Ảnh 1-phủ-dãy của không gian có g-hàm sn-mạng
UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC
ẢNH 1-PHỦ-DÃY CỦA KHÔNG GIAN CÓ g-HÀM sn-MẠNG
Lương Quốc Tuyểna*, Nguyễn Thị Mỹ Hạnhb
Nhận bài:
17 – 04 – 2018
Chấp nhận đăng:
25 – 06 – 2018
Tó m tắt: Metric hó a khô ng gian topo là một trong những bài toá n trọng tâ m của topo đại cương. Năm
2007, Pengfei Yan, Shou Lin đã đưa ra một số điều kiện khả metric của khô ng gian topo có g-hàm cơ sở
yếu và đặc trưng của không gian đối xứng, khô ng gian g-khả metric, khô ng gian g-trải được thô ng qua
g-hàm cơ sở yếu (xem [3]). Gần đây Trần Văn Ân, Lương Quốc Tuyển đã giới thiệu khá i niệm g-hàm sn-
mạng. Nhờ đó, các tác giả đã đưa ra đặc trưng của khô ng gian snf-đếm được, khô ng gian sn-đối xứng,
khô ng gian sn-đối xứng Cauchy, khô ng gian sn-trải được, khô ng gian sn-khả metric thô ng qua g-hàm
sn-mạng (xem [2]). Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số bảo tồn của khô ng gian với g-hàm sn-
mạng với một số tí nh chất topo nào đó thông qua ánh xạ 1-phủ-dã y. Nhờ những kết quả này, chúng tô i
thu được bảo tồn của một số khô ng gian metric suy rộng.
Từ khóa: g-hàm sn-mạng; ánh xạ 1-phủ-dã y; khô ng gian snf-đếm được; không gian sn-đối xứng; không
gian sn-đối xứng Cauchy; không gian sn-trải được.
(1)
P
được gọi là lân cận dãy của
nếu với mọi
x
1. Giới thiệu
Năm 2007, Pengfei Yan, Shou Lin đã đưa ra một số
{x }
x,
dãy
hội tụ đến
tồn tại m¥ sao cho
n
{x}{xn : n m} P.
điều kiện khả metric của không gian topo với g-hàm cơ
sở yếu và đặc trưng của một số không gian metric suy
rộng thông qua g-hàm cơ sở yếu (xem [3]). Bên cạnh
đó, Iwao Yoshioka đã đưa ra bảo tồn của một số không
gian metric suy rộng thông qua ánh xạ đóng (xem [4]).
Gần đây, Trần Văn Ân, Lương Quốc Tuyển giới thiệu
khái niệm g-hàm sn-mạng và đã thu được đặc trưng của
một số không gian metric suy rộng thông qua g-hàm sn-
mạng (xem [2]). Trong bài báo này, chúng tôi nghiên
cứu bảo tồn của một số không gian với g-hàm sn-mạng
thông qua ánh xạ 1-phủ-dãy.
(2)
P
được gọi là mạng tại
nếu xP với mọi
x
x,
tồn tại PP
PP và với mọi lân cận mở
sao cho xP U.
U
của
2.1.2. Định nghĩa ([1]). Giả sử rằng
P = U{Px : x X}
là họ nào đó gồm các tập con của không gian topo
thỏa mãn các điều kiện sau.
X
P
(1) x là mạng tại
;
x
P , P P ,
P P
x sao cho
(2) Nếu
thì tồn tại
1
2
x
2.Cơ sở lí thuyết và phương pháp nghiên cứu
2.1. Cơ sở lí thuyết
P P P ;
1
2
2.1.1. Định nghĩa ([1]). Giả sử
các tập con của không gian topo
P
X,
là họ nào đó gồm
x X và PP.
P
(3) Mỗi phần tử của x là một lân cận dãy của
x.
Khi đó,
X,
Px
được
Khi đó,
P
được gọi là sn-mạng của
và mỗi
gọi là sn-mạng tại x.
