›
›

Bài giảng Maple - Chương 2: Thực hành tính toán trên Maple

Download
Ch−¬ng 2  
Thùc hµnh tÝnh to¸n trªn  
Maple  
2.1. tÝnh to¸n sè häc vµ ®¹i sè th«ng dông .......................................... 14  
2.1.1. TÝnh to¸n víi sè nguyªn...................................................................... 14  
TÝnh giai thõa .............................................................................................................. 14  
T×m −íc sè chung lín nhÊt (gcd)................................................................................ 14  
T×m béi sè chung nhá nhÊt (lcm) ............................................................................... 14  
Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè........................................................................ 15  
T×m c¸c sè nguyªn tè tr−íc vµ sau mét sè cho tr−íc ................................................. 15  
T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh........................................................................ 15  
T×m th−¬ng vµ phÇn d− ............................................................................................... 16  
TÝnh theo c«ng thøc truy håi....................................................................................... 17  
2.1.2. TÝnh to¸n víi c¸c sè thËp ph©n ......................................................... 20  
VÒ ®é chÝnh x¸c cña c¸c phÐp tÝnh sè häc.................................................................. 20  
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè häc ................................................................................ 21  
TÝnh tæng cña h÷u h¹n vµ cña v« h¹n c¸c sè h¹ng ..................................................... 21  
TÝnh tÝch cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n thõa sè ................................................................ 22  
2.1.3. TÝnh to¸n víi sè phøc .......................................................................... 23  
2.1.4. TÝnh to¸n theo Modul .......................................................................... 24  
C¸c tÝnh to¸n Modul th«ng th−êng............................................................................. 24  
Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi Modul ...................................................................................... 26  
2.1.5. Khai triÓn, ®¬n gi¶n vµ ph©n tÝch biÓu thøc ®¹i sè.......................... 27  
Khai triÓn biÓu thøc ®¹i sè.......................................................................................... 27  
Ph©n tÝch ra thõa sè..................................................................................................... 28  
PhÐp ®¬n gi¶n biÓu thøc.............................................................................................. 28  
Tèi gi¶n ph©n thøc ...................................................................................................... 29  
G¸n tªn cho biÓu thøc vµ g¸n trÞ cho biÕn .................................................................. 29  
ChuyÓn ®æi d¹ng cña biÓu thøc................................................................................... 30  
2.1.6. §Þnh nghÜa hµm sè .............................................................................. 31  
Hµm sè th«ng th−êng.................................................................................................. 31  
Hµm tõng khóc............................................................................................................ 31  
11  
2.1.7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ hÖ ph−¬ng tr×nh ............................................... 32  
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè (cã hÖ sè b»ng sè hoÆc b»ng ch÷). ..................................... 32  
Gi¶i ph−¬ng tr×nh v« tû............................................................................................... 33  
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ................................................................................................... 33  
2.1.8. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh.......................................................................... 34  
2.2. VÏ ®å thÞ vµ c¸c vÊn ®Ò liªn quan ..................................................... 35  
2.2.1. VÏ ®å thÞ trong mÆt ph¼ng................................................................. 35  
VÏ ®å thÞ hµm th«ng th−êng ....................................................................................... 35  
VÏ ®å thÞ hµm Èn......................................................................................................... 37  
C¸c tuú chän c¬ b¶n trong lÖnh vÏ ®å thÞ................................................................... 38  
Mét sè thÝ dô minh häa............................................................................................... 41  
2.2.2. VÏ ®å thÞ trong kh«ng gian 3 chiÒu................................................... 42  
VÏ ®å thÞ hµm 2 biÕn................................................................................................... 42  
VÏ ®−êng møc cña c¸c hµm 2 biÕn............................................................................. 44  
VÏ ®−êng èng trong kh«ng gian 3 chiÒu ................................................................... 46  
2.2.3. VËn ®éng cña ®å thÞ........................................................................... 46  
2.3. TÝnh to¸n trong ®¹i sè tuyÕn tÝnh ................................................... 48  
2.3.1. C¸c phÐp to¸n trªn vect¬ vµ ma trËn.............................................. 48  
T¹o vect¬ vµ ma trËn.................................................................................................. 48  
So s¸nh hai ma trËn ..................................................................................................... 50  
TÝnh tæng cña hai ma trËn (lÖnh ®¸nh gi¸ ma trËn tæng)............................................ 51  
Nh©n ma trËn............................................................................................................... 51  
TÝnh tÝch trong cña ma trËn vµ vÐc t¬ (lÖnh innerprod).............................................. 52  
TÝnh tÝch vÐc t¬ (tÝch trùc tiÕp) b»ng lÖnh crossprod........................................... 53  
TÝnh tÝch v« h−íng cña hai vÐc t¬ (lÖnh dotprod) ...................................................... 53  
2.3.2. TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vect¬ riªng cña ma trËn.................................... 54  
TÝnh ®a thøc ®Æc tr−ng ................................................................................................ 54  
TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña ma trËn............................................................. 54  
TÝnh gi¸ trÞ riªng vµ vÐc t¬ riªng cña ma trËn sè........................................................ 55  
2.3.3. TÝnh h¹ng, tÝnh ®Þnh thøc vµ tÝnh ma trËn ng−îc.............................. 56  
