
Y = A + B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y=A + B
0
1
1
1
Nhận xét: Tính chất của hàm OR có thể được phát biểu như sau:
- Hàm OR của 2 (hay nhiều) biến chỉ có giá trị 0 khi tất cả các biến đều bằng 0
hoặc
- Hàm OR của 2 (hay nhiều) biến có giá trị 1 khi có một biến bằng 1.
2.1.4.4.Hàm EX-OR (OR loại trừ) Y = A ⊕ B
Bảng sự thật
Y = A ⊕ B
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
0
1
1
0
Nhận xét: Một số tính chất của hàm EX - OR:
- Hàm EX - OR của 2 biến chỉ có giá trị 1 khi hai biến khác nhau và ngược lại. Tính
chất này được dùng để so sánh 2 biến.
- Hàm EX - OR của 2 biến cho phép thực hiện cộng hai số nhị phân 1 bit mà không
quan tâm tới số nhớ.
- Từ kết quả của hàm EX-OR 2 biến ta suy ra bảng sự thật cho hàm 3 biến
Y = A ⊕ B ⊕ C
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 5
- Trong trường hợp 3 biến (và suy rộng ra cho nhiều biến), hàm EX - OR có giá trị 1 khi
số biến bằng 1 là số lẻ. Tính chất này được dùng để nhận dạng một chuỗi dữ liệu có số bit 1 là
chẵn hay lẻ trong thiết kế mạch phát chẵn lẻ.
2.1.5. Tính chất của các hàm logic cơ bản:
2.1.5.1. Tính chất cơ bản:
♦ Có một phần tử trung tính duy nhất cho mỗi toán tử (+) và (.):
A + 0 = A ; 0 là phần tử trung tính của hàm OR
A . 1 = A ; 1 là phần tử trung tính của hàm AND
♦ Tính giao hoán:
A + B = B + A
A . B = B . A
♦ Tính phối hợp:
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C
(A . B) . C = A . (B . C) = A . B . C
♦ Tính phân bố:
- Phân bố đối với phép nhân: A . (B + C) = A . B + A . C
- Phân bố đối với phép cộng: A + (B . C) = (A + B) . (A + C)
Phân bố đối với phép cộng là một tính chất đặc biệt của phép toán logic
♦ Không có phép tính lũy thừa và thừa số:
A + A + . . . . . + A = A
A . A . . . . . . . . A = A
♦ Tính bù:
A = A
A + A = 1
A.A = 0
2.1.5.2. Tính song đối (duality):
Tất cả biểu thức logic vẫn đúng khi [thay phép toán (+) bởi phép (.) và 0 bởi 1] hay
ngược lại. Điều này có thể chứng minh dễ dàng cho tất cả biểu thức ở trên.
Thí dụ :
Α + Β = Β + Α
Α + A Β = Α + Β
A + 1 = 1
⇔
Α.Β = Β.Α
⇔ Α(A +Β) = Α.Β
A.0 = 0
⇔
2.1.5.3. Định lý De Morgan
Định lý De Morgan được phát biểu bởi hai biểu thức:
A + B+ C = A.B.C
A.B.C = A + B+ C
Định lý De Morgan cho phép biến đổi qua lại giữa hai phép cộng và nhân nhờ vào phép
đảo.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 6
Định lý De Morgan được chứng minh bằng cách lập bảng sự thật cho tất cả trường hợp
có thể có của các biến A, B, C với các hàm AND, OR và NOT của chúng.
2.1.5.4. Sự phụ thuộc lẫn nhau của các hàm logic cơ bản
Định lý De Morgan cho thấy các hàm logic không độc lập với nhau, chúng có thể biến
đổi qua lại, sự biến đổi này cần có sự tham gia của hàm NOT. Kết quả là ta có thể dùng hàm
(AND và NOT) hoặc (OR và NOT) để diễn tả tất cả các hàm.
Thí dụ:
Chỉ dùng hàm AND và NOT để diễn tả hàm sau: Y = A.B + B.C+ A.C
Chỉ cần đảo hàm Y hai lần, ta được kết quả:
Y = Y = A.B + B.C+ A.C = A.B.B.C.A.C
Nếu dùng hàm OR và NOT để diễn tả hàm trên làm như sau:
Y = A.B+ B.C+ A.C = A + B+ B+ C + A + C
2.2. CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC
Một hàm logic được biểu diễn bởi một tổ hợp của những tổng và tích logic.