2.1.3. Định nghĩa ([2]). Giả sử
topo. Khi đó, hàm
X
là một không gian
a,bTrường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
*
Tác giả liên hệ
Lương Quốc Tuyển
Email: [email protected]
16 | Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số 2 (2018), 16-20
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số 2 (2018) 16-20
X
g : ¥ X → P (X )
(n, x) a g(n, x)
(1)
được gọi là không gian snf-đếm được nếu
X
có sn-mạng P = U{Px : x X} sao cho mỗi Px là
đếm được.
(2)
có một g-hàm sn-mạng thỏa mãn tính chất
2.1.8. Định nghĩa ([1]). Giả sử rằng
được gọi là g-hàm sn-mạng trên
các điều kiện sau.
X
nếu nó thỏa mãn
X
được gọi là không gian sn-trải được nếu
(G).
X
(1) x g(n, x) với mọi
và
x X
n¥ .
X
là một không
(2) g(n +1, x) g(n, x) với mọi
n¥ .
d : X X → ¡
gian topo. Khi đó,
được gọi là một d-
(3) {g(n, x) : n¥ } là sn-mạng tại
2.1.4. Nhận xét ([2]). Giả sử rằng
x.
hàm trên nếu với mọi
X
ta có
x, y X,
là một g-hàm
g
(1) d(x, y) 0;
d(x, y) = 0 x = y.
d(x, y) = d(y, x).
sn-mạng trên không gian topo
Khi đó, ta đặt:
X.
(E)
x g(n, x)
n¥ ,
xn → x.
thì
Nếu
với mọi
n
(2)
(F) Nếu x g(n, xn ) với mọi n¥ , thì xn → x.
(wF) Nếu x g(n, xn ) với mọi n¥ , thì tồn tại
2.1.9. Định nghĩa ([1]). Giả sử
không gian topo X. Khi đó,
d
là một d-hàm trên
dãy con
của {xn} hội tụ đến
{x }
x.
(G) Nếu x, xn g(n, yn ) với mọi n¥ , thì
xn → x.
(H)
n¥ ,
ta đặt
nk
(1) Với mỗi x X và
Sn (x) = {y X : d(x, y) 1/ n}.
(2) Dãy {xn} X được gọi là d-Cauchy nếu với
xn → x
xn g(n, yn )
n¥ ,
với mọi
Nếu
y → x.
và
0,
k ¥
mọi
tồn tại
sao cho
với mọi m,n k.
được gọi là không gian sn-đối xứng nếu
{Sn (x) : n ¥ } là sn-mạng tại với mọi
thì
n
d(xn , xm )
2.1.5. Định nghĩa ([1]). Giả sử f : X → Y là một ánh
xạ từ không gian topo vào không gian topo Y. Ta
(3)
X
X
x
x X.
f
f
liên tục và với
nói rằng là ánh xạ 1-phủ-dãy nếu
mỗi y Y, tồn tại xy f −1(y) sao cho với mọi dãy
Y ,
{y } {x }
hội tụ đến
n
(4)
X
được gọi là không gian sn-đối xứng Cauchy
nếu nó là không gian sn-đối xứng và mỗi dãy hội tụ là
d-Cauchy.
hội tụ đến
y
trong
tồn tại dãy
với mọi n¥ .
n
2.2. Phương pháp nghiên cứu
f (x ) = y
trong
X
sao cho
xy
2.1.6. Nhận xét. Giả sử
dãy từ không gian topo
n
n
Chúng tôi dùng phương pháp nghiên cứu lí thuyết
trong quá trình viết bài báo. Sử dụng khái niệm và một
số kết quả của những tác giả đi trước, chúng tôi đưa ra
một số bảo tồn của không gian với g-hàm sn-mạng
thỏa mãn một số tính chất topo nào đó thông qua ánh
xạ 1-phủ-dãy. Nhờ đó, chúng tôi đưa ra được bảo tồn
của một số không gian metric suy rộng qua ánh xạ 1-
phủ-dãy.