T×m h¹ng cña ma trËn ................................................................................................. 56  
TÝnh ®Þnh thøc vµ ma trËn ng−îc cña ma trËn............................................................ 57  
2.3.4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh.................................................... 57  
ThiÕt lËp ma trËn tõ ph−¬ng tr×nh vµ ng−îc l¹i .......................................................... 57  
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹i sè tuyÕn tÝnh............................................................................ 59  
2.3.5. T×m c¬ së cho kh«ng gian vect¬ ....................................................... 60  
T×m hä vÐc t¬ c¬ së..................................................................................................... 60  
T×m c¬ së cho kh«ng gian vÐc t¬ sinh bëi c¸c dßng (cét) cña ma trËn...................... 61  
T×m c¬ së cho h¹ch cña ma trËn ................................................................................. 61  
T×m c¬ së trùc chuÈn cña kh«ng gian sinh bëi mét hä c¸c vÐc t¬ ............................. 61  
12  
2.4. PhÐp tÝnh vi ph©n vµ tÝch ph©n .......................................................... 62  
2.4.1. PhÐp tÝnh giíi h¹n................................................................................ 62  
TÝnh giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm ...................................................................... 62  
TÝnh giíi h¹n theo h−íng (tr¸i hoÆc ph¶i).................................................................. 63  
2.4.2. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè mét biÕn ................................................. 63  
TÝnh ®¹o hµm bËc nhÊt................................................................................................ 63  
C¸c vÝ dô minh ho¹ ..................................................................................................... 64  
TÝnh ®¹o hµm cÊp cao ................................................................................................. 65  
2.4.3. TÝnh vi ph©n hµm nhiÒu biÕn, hµm vect¬ vµ ma trËn hµm............. 66  
PhÐp tÝnh ®¹o hµm cña hµm nhiÒu biÕn...................................................................... 66  
TÝnh ®¹o hµm cña mét hµm vÐc t¬.............................................................................. 67  
TÝnh ®¹o hµm cña mét ma trËn hµm........................................................................... 67  
2.4.4. Hµm Èn vµ ®¹o hµm cña nã.............................................................. 68  
Hµm Èn v« h−íng........................................................................................................ 68  
Hµm Èn vÐc t¬ ............................................................................................................. 70  
2.4.5. PhÐp tÝnh tÝch ph©n ............................................................................. 72  
TÝnh tÝch ph©n x¸c ®Þnh .............................................................................................. 72  
TÝnh tÝch ph©n kh«ng x¸c ®Þnh ................................................................................... 74  
TÝnh tÝch ph©n suy réng .............................................................................................. 76  
2.4.6. Khai triÓn hµm sè thµnh chuçi ........................................................... 76  
2.5. Ph−¬ng tr×nh Vi ph©n vµ VËt lý to¸n ............................................... 78  
2.5.1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng...................................................... 78  
C¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n th«ng th−êng ..................................................................... 78  
C¸c tuú chän trong gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n............................................................ 79  
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n víi c¸c hµm ®Æc biÖt................................................................. 80  
2.5.2. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng ................................................ 81  
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng.......................................................................... 81  
C¸c tuú chän trong gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ....................................................... 82  
VÏ ®å thÞ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n .......................................................... 84  
2.5.3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng ...................................................... 86  
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng................................................................................ 86  
VÏ ®å thÞ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng.................................................... 86  
PhÇn nµy giíi thiÖu nh÷ng chñ ®Ò tÝnh to¸n th«ng dông nhÊt. Qua ®©y chóng ta  
sÏ mau chãng n¾m b¾t ®−îc ph−¬ng thøc lµm viÖc víi Maple, ®Ó råi tù m×nh kh¸m  
ph¸ vµ t×m hiÓu vÒ kh¶ n¨ng tÝnh to¸n tuyÖt vêi cña Maple. C¸c tÝnh to¸n chuyªn  
ngµnh s©u h¬n sÏ ®−îc ®Ò cËp trong phÇn tÝnh to¸n thùc hµnh trªn m¸y cña c¸c gi¸o  
tr×nh cho tõng bé m«n.  
13  
2.1. tÝnh to¸n sè häc vµ ®¹i sè th«ng dông  
2.1.1. TÝnh to¸n víi sè nguyªn  
MAPLE lµ mét c«ng cô m¹nh, cho phÐp tÝnh to¸n víi nh÷ng sè lín.  
§Ó thùc hµnh tÝnh to¸n, tr−íc tiªn h·y ®−a vµo mét côm xö lý (b»ng chøc n¨ng  
Insert/Execution Group/After Cursor). Sau khi hiÖn ra dÊu nh¾c " [>" th× ®−a lÖnh tÝnh  
to¸n vµo. Víi nh÷ng tÝnh to¸n sè häc th«ng th−êng, c©u lÖnh còng chÝnh lµ biÓu  
thøc tÝnh to¸n. ThÝ dô, ®Ó tÝnh (32).(1213) ta ®−a vµo sau dÊu nh¾c biÓu thøc m« t¶  
phÐp tÝnh nµy (nh¾c l¹i r»ng phÐp nh©n ký hiÖu lµ dÊu sao (*) vµ phÐp luü thõa biÓu  
thÞ b»ng dÊu mò (^), cßn dÊu chÊm phÈy (;) biÓu thÞ kÕt thóc cña c©u lÖnh). Sau khi  
cho thùc hiÖn lÖnh th× viÖc tÝnh to¸n sÏ ®−îc thùc hiÖn vµ ta sÏ nhËn ®−îc ngay ®¸p  
sè:  
[>32*12^13;  
3423782572130304  
Maple biÕt lµm rÊt nhiÒu phÐp to¸n ®Æc biÖt, trong ®ã cã  
TÝnh giai thõa  
ThÝ dô TÝnh 99! nh− sau  
[>99!;  
9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296  
3895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251  
1852109168640000000000000000000000  
T×m −íc sè chung lín nhÊt (gcd)  
ThÝ dô T×m −íc sè chung lín nhÊt cña 2 sè 157940 vµ 78864 b»ng c©u lÖnh sau:  
[>gcd(157940,78864);  
212  
T×m béi sè chung nhá nhÊt (lcm)  
ThÝ dô T×m béi sè chung nhá nhÊt cña 2 sè 18230 vµ 3224 b»ng c©u lÖnh sau:  
[>lcm(18230,3224);  
29386760  
DÜ nhiªn, cã thÓ t×m béi sè chung nhá nhÊt cña nhiÒu sè:  
14  
[>lcm(24,15,7,154,812);  
267960  
Ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè  
ThÝ dô Ph©n tÝch sè 122333444455555666666777777788888888999999999 ra  
thõa sè nguyªn tè b»ng c©u lÖnh cã có ph¸p nh− sau:  
[>ifactor(122333444455555666666777777788888888999999999  
);  
(3)(12241913785205210313897506033112067347143)(3331)  
Nh− vËy, ta ®· t×m ®−îc "cña hiÕm" - mét sè nguyªn tè lín (trªn 40 ch÷ sè !!!).  