♦ Nếu biểu thức là tổng của những tích, ta có dạng tổng
Thí dụ : f(X,Y,Z) = XY + XZ + YZ
♦ Nếu biểu thức là tích của những tổng, ta có dạng tích
Thí dụ : f(X, Y,Z) = (X + Y).(X+ Z).(Y + Z)
Một hàm logic được gọi là hàm chuẩn nếu mỗi số hạng chứa đầy đủ các biến, ở dạng
nguyên hay dạng đảo của chúng.
Thí dụ : f(X, Y,Z) = XYZ + XYZ + XYZ là một tổng chuẩn.
Mỗi số hạng của tổng chuẩn được gọi là minterm.
f(X,Y,Z) = (X + Y + Z).(X + Y + Z).(X + Y + Z) là một tích chuẩn.
Mỗi số hạng của tích chuẩn được gọi là maxterm.
Phần sau đây cho phép chúng ta viết ra một hàm dưới dạng tổng chuẩn hay tích chuẩn
khi có bảng sự thật diễn tả hàm đó.
2.2.1. Dạng tổng chuẩn
Để có được hàm logic dưới dạng chuẩn, ta áp dụng các định lý triển khai của Shanon.
Dạng tổng chuẩn có được từ triển khai theo định lý Shanon thứ nhất:
Tất cả các hàm logic có thể triển khai theo một trong những biến dưới dạng tổng
của hai tích như sau:
f(A,B,...,Z) = A.f(1,B,...,Z) + A .f(0,B,...,Z)
(1)
Hệ thức (1) có thể được chứng minh rất dễ dàng bằng cách lần lượt cho A bằng 2 giá
trị 0 và 1, ta có kết quả là 2 vế của (1) luôn luôn bằng nhau. Thật vậy
Cho A=0:
Cho A=1:
f(0,B,...,Z) = 0.f(1,B,...,Z) + 1. f(0,B,...,Z) = f(0,B,...,Z)
f(1,B,...,Z) = 1.f(1,B,...,Z) + 0. f(0,B,...,Z) = f(1,B,...,Z)
Với 2 biến, hàm f(A,B) có thể triển khai theo biến A :
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 7
f(A,B) = A.f(1,B) + A .f(0,B)
Mỗi hàm trong hai hàm vừa tìm được lại có thể triển khai theo biến B
f(1,B) = B.f(1,1) + Β.f(1,0) & f(0,B) = B.f(0,1) + B.f(0,0)
Vậy:
f(A,B) = AB.f(1,1) + A .B.f(0,1) + AB.f(1,0) + A B.f(0,0)
f(i,j) là giá trị riêng của f(A,B) khi A=i và B=j trong bảng sự thật của hàm.
Với 3 biến, trị riêng của f(A, B, C) là f(i, j, k) khi A=i, B=j và C=k ta được:
f(A,B,C) = A.B.C.f(1,1,1) + A.B. C.f (1,1,0) + A. B.C.f(1,0,1) + A. B. C.f(1,0,0) +
A .B.C.f(0,1,1) + A .B. C.f(0,1,0) + A . B.C.f(0,0,1) + A . B. C.f(0,0,0)
Khi triển khai hàm 2 biến ta được tổng của 22 = 4 số hạng
Khi triển khai hàm 3 biến ta được tổng của 23 = 8 số hạng
Khi triển khai hàm n biến ta được tổng của 2n số hạng
Mỗi số hạng là tích của một tổ hợp biến và một trị riêng của hàm. Hai trường hợp có
thể xảy ra:
- Giá trị riêng = 1, số hạng thu gọn lại chỉ còn các biến:
A . B.C.f(0,0,1) = A . B.C nếu f(0,0,1) = 1
- Giá trị riêng = 0, tích bằng 0 :
A . B. C.f(0,0,0)= 0 nếu f(0,0,0) = 0
và số hạng này biến mất trong biểu thức của tổng chuẩn.
Thí dụ:
Cho hàm 3 biến A,B,C xác định bởi bảng sự thật:
Hàng
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
Z=f(A,B,C)
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
1
1
0
1
0
1
Với hàm Z cho như trên ta có các trị riêng f(i, j, k) xác định bởi:
f(0,0,1) = f(0,1,0) = f(0,1,1) = f(1,0,1) = f(1,1,1) =1
f(0,0,0) = f(1,0,0) = f(1,1,0) = 0
- Hàm Z có trị riêng f(0,0,1)=1 tương ứng với các giá trị của tổ hợp biến ở hàng (1) là
A=0, B=0 và C=1 đồng thời, vậy A . B.C là một số hạng trong tổng chuẩn
- Tương tự với các tổ hợp biến tương ứng với các hàng (2), (3), (5) và (7) cũng là các số
hạng của tổng chuẩn, đó là các tổ hợp: .B. C, A .B.C, A.B.C và A.B.C
- Với các hàng còn lại (hàng 0,4,6), trị riêng của f(A,B,C) = 0 nên không xuất hiện trong
triển khai.