f : X → Y
là ánh xạ 1-phủ-
X
vào không gian topo
Y ,
và
g : ¥ X → P (X )
(n, x) a g(n, x)
là một g-hàm sn-mạng trên X. Khi đó, với mỗi y Y,
tồn tại xy f −1(y) thỏa mãn Định nghĩa 2.1.5. Ta đặt
3. Kết quả và đánh giá
h : ¥ Y → P (Y)
3.1. Kết quả
(n, y) a h(n, y) = f g(n, xy ) .
f : X → Y
3.1.1 Định lí . Giả sử
là ánh xạ 1-phủ-dãy
X
2.1.7. Định nghĩa ([2]). Giả sử
là một không gian
X
Y ,
từ không gian topo
vào không gian topo
topo. Khi đó,
17
Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
g : ¥ X → P (X )
(n, x) a g(n, x)
yh(n, y) = f g(n, xy ) U.
Như vậy, tồn tại P = h(n, y)Py sao cho
yP U.
- Giả sử rằng
là một g-hàm sn-mạng trên
h : ¥ Y → P (Y)
X
và
m,n ¥
Khi đó, tồn tại
P, QPy.
(n, y) a h(n, y) = f g(n, xy ) .
sao cho
Khi đó, các khẳng định sau là đúng.
P = h(m, y), Q = h(n, y).
Bây giờ, nếu ta đặt
X,
h
là g-
(1) Nếu
là g-hàm sn-mạng trên
thì
g
hàm sn-mạng trên
Y.
thỏa mãn thêm một trong các tính chất
k = max{m,n}, R = h(k, y),
RPy , R PQ.
(2) Nếu
g
thì ta thu được
(E), (F), (wF), (G), thì
h
cũng vậy.
là g-hàm sn-mạng trên X.
Ta chứng minh là g-hàm sn-mạng trên Thật vậy,
Chứng minh. (1) Giả sử
g
-
h(n, y) là một lân cận dãy của với mọi
y
n¥ .
h
Y.
{yk }
Giả sử n¥ và
là dãy hội tụ đến trong
y
y h(n, y)
(1.1)
với mọi
n¥ .
f
Y. Khi đó, vì
là ánh xạ 1-phủ-dãy nên tồn tại dãy
xy f −1(y)
nên
{xk }
mọi
X
f (xk ) = yk
với
hội tụ đến
trong
sao cho
xy
n¥ ,
Giả sử
khi đó vì
k ¥ .
Mặt khác, vì g(n, xy ) là lân cận dãy tại
xy
y = f (xy ) f g(n, xy ) = h(n, y).
nên tồn tại m¥ sao cho
{xy}{xk :k m} g(n, xy ).
Điều này suy ra rằng
{y}{yk : k m} = f {xy}{xk : k m}
h(n +1, y) h(n, y)
(1.2)
với mọi n¥ .
n¥ ,
Giả sử
khi đó vì g là một g-hàm sn-mạng
trên
X
nên
g(n+1, xy ) g(n, xy ) với mọi n¥ .
Điều này suy ra rằng
f g(n, xy ) = h(n, y).
h(n, y)
Như vậy,
n¥ .
là một lân cận dãy của
y
với mọi
h(n +1, y) = f g(n +1, xy )
f g(n, xy ) = h(n, y).
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng
là một sn-
Py
(1.3) Py ={h(n, y): n¥} là một sn-mạng tại
y
mạng tại
y
với mọi yY.
với mọi yY.
Giả sử rằng yY. Khi đó,
Py là mạng tại y.
h
Do đó, từ (1.1), (1.2) và (1.3) ta suy ra
hàm sn-mạng trên Y.
là một g-
(2) Giả sử rằng
g
thỏa mãn thêm một trong các tính
Khi đó,
thỏa mãn tính chất
-
(E), (F), (wF), (G).
chất
y h(n, y)
Trước tiên, nhờ (1.1) ta suy ra rằng
với
(E).