Muèn thiÕt lËp l¹i tÝch cña c¸c thõa sè nµy ta dïng lÖnh bung tÝch trªn ra  
(Maple hiÓu ngÇm ®Þnh ký hiÖu (%) lµ chØ biÓu thøc ngay tr−íc ®ã, trong c¸c phiªn  
b¶n cò ký hiÖu nµy lµ dÊu nh¸y kÐp):  
[>expand(%);  
122333444455555666666777777788888888999999999  
T×m c¸c sè nguyªn tè tr−íc vµ sau mét sè cho tr−íc  
T×m sè nguyªn tè ®øng tr−íc sè nguyªn acho tr−íc b»ng lÖnh  
prevprime(a);  
ThÝ dô:  
[>prevprime(122333444455555666666777777788888888  
999999999);  
122333444455555666666777777788888888999999893  
T×m sè nguyªn tè ®øng sau sè nguyªn acho tr−íc b»ng lÖnh nextprime(a);  
ThÝ dô:  
[>nextprime(122333444455555666666777777788888888999999999  
);  
122333444455555666666777777788888889000000069  
T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh  
Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Ó t×m nghiÖm nguyªn b»ng lÖnh isolve víi có ph¸p nh−  
sau  
[>isolve(eqns,vars);  
Trong ®ã: eqns - tËp c¸c ph−¬ng tr×nh hoÆc mét ph−¬ng tr×nh  
15  
vars - tËp c¸c tªn biÕn v« ®Þnh  
Thñ tôc isolve gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn tËp c¸c sè nguyªn, cho phÐp t×m mäi Èn  
v« ®Þnh tham gia trong c¸c ph−¬ng tr×nh.  
TËp tªn c¸c biÕn v« ®Þnh (vars) ®−îc sö dông ®Ó biÓu diÔn nghiÖm, cã gi¸ trÞ  
nguyªn. NÕu ta kh«ng chØ râ c¸c biÕn nµy, hoÆc ®−a kh«ng ®ñ, th× ch−¬ng tr×nh sÏ  
tù t¹o ra c¸c tªn _N1, _N2... NÕu ta khai b¸o thõa (nhiÒu h¬n sè biÕn v« ®Þnh thùc  
tÕ) th× còng kh«ng sao, ch−¬ng tr×nh sÏ kh«ng ®éng ch¹m ®Õn c¸c biÕn thõa.  
NÕu kh«ng cã nghiÖm nguyªn (hoÆc MAPLE kh«ng cã kh¶ n¨ng t×m nghiÖm)  
th× m¸y th«ng b¸o NULL.  
ThÝ dô  
[>isolve(3*x-4*y=7);  
{y = 2 + 3 _N1, x = 5 + 4 _N1}  
[>isolve(x+2*y+3*z=4,{a});  
{y = _N2, x = 4 − 3 a − 2 _N2, z = a}  
[>isolve(x+y+z=0,{a,b,c,d});  
{z = a, y = b, x = −a − b}  
[>isolve(x^2+y^2=z^2,{u,v});  
_N3 (−v2 + u2 )  
_N3 (v2 + u2 )  
{x =  
, z =  
,
igcd(−v2 + u2, v2 + u2, −2 v u)  
igcd(−v2 + u2, v2 + u2, −2 v u)  
_N3 v u  
y = −2  
}
igcd(−v2 + u2, v2 + u2, −2 v u)  
T×m th−¬ng vµ phÇn d−  
LÖnh : irem- t×m phÇn d− nguyªn  
iquo- t×m th−¬ng nguyªn  
Có ph¸p: irem(m,n)  
iquo(m,n)  
irem(m,n,'q')  
iquo(m,n,'r')  
Tham biÕn: m,n - biÓu thøc  
q,r - tªn  
NÕu mvµ nlµ hai sè nguyªn th× lÖnh irem tÝnh phÇn d− cña mkhi chia cho n,  
vµ nÕu cã sù tham gia cña biÕn thø ba 'q' th× nã sÏ ®−îc g¸n cho th−¬ng. T−¬ng tù,  
lÖnh iquo tÝnh th−¬ng khi chia m cho nvµ nÕu cã sù tham gia cña biÕn thø ba 'r'  
th× nã ®−îc g¸n cho phÇn d−.  
NÕu mvµ nkh«ng ph¶i c¶ hai lµ nh÷ng sè nguyªn th× iremkh«ng x¸c ®Þnh.  
16  
ThÝ dô Muèn t×m phÇn d− cña 23 cho 4 ta dïng lÖnh  
[>irem(23,4,'q');  
3
vµ th−¬ng cña phÐp chia nµy biÕt ®−îc nhê lÖnh  
[>q;  
5
Ng−îc l¹i, ta cã thÓ thùc hiÖn c¸c lÖnh sau ®Ó ®¹t cïng môc ®Ých  
[>iquo(23,4,'r');  
5
[>r;  
3
Khi kh«ng cã biÕn thø 3  
[>irem(-23,4);  
-3  
[>irem(23,-4);  
3
[>iquo(-23,-4);  
5
[>irem(x,3);  
irem(x, 3)  
TÝnh theo c«ng thøc truy håi  
Nhê MAPLE, b¹n cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc theo c«ng thøc truy håi  
nh− tÝnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y Fibonachi. Muèn tÝnh theo c«ng thøc truy håi,  
b¹n h·y vµo lÖnh  
[>rsolve(eqns, fcns);  
Trong ®ã, eqnslµ ph−¬ng tr×nh hoÆc tËp c¸c ph−¬ng tr×nh, fcnslµ tªn hµm hoÆc  
tËp tªn c¸c hµm mµ lÖnh rsolveph¶i t×m.  