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
______________________________________________________Chương 2
Hàm Logic II - 8
Tóm lại ta có: Z = A . B.C + A .B. C + A .B.C + A. B.C + A.Β.C
- Ý nghĩa của định lý Shanon thứ nhất:
Nhắc lại tính chất của các hàm AND và OR: b1.b2.... bn = 1 khi b1, b2..., bn đồng thời
bằng 1 và để a1 + a2 + ... + ap = 1 chỉ cần ít nhất một biến a1, a2, ..., ap bằng 1
Trở lại thí dụ trên, biểu thức logic tương ứng với hàng 1 (A=0, B=0, C=1) được
viết A . B.C =1 vì A = 1 , B = 1, C = 1 đồng thời.
Biểu thức logic tương ứng với hàng 2 là A .B. C =1 vì A=0 ( A = 1), B=1, C=0 ( C= 1)
đồng thời
Tương tự, với các hàng 3, 5 và 7 ta có các kết quả: A .B.C , A. B.C và A.Β.C
Như vậy, trong thí dụ trên
Z = hàng 1 + hàng 2 + hàng 3 + hàng 5 + hàng 7
Z = A . B.C + A .B. C + A .B.C + A. B.C + A.Β.C
Tóm lại, từ một hàm cho dưới dạng bảng sự thật, ta có thể viết ngay biểu thức của hàm
dưới dạng tổng chuẩn như sau:
- Số số hạng của biểu thức bằng số giá trị 1 của hàm thể hiện trên bảng sự thật
- Mỗi số hạng trong tổng chuẩn là tích của tất cả các biến tương ứng với tổ hợp mà
hàm có trị riêng bằng 1, biến được giữ nguyên khi có giá trị 1 và được đảo nếu giá trị
của nó = 0.
2.2.2. Dạng tích chuẩn
Đây là dạng của hàm logic có được từ triển khai theo định lý Shanon thứ hai:
Tất cả các hàm logic có thể triển khai theo một trong những biến dưới dạng tích
của hai tổng như sau:
f(A,B,...,Z) = [ A + f(1,B,...,Z)].[A + f(0,B,...,Z)]
(2)
Cách chứng minh định lý Shanon thứ hai cũng giống như đã chứng minh định lý
Shanon thứ nhất.
Với hai biến, hàm f(A,B) có thể triển khai theo biến A
f(A,B) = [ A + f(1,B)].[A + f(0,B)]
Mỗi hàm trong hai hàm vừa tìm được lại có thể triển khai theo biến B
f(1,B) = [B + f(1,1)].[B + f(1,0)] & f(0,B) = [B + f(0,1)].[B + f(0,0)]
f(A,B) = ⎨ A + [B + f(1,1)].[B + f(1,0)]⎬.⎨A + [B + f(0,1)].[B + f(0,0)]⎬
Vậy:
Cũng như dạng chuẩn thứ nhất, f(i,j) là giá trị riêng của f(A,B) khi A=i và B=j trong
bảng sự thật của hàm.
f(A,B) = [ A +B + f(1,1)].[ A +B + f(1,0)].[A+B + f(0,1)].[A+B + f(0,0)]
Với hàm 3 biến:
f(A,B,C)=[ A +B+ C+f(1,1,1)].[ A +B+C+f(1,1,0)].[ A +B+ C+f(1,0,1)].[ A +B+C+f(1,0,0)].
[A+B+ C+f(0,1,1)].[A+B+C+ f(0,1,0)].[A+B+C+f(0,0,1)].[A+B+C+f(0,0,0)]
Số số hạng trong triển khai n biến là 2n. Mỗi số hạng là tổng (OR) của các biến và trị
riêng của hàm.
- Nếu trị riêng bằng 0 số hạng được rút gọn lại chỉ còn các biến (0 là trị trung tính của
phép cộng logic)
A + B + C + f(0,0,0) = A + B + C nếu f(0,0,0) = 0
- Nếu trị riêng bằng 1, số hạng triển khai = 1
A + B + C + f(0,0,1) = 1 nếu f(0,0,1) = 1
___________________________________________________________________________
_________________________________________________________Nguyễn Trung Lập
KỸ THUẬT SỐ
Tải về để xem bản đầy đủ
94 trang
13/04/2022
6600
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Kỹ thuật số (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- giao_trinh_ky_thuat_so_phan_1.pdf