Ta chứng
(2.1) Giả sử
g
mọi n¥ .Bây giờ, giả sử là lân cận mở của
U
y
f −1(U)
h
(E).
minh thỏa mãn tính chất
f
trong Y. Khi đó, vì là ánh xạ liên tục nên
là
yn h(n, y)
Thật vậy, giả sử rằng
Khi đó, vì
với mọi n¥ .
lân cận mở của xy trong X. Mặt khác, bởi vì
g
là g-
hàm sn-mạng trên
xy g(n, xy ) f −1(U).
Điều này suy ra
X
nên tồn tại n¥ sao cho
h(n, y) = f g(n, xy ) với mọi n¥
18
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 8, số 2 (2018) 16-20
n¥ ,
(2.4) Giả sử
thỏa mãn tính chất (G). Ta chứng
g
nên ta suy ra rằng với mỗi
tồn tại
xn g(n, xy )
h
(G).
minh thỏa mãn tính chất
sao cho
f (xn ) = yn với mọi
n¥ .
z, zn h(n, yn )
Thật vậy, giả sử
Khi đó, bởi vì
với mọi
n¥ .
Mặt khác, vì
thỏa mãn tính chất (E) nên dãy
g
{xn} hội tụ đến
trong
Hơn nữa, vì
X.
f
là ánh xạ
Do đó,
Y.
xy
z, zn h(n, yn ) = f g(n, xy )
n
liên tục nên { f (xn )} hội tụ đến
trong
f (xy )
n¥ ,
x, xn X
sao cho
nên với mỗi
tồn tại
dãy {yn} hội tụ đến
tính chất (E).
trong
Như vậy,
Y.
h
thỏa mãn
y
x, xn g(n, xy ), f (x) = z, f (xn ) = zn.
n
Mặt khác, vì
là g-hàm sn-mạng trên
X
thỏa
g
(F).
g
thỏa mãn tính chất
(2.2) Giả sử
Ta chứng
mãn tính chất (G) nên dãy {xn} hội tụ đến trong X.
x
h
(F).
minh thỏa mãn tính chất
Hơn nữa, vì
f
là ánh xạ liên tục nên dãy {zn} hội tụ
(G).
là một không gian topo.
Thật vậy, giả sử rằng
h
đến trong Y. Như vậy, thỏa mãn tính chất
z
y h(n, yn )
với mọi n¥ .
3.1.2. Bổ đề ([1]). Giả sử
Khi đó,
X
n¥ ,
Khi đó, với mỗi
tồn tại
sao cho
xy , x X
n
(1)
X
là không gian snf-đếm được khi và chỉ khi
(E).
n¥ ,
với mọi
ta có
nó có g-hàm sn-mạng thỏa mãn tính chất
f (x) = y, và
f (xy ) = yn,
xg(n, xy ).
n
n
(2) là không gian sn-đối xứng khi và chỉ khi nó
X
Bởi vì g thỏa mãn tính chất (F) nên dãy {xy } hội
n
(F).
có g-hàm sn-mạng thỏa mãn tính chất
f
là ánh xạ liên tục
tụ đến
trong X. Mặt khác, vì
x
(3) là không gian sn-trải được khi và chỉ khi nó
X
f (x)
nên ta suy ra {f (xy )} là dãy hội tụ đến
trong Y.
là không gian sn-đối xứng Cauchy.
n
{yn}
h
Sử dụng Định lí 3.1.1 và Bổ đề 3.1.2 ta thu được hệ
quả sau.
Do đó, dãy
thỏa mãn tính chất
(2.3) Giả sử
hội tụ đến
(F).
y
trong Y. Như vậy,
f : X → Y
3.1.3. Hệ quả. Giả sử rằng
là ánh xạ 1-
(wF).
g
thỏa mãn tính chất
(wF).