17  
ThÝ dô T×m c«ng thøc cho hµm f(k) theo c«ng thøc truy håi  
f(n) = −3 f(n − 1) − 2 f(n − 2)  
víi gi¸ trÞ ban ®Çu bÊt kú  
[>rsolve(f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(k));  
(2 f(0) + f(1)) (-1)k + (−f(0) − f(1)) (-2)k  
NÕu muèn cã c«ng thøc cña f(k) víi gi¸ trÞ ban ®Çu cho tr−íc th× ta ph¶i khai b¸o  
gi¸ trÞ Êy vµo eqns  
[>rsolve({f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(1..2)=1},{f});  
{f(n) = −3 (-1)n + (-2)n }  
ThÝ dô TÝnh sè h¹ng f(n) cña d·y Fibonachi  
f(n) = f(n − 1) + f(n − 2)  
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu f(1)=1, f(2)=1  
[>rsolve({f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(1)=1,f(2)=1},{f});  
n   
1
5
2
1
5
2
   
n  
   
1 −  
5
−1 −  
5
−
   
   
5 − 1  
5 + 1  
f(n) =  
+
5 − 1  
5 + 1  
[>simplify(%);  
4 5 2n (( 5 + 1)(−n) (-1)n − ( 5 − 1)(−n)  
)
{f(n) = −  
}
5
( 5 − 1) ( 5 + 1)  
ThÝ dô TÝnh sè h¹ng f(n) theo c«ng thøc truy håi  
n
2
f(n) = 3 f  
+ 5 n  
[>rsolve(f(n) = 3*f(n/2) + 5*n, f(n));  
ln(n)  
ln(2)  
+ 1  
  
ln(3)  
ln(3)  
f(1) nln(2) + nln(2) −15  
+ 10  
2
  
   
3
   
Muèn cã c«ng thøc t−êng minh cña biÓu thøc truy håi ta ph¶i lµm hai b−íc sau  
B−íc 1. G¸n tªn cho biÓu thøc truy håi  
18  
B−íc 2. T×m c«ng thøc tæng qu¸t b»ng lÖnh rsolve.  
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh  
f(n + 1) = 3 f(n) − 2 f(n − 1)  
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu  
f(1) = 2, f(2) = 3  
B−íc 1. G¸n tªn reqn(ph−¬ng tr×nh truy håi) cho biÓu thøc truy håi ®· cho  
[>reqn:=f(n+1)=3*f(n)-2*f(n-1);  
reqn := f(n + 1) = 3 f(n) − 2 f(n − 1)  
B−íc 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu f(1)=2,f(2)=3  
[>rsolve({reqn,f(1)=2,f(2)=3},f(n));  
1
2
2n + 1  
KÕt qu¶ tÝnh to¸n truy håi cã thÓ cho ta mét hµm ®Æc biÖt.  
y(n) = n y(n − 1) y(0) = 1  
ThÝ dô T×m y(n) , biÕt  
,
[>rsolve({y(n) = n*y(n-1), y(0)=1}, y);  
Γ(n + 1)  
Trong ®ã Γ(.) lµ hµm GAMMA ®· quen biÕt trong Gi¶i tÝch To¸n häc.  
Maple cã thÓ gi¶i ph−¬ng tr×nh truy håi phi tuyÕn.  
ThÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh truy håi  
y(n) y(n − 1) + y(n) − y(n − 1) = 0, y(0) = a  
[>rsolve({y(n)*y(n-1)+y(n)-y(n-1)=0,y(0)=a},y);  
a
1 + n a  
MAPLE còng cã thÓ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh truy håi.  
ThÝ dô Gi¶i hÖ  
y(n 1) f(n) 2(n + 1)  
n
+
+
=
+
f(n + 1) − y(n) = n − 2n + 3  
víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu  
y(k 1 ..5) 2k 1, f(5) 6  
=
=
−
=
;
19  
[>rsolve({y(n+1)+f(n)=2^(n+1)+n,f(n+1)-y(n)=n-2^n+3,  
y(k=1..5)=2^k-1,f(5)=6},{y, f});  
{y(n) = 2n − 1, f(n) = n + 1}  
2.1.2. TÝnh to¸n víi c¸c sè thËp ph©n  
VÒ ®é chÝnh x¸c cña c¸c phÐp tÝnh sè häc  
B¹n cã thÓ thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n sè häc trªn c¸c sè thËp ph©n (víi dÊu phÈy  
®éng) víi ®é chÝnh x¸c theo ý muèn. Trong thùc tÕ, MAPLE cã thÓ xö lý c¸c sè víi  
hµng tr¨m ngh×n ch÷ sè.  
Muèn tÝnh gi¸ trÞ cña ®¹i l−îng P chÝnh x¸c tíi m con sè, ta sö dông lÖnh  
evalf(P,m).  
ThÝ dô Ta h·y tÝnh sè Pi chÝnh x¸c ®Õn 500 ch÷ sè thËp ph©n  
[>evalf(Pi,500);  
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944  
5923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470  
9384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964  
4622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271  
2019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245  
8700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133  
0530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186  
1173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279  
381830119491  
Muèn tÝnh sè e ta h·y l−u ý r»ng Maple coi nã lµ gi¸ trÞ cña hµm sè mò exp(x)  
t¹i ®iÓm x=1.  
ThÝ dô TÝnh sè e víi ®é chÝnh x¸c lµ 40 ch÷ sè  
[>evalf(exp(1.0),40);  
2.718281828459045235360287471352662497757  
Maple hiÓu vµ lµm viÖc trªn tÊt c¶ c¸c hµm ®Æc biÖt mµ chóng ta cã trong gi¸o tr×nh  
gi¶i tÝch.  
ThÝ dô TÝnh gi¸ trÞ cña hµm Gamma t¹i ®iÓm 2.5,  
[>evalf(GAMMA(2.5));  
1.329340388  
Chó ý Ch÷ GAMMA trong dßng lÖnh lµ tªn riªng chØ hµm sè ga-ma (®· biÕt trong  
ch−¬ng tr×nh gi¶i tÝch) nªn ph¶i viÕt hoa theo ®óng tªn qui ®Þnh cña hµm sè nµy.  
20  
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè häc  
TÝnh chÝnh x¸c c¸c phÐp to¸n sè häc lµ kh¶ n¨ng m¹nh cã tÝnh nguyªn t¾c cña  
MAPLE.  
C¸c phÐp chia vµ khai c¨n trong tÝnh to¸n kh«ng bÞ ®æi sang c¸c ph©n sè thËp  
ph©n (gÇn ®óng) t−¬ng ®−¬ng. Kh¶ n¨ng nµy cho phÐp tr¸nh ®−îc sai sè khi lµm  
trßn.  
230  
320  
3
ThÝ dô BiÓu thøc  
kh«ng bÞ ®æi sang sè thËp ph©n mµ vÉn gi÷ nguyªn gi¸  
trÞ ®óng cña nã:  
[>(2^30/3^20)*sqrt(3);  
1073741824  
3486784401  
3
Tuy nhiªn, MAPLE cã ®Çy ®ñ kh¶ n¨ng cung cÊp gi¸ trÞ xÊp xØ cña biÓu thøc nµy  
d−íi d¹ng sè thËp ph©n víi dÊu chÊm ®éng (víi ®é chÝnh x¸c tuú ý ta chän, mÆc  
®Þnh lµ 10 ch÷ sè thËp ph©n). Muèn lµm ®iÒu nµy ta dïng lÖnh lÖnh evalf(.)  
(®¸nh gi¸ biÓu thøc trªn ®©y), cô thÓ lµ:  
[>evalf(%);  
.5333783739  
Trong ®ã (%) lµ kÝ hiÖu “biÓu thøc tr−íc ®ã”, mµ trong c¸c phiªn b¶n Maple tõ  
R4 trë vÒ tr−íc th−êng ®−îc k hiÖu lµ (“).  
TÝnh tæng cña h÷u h¹n vµ cña v« h¹n c¸c sè h¹ng  
1.Bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n  
Ta sÏ tiÕn hµnh c¸c b−íc sau:  
B−íc 1. LÊy dÊu nh¾c "[>" (b»ng viÖc vµo chøc n¨ng Insert/Execution  
group/After cursor) råi ®−a vµo dßng lÖnh cã có ph¸p nh− sau:  
[>Sum(f(i),i=m..n);  
Trong ®ã, Sum lµ viÕt t¾t cña tæng, f(i)lµ sè h¹ng thø i cña tæng, i=m..n cã  
nghÜa lµ i ch¹y tõ m ®Õn n. Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh nµy, m¸y sÏ cho ta c«ng  
thøc biÓu diÔn tæng cÇn tÝnh.  
B−íc 2. Muèn tÝnh gi¸ trÞ cña tæng, l¹i lÊy dÊu nh¾c míi " [>" vµ ®−a vµo lÖnh  
[>value(%);  
NghÜa lµ "gi¸ trÞ cña biÓu thøc (tæng) trªn ®©y". Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh, trªn  
mµn h×nh sÏ hiÖn gi¸ trÞ tæng cÇn tÝnh.  
21  
10  
1+ i  
ThÝ dô Muèn tÝnh tæng  
, b¹n h·y vµo hai lÖnh sau vµ Ên "Enter", m¸y sÏ  
∑
i=1 1+ i4  
cho ngay kÕt qu¶ :  
[>Sum((1+i)/(1+i^4),i = 1 .. 10);  
10  
1 i  
+
+
∑
1 i4  
i = 1  
[>value(%);  
51508056727594732913722  
40626648938819200088497  
2. TÝnh tæng v« h¹n  
Thao t¸c gièng hÖt nh− trªn, chç kh¸c duy nhÊt lµ thay chØ sè n b»ng ch÷  
infinity (v« h¹n).  
∞
1
ThÝ dô Muèn tÝnh tæng v« h¹n  
ta còng sö dông hai lÖnh sau ®©y:  
∑
k =1 k2  
[>Sum( 1/(k^2),k = 1 .. infinity);  
∞
1
∑
k2  
k = 1  
[>value(%);  
1
6
π2  
Chó ý Muèn cã kÕt qu¶ nhanh, b¹n thay ch÷ S(hoa) trong ch÷ "Sum" b»ng ch÷ s  
th−êng, m¸y sÏ ®−a ta ®Õn th¼ng ®¸p sè (bá qua c«ng ®o¹n biÓu diÔn c«ng thøc) .  
[>sum( 1/(k^2),k = 1..infinity);  
1
6
π2  
Chó ý Bµi to¸n 2 chÝnh lµ bµi to¸n tÝnh tæng cña chuçi, mét bµi to¸n khã trong gi¶i  
tÝch to¸n häc vµ ta sÏ cã dÞp thùc hµnh kü h¬n trong phÇn tÝnh to¸n thùc hµnh víi bé  
m«n Gi¶i tÝch.  
TÝnh tÝch cña h÷u h¹n hoÆc v« h¹n thõa sè  
Thao t¸c gièng hÖt phÇn trªn, chØ thay ch÷ "Sum" (tæng) b»ng ch÷  
"Product" (tÝch).  
22  
i2 + 3i −11  
i + 3  
10  
ThÝ dô Muèn tÝnh tÝch  
ta vµo hai lÖnh sau vµ Ên "Enter", m¸y sÏ cho  
∏
i= 0  
biÓu thøc cña tÝch cÇn tÝnh vµ ®¸p sè.  