Ta chứng
phủ-dãy từ không gian topo
X
vào không gian topo Y.
h
minh thỏa mãn tính chất
Khi đó,
y h(n, yn )
Thật vậy, giả sử
với mọi n¥ . Khi
tồn tại xy , x X sao cho với mọi
(1) Nếu
cũng vậy.
là không gian snf-đếm được, thì
X Y
n¥ ,
đó, với mỗi
n¥ ,
n
(2) Nếu
X
là không gian sn-đối xứng, thì
Y
cũng vậy.
ta có
f (xy ) = yn
(3) Nếu
X
là không gian sn-đối xứng Cauchy, thì
f (x) = y
,
và xg(n, xy ).
n
n
Y
cũng vậy.
(wF)
Bởi vì
con {xy
g
thỏa mãn tính chất
nên tồn tại dãy
(4) Nếu
là không gian sn-trải được, thì cũng vậy.
X Y
}
của dãy {xy } hội tụ đến
trong X. Mặt
x
3.2. Đánh giá
n
n
k
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu một số
tính chất topo được bảo tồn qua ánh xạ 1-phủ-dãy. Nhờ
đó, chúng tôi đã đưa ra một số kết quả mới được thể
hiện ở Định lí 3.1.1 và Hệ quả 3.1.3.
f
{f (xy )}
n
k
khác, vì là ánh xạ liên tục nên
hội tụ đến
f (x)
trong Y. Do đó, tồn tại dãy con {yn }của
k
{y }
h
hội tụ đến
y
trong Y. Điều này chứng tỏ rằng
(wF).
n
thỏa mãn tính chất
4.Kết luận
19
Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
Chúng tôi chứng minh không gian với g-hàm sn-
mạng thỏa mãn một số tính chất topo được bảo tồn qua
ánh xạ 1-phủ-dãy. Nhờ đó, chúng tôi chứng minh được
rằng không gian sn-trải được, snf-đếm được, sn-đối
xứng, sn-đối xứng Cauchy được bảo tồn qua ánh xạ 1-
phủ-dãy.
[1] An, T.V., and Tuyen, L.Q. (2018). Cauchy sn-
symmetric spaces with a cs-network (cs*- network)
having property σ-(P). Topology Proc. 51, 61-75.
[2] An, T.V., and Tuyen, L.Q. (2018). Spaces with sn-
network g-functions. Topology Proc.. Accepted.
[3] Yan, P., and Lin, S. (2007). CWC-mappings and
metrization theorems. Adv. Math.. 36 (2), 153-158.
[4] Yoshioka, I. (2007). Closed images of spaces
having g-functions. Topology Appl. 154, 1980-1992.
Tài liệu tham khảo
1-SEQUENCE-COVERING IMAGES OF SPACES HAVING
sn-NETWORK g-FUNCTIONS
Abstract: Metrizability of topology space is one of the central problems in general topology. In 2007, Pengfei Yan, Shou Lin
gave some condition about metrizability of topology space having weak base g-functions and characterization of symmetric spaces,
g-metrizable spaces, g-developable spaces by weak base g-functions (see [3]). Recently, Tran Van An, Luong Quoc Tuyen has
introduced the concept of sn-network g-functions. Then, the authors have given a characterization of snf-countable spaces, sn-
symmetric spaces, Cauchy sn-symmetric spaces, sn-developable spaces, sn-metrizable spaces by sn-network g-functions (see [2]).
In this paper, we will give some preservations of spaces having sn-network g-functions with some topological property by 1-
sequence-covering. Using this results, we get preservations of some generalized metric spaces.
Key words: sn-network g-functions; 1-sequence-covering maps; snf-countable spaces; sn-symmetric spaces; Cauchy sn-
symmetric spaces; sn-developable spaces.
20
5 trang
21320
Free
Bạn đang xem tài liệu "Ảnh 1-phủ-dãy của không gian có g-hàm sn-mạng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- anh_1_phu_day_cua_khong_gian_co_g_ham_sn_mang.pdf