[>Product((i^2+3*i-11)/(i+3),i=0..10) ;  
10  
i2 +3i −11  
∏
i +3  
i = 0  
[>value(%);  
-7781706512657  
40435200  
∞
1
n
ThÝ dô Muèn tÝnh nhanh tÝch  
1−  
ta vµo lÖnh sau (dïng "product" thay cho  
∏
2   
n= 2   
"Product") vµ Ên "Enter", m¸y sÏ cho ngay ®¸p sè (bá qua c«ng ®o¹n biÓu diÔn  
b»ng c«ng thøc),  
[>product((1-1/n^2),n=2..infinity) ;  
1
2
NhËn xÐt: TÝch v« h¹n liªn quan mËt thiÕt víi tæng v« h¹n vµ cã nhiÒu c«ng thøc  
thó vÞ. Dïng MAPLE, b¹n cã thÓ dÔ dµng tÝnh ®−îc c¸c tÝch ®ã.  
∞
1
4 n  
ThÝ dô (C«ng thøc Euler ) TÝnh  
1 −  
∏
n = 1   
2   
[>product(1-1/(4*n^2),n = 1 .. infinity) ;  
2
π
2.1.3. TÝnh to¸n víi sè phøc  
MAPLE cho phÐp thùc hiÖn tÝnh to¸n víi sè phøc. Ch÷ I (hoa) ®−îc dïng  
lµm ký hiÖu chØ ®¬n vÞ ¶o.  
3 + 5 I  
ThÝ dô TÝnh  
7 + 4 I  
[>(3+5*I)/(7+4*I);  
41 23  
+
I
65 65  
23  
B»ng lÖnh "biÕn ®æi f vÒ d¹ng to¹ ®é cùc" convert(f,polar) b¹n cã thÓ dÔ  
dµng biÕn ®æi sè phøc f vÒ d¹ng to¹ ®é cùc (r,θ), trong ®ã r lµ m«®un vµ θ lµ  
argumen cña sè phøc trong biÓu thøc.  
[>convert((3+5*I)/(7+4*I),polar);  
1
65  
23  
41  
  
  
polar  
2210, arctan  
  
  
2.1.4. TÝnh to¸n theo Modul  
C¸c tÝnh to¸n Modul th«ng th−êng  
TÝnh modul m trªn tËp sè nguyªn  
LÖnh : e mod m víi c¸c d¹ng riªng:  
modp(e,m)- lÊy biÓu diÔn d−¬ng cña etheo modul m (trong tËp gi¸ trÞ tõ 0  
®Õn) m −1;  
mods(e,m)  
(trong tËp gi¸ trÞ tõ [  
Trong ®ã:  
-
lÊy biÓu diÔn ®èi xøng cña  
e
theo modul  
m
m
m −1  
] ®Õn [  
] )  
2
2
e - biÓu thøc ®¹i sè  
m - sè nguyªn kh¸c 0  
To¸n tö modtÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc e trªn tËp sè nguyªn modul m. Nã hîp  
nhÊt viÖc tÝnh to¸n trªn tr−êng sè h÷u h¹n vµ c¸c phÐp tÝnh sè häc ®èi víi ®a thøc,  
ma trËn trªn tr−êng h÷u h¹n, kÓ c¶ phÐp ph©n tÝch ra thõa sè.  
ViÖc Ên ®Þnh modp hay mods ®−îc thùc hiÖn th«ng qua biÕn m«i tr−êng  
`mod`(gi¸ trÞ modp ®−îc xem lµ mÆc ®Þnh).  
Khi tÝnh qn mod m , trong ®ã  
lµ sè nguyªn, th× kh«ng nªn sö dông có  
q
ph¸p 'hiÓn nhiªn' nh− q^nmodm, bëi v× phÐp luü thõa sÏ chuyÓn sè thø nhÊt thµnh  
sè nguyªn (cã thÓ lµ rÊt lín) tr−íc khi rót gän theo modul m. Thay vµo ®ã, nªn  
dïng to¸n tö tr¬ (inert) &^, nghÜa lµ q&^n mod m. Trong d¹ng ®ã, luü thõa sÏ  
®−îc biÕn ®æi khÐo lÐo theo phÐp lÊy mod. T−¬ng tù Powmod(a,n,b,x) mod m tÝnh  
Rem(a^n,b,x) mod m ( a vµ b lµ nh÷ng ®a thøc cña x) kh«ng cÇn tÝnh a^n mod m.  
Nh÷ng phÐp to¸n modul sè häc kh¸c ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng tù nhiªn cña  
chóng.  
i+j mod m;  
i-j mod m;  
i*j mod m;  
j^(-1) mod m;  
i/j mod m;  
Trong ®ã i/j mod m ®−îc hiÓu lµ i*j^(-1)(modul m).  
ThÝ dô TÝnh  
24  
[>12 mod 7;  
5
5
[>modp(12,7);  
[>mods(12,7);  
[>5*3 mod 7;  
-2  
1
[>11+5*3 mod 7;  
5
3
3
5
9
[>(11+5*3)^(-1) mod 7;  
[>1/(11+5*3) mod 7;  
[>1/3 mod 7;  
[>5&^1000 mod 23;  
Khi biÓu thøc e kh«ng ph¶i lµ mét sè, mµ lµ mét ®a thøc th× phÐp lÊy modul cña  
nã ®−îc hiÓu lµ phÐp lÊy modul cña tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña ®a thøc.  
ThÝ dô TÝnh  
[>a := 15*x^2+4*x-3 mod 11;  
a := 4 x2 + 4 x − 3  
Nh− ®· nãi, theo mÆc ®Þnh th× phÐp lÊy modul lu«n sö dông biÓu diÔn d−¬ng  
(modp). Muèn chuyÓn sang dïng biÓu diÔn ®èi xøng th× ta dïng lÖnh  
[>`mod` := mods:  
[>b := 3*x^2+8*x+9 mod 11;  
25  
b := 3 x2 − 3 x − 2  
vµ lÖnh nµy chØ cã hiÖu lùc trong côm xö lý cã nã tham gia mµ th«i. ThËt vËy:  
[>3*x^2+8*x+9 mod 11;  
3 x2 + 8 x + 9  
C¸c phÐp to¸n kh¸c: t×m −íc sè chung lín nhÊt, ph©n tÝch ra thõa sè (víi c¶ sè  
vµ ®a thøc),... còng ®−îc thùc hiÖn theo ph−¬ng thøc th«ng th−êng (ngo¹i trõ mét  
kh¸c biÖt nhá lµ c¸c lÖnh trong phÐp tÝnh víi modul ®−îc b¾t ®Çu víi ch÷ hoa). Mét  
®iÒu dÔ nhËn ra lµ kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh theo modul lu«n "kh¸c th−êng". ThÝ dô:  
[>gcd(a,b);  
1
[>Gcd(a,b) mod 11;  
x + 5  
[>factor(x^3+2);  
x3 + 2  
[>Factor(x^3+2) mod 5;  
(x2 + 2 x − 1) (x − 2)  
[>Expand(%) mod 5;  
x3 + 2  
Gi¶i ph−¬ng tr×nh víi Modul  
LÖnh : msolve - gi¶i ph−¬ng tr×nh trong Z theo mod m  
Có ph¸p: msolve(eqns,vars,q)hoÆc msolve(eqns,q)  
Tham sè: eqns - tËp c¸c ph−¬ng tr×nh (hoÆc mét ph−¬ng tr×nh)  
vars - tËp c¸c tªn biÕn  
q
- sè nguyªn  
LÖnh msolve gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh eqns trªn c¸c sè nguyªn (theo mod q).  
Nã gi¶i theo mäi Èn bÊt ®Þnh cã trong c¸c ph−¬ng tr×nh.  
NÕu nghiÖm lµ v« ®Þnh, th× hä c¸c nghiÖm ®−îc biÓu thÞ th«ng qua c¸c biÕn cã  
tªn ®−îc cho trong tËp tªn biÕn vars , vµ nÕu nh− vars bÞ bá qua th× ®−îc thay thÕ  
26  
b»ng c¸c tªn mÆc ®Þnh toµn côc _NN1, _NN2, _NN3,.. Nh÷ng tªn nµy kh«ng  
trïng víi c¸c Èn v« ®Þnh vµ ®−îc phÐp lÊy mäi gi¸ trÞ nguyªn.  
ThÝ dô  
[>msolve({3*x-4*y=1,7*x+y=2},19);  
{x = 15, y = 11}  
[>msolve(2^i=3,z,19);  
{i = 13 + 18
z
}  
[>msolve(8^i=2,17);  
{i = 3 + 8 _NN1~ }  
[>msolve(8^i=2,u,17);  
{i = 3 + 8 u}  
[>msolve(sum(x[i],i=1..9),3 );  
x[3] = 2x[1]+2x[2]+2x[7]+2x[4]+2x[5]+2x[6]+2x[8]+2x[9], x[4] = x[4], x[5] =  
x[5], x[6] = x[6], x[7] = x[7], x[9] = x[9], x[1] = x[1], x[2] = x[2], x[8] = x[8]  
NÕu ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm trªn c¸c sè nguyªn (mod m) th× ta sÏ  
kh«ng nhËn ®−îc kÕt qu¶ nµo.  
ThÝ dô  
[>msolve(x^2=3,5);  
(Ph−¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm)  
2.1.5. Khai triÓn, ®¬n gi¶n vµ ph©n tÝch biÓu thøc ®¹i sè  
Khai triÓn biÓu thøc ®¹i sè  
MAPLE cã thÓ khai triÓn c¸c nhÞ thøc.  
(x + y)15  
ThÝ dô Khai triÓn nhÞ thøc  
. C«ng viÖc nµy ®−îc tiÕn hµnh nh− sau:  
B−íc 1. §−a vµo dßng lÖnh g¸n tªn cho biÓu thøc cÇn khai triÓn:  
[>expr:=(x+y)^15;  
Trong ®ã exprlµ viÕt t¾t cña ch÷ " biÓu thøc", dÊu ":= " thay cho ®Þnh nghÜa (v×  
vËy, dßng lÖnh trªn cã nghÜa nh− lµ : "biÓu thøc expr ®−îc ®Þnh nghÜa b»ng  
(x+y)^15 " ).  
Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh, m¸y hiÖn biÓu thøc mµ ta sÏ khai triÓn, tøc lµ  
27  
expr := (x + y)15  
B−íc 2. TiÕp tôc ®−a vµo lÖnh:  
[>expand(expr);  
(nghÜa lµ: " Khai triÓn biÓu thøc expr "). Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh m¸y hiÖn  
d¹ng khai triÓn cña biÓu thøc.  
x15 +15yx14 +105y2 x13 + 455y3 x12 +1365y4 x11 + 3003y5 x10 + 5005y6 x9  
+6435y7 x8 + 6345y8 x7 + 5005y9 x6 + 3003y10 x5 +1365y11x4 + 455y12 x3  
+105y13 x2 +15y14 x + y15  
Ph©n tÝch ra thõa sè  
PhÐp to¸n nµy thùc chÊt lµ ng−îc cña phÐp khai triÓn nãi trªn. B¹n cã thÓ dïng  
nã ®Ó kiÓm tra c¸c tÝnh to¸n ®· thùc hiÖn ë trªn. LÖnh ph©n tÝch mét ®a thøc ra thõa  
sè lµ factor(.). ThÝ dô, ta ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y ra thõa sè  
x4 − 10 x3 + 35 x2 − 50 x + 24  
b»ng lÖnh  
[>factor(x^4-10*x^3+35*x^2-50*x+24);  
(x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4)  
Chó ý §a thøc ®¹i sè lu«n ®−îc hiÓu lµ cã hÖ sè nguyªn, cho nªn m¸y chØ t×m  
nh÷ng thõa sè lµ ®a thøc nguyªn mµ th«i. Muèn t×m nh÷ng ®a thøc kh«ng nguyªn  
th× tèt nhÊt lµ dïng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Ó t×m nghiÖm. C¸c tÝnh to¸n nµy sÏ  
®−îc xem xÐt sau.  
PhÐp ®¬n gi¶n biÓu thøc  
B»ng lÖnh simplify(®¬n gi¶n ho¸) MAPLE cã thÓ ¸p dông c¸c ®ång nhÊt  
thøc ®Ó ®¬n gi¶n rÊt nhiÒu biÓu thøc to¸n häc cång kÒnh, thÝ dô c¸c biÓu thøc  
l−îng gi¸c  
ThÝ dô Muèn ®¬n gi¶n biÓu thøc l−îng gi¸c  
cos(x)5 + sin(x)4 + 2 cos(x)2 − 2 sin(x)2 − cos(2 x)  
ta dïng lÖnh:  
[>simplify(cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-  
cos(2*x));  
Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh m¸y hiÖn biÓu thøc ®· ®¬n gi¶n lµ  
cos(x)5 + cos(x)4  
.
28  
Tèi gi¶n ph©n thøc  
Tèi gi¶n ph©n thøc còng lµ ®−a nã vÒ d¹ng chuÈn t¾c (normal), tøc lµ gi¶n −íc  
c¸c thõa sè chung cña tö sè vµ mÉu sè. Muèn lµm viÖc nµy ta sö dông lÖnh  
normal. ThÝ dô, ta tèi gi¶n ph©n thøc  
x3 − y3  
x2 + x − y − y2  
b»ng lÖnh sau ®©y:  
[>normal((x^3-y^3)/(x^2+x-y-y^2));  
Sau khi cho thùc hiªn lÖnh lµ sÏ thÊy ngay kÕt qu¶  
x2 + y x + y2  
x + 1 + y  
G¸n tªn cho biÓu thøc vµ g¸n trÞ cho biÕn  
NÕu mét biÓu thøc cång kÒnh mµ ®−îc dïng ®i dïng l¹i nhiÒu lÇn th× tèt nhÊt  
lµ g¸n cho nã mét c¸i tªn, ®Ó mçi lÇn sö dông ®Õn nã ta kh«ng mÊt c«ng viÕt l¹i (vµ  
còng ®ì nhÇm lÉn). ThÝ dô, ta g¸n cho biÓu thøc (41x2 + x +1)2 (2x −1) c¸i tªn lµ  
expr1(biÓu thøc 1) b»ng lÖnh  
[>expr1:=(41*x^2+x+1)^2*(2*x-1);  
expr1 := (41 x2 + x + 1)2 (2 x − 1)  
vµ sau ®ã ta cã thÓ tho¶i m¸i tiÕn hµnh mäi phÐp to¸n trªn nã.  
ThÝ dô, ta cã thÓ khai triÓn nã b»ng lÖnh expand vµ, cïng mét lóc, l¹i cã thÓ  
g¸n cho biÓu thøc kÕt qu¶ mét c¸i tªn kh¸c, thÝ dô nh− lµ expr2(biÓu thøc 2), víi  
lÖnh:  
[>expr2:=expand(expr1);  
expr2 := 3362
x
5 − 1517
x
4 + 84
x
3 − 79
x
2 − 1  
vµ cã thÓ thiÕt lËp ph©n thøc víi tö sè lµ mét ®a thøc nµo ®ã (thÝ dô : x2 + x +1vµ  
mÉu sè lµ biÓu thøc trªn, víi lÖnh:  
[>phanthuc:=(x^2+x+1)/expr2;  
x2 + x +1  
phanthuc :=  
3362x5 −1517x4 + 84x3 − 79x2 −1  
29  
Muèn g¸n mét gi¸ trÞ cho biÕn cña mét biÓu thøc ta dïng lÖnh subs(viÕt t¾t cña tõ  
substitution - thay thÕ), thÝ dô ta cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2 t¹i x = 1  
b»ng lÖnh g¸n cho biÕn 
x
gi¸ trÞ b»ng 1, cô thÓ lµ:  
[>subs (x=1, phanthuc);  
3
1849  
DÜ nhiªn, gi¸ trÞ ®−îc g¸n cho biÕn sè còng cã thÓ lµ mét biÓu thøc (vµ khi Êy ý  
nghÜa cña tõ "thay thÕ" cµng trë nªn s¸ng tá), thÝ dô  
[>subs(x=x+y,phanthuc);  
(x + y)2 + x + y + 1  
3362(x + y)5 − 1517(x + y)4 + 84 (x + y)3 − 79 (x + y)2 − 1  
ChuyÓn ®æi d¹ng cña biÓu thøc  
LÖnh convert(chuyÓn ®æi) cho phÐp ta ®−a c¸c biÓu thøc vÒ nh÷ng d¹ng ®Æc  
biÖt x¸c ®Þnh tr−íc.  
a x2 + b  
ThÝ dô, ta biÕn ®æi biÓu thøc  
vÒ d¹ng tæng c¸c ph©n thøc  
x (−3 x2 − x + 4)  
riªng (partial fractions) nhê c¸c lÖnh sau ®©y:  
Khai b¸o biÓu thøc  
[>my_expr:= (a*x^2+b)/(x*(-3*x^2-x+4));  
a x2 + b  
my_expr :=  
x (−3 x2 − x + 4)  
ChuyÓn ®æi biÓu thøc võa khai b¸o vÒ d¹ng tæng c¸c ph©n thøc riªng:  
[>convert(my_expr,parfrac,x);  
1 b 1 16 a + 9 b 1 a + b  
−
−
4 x 28 3 x + 4  
7 x − 1  
Ta còng cã thÓ biÓu diÔn hµm cot(x)qua d¹ng hµm sè mò (exp)  
[>convert(cot(x),exp);  
I ((e(I x ) )2 + 1)  
(e(I x ) )2 − 1  
30  
Tải về để xem bản đầy đủ
pdf 77 trang yennguyen 13/04/2022 3960
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Maple - Chương 2: Thực hành tính toán trên Maple", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_maple_chuong_2_thuc_hanh_tinh_toan_tren_maple.pdf