Bài giảng Maple - Chương 5: Sử dụng Maple trong dạy và học toán

Ch−¬ng 5

Sö dông Maple

trong d¹y vµ häc to¸n

Ch−¬ng 5....................................................................................................183

Sö dông Maple trong d¹y vµ häc to¸n.................................................183

5.1. NhËn xÐt chung.................................................................................... 183

5.1.1. PhÇn mÒm to¸n häc vµ vai trß cña ng−êi thÇy...............................................184

5.1.2. Maple ch−a ph¶i ®· s½n sµng cho mäi viÖc...................................................184

5.1.3. Maple ®· s½n sµng cho nhiÒu viÖc.................................................................185

5.2. Mét sè øng dông trùc tiÕp ................................................................... 185

5.2.1. Maple lµ c«ng cô minh häa hoµn h¶o ...........................................................185

5.2.2. Maple gì bá sù huyÒn bÝ cho mét sè chñ ®Ò.................................................188

5.2.3. Maple hç trî gi¶ng d¹y c¸c chñ ®Ò khã ........................................................196

5.2.5. PhÇn mÒm hç trî kh¶ n¨ng thu gän ch−¬ng tr×nh mét c¸ch hîp lý ...................208

5.3. ThiÕt lËp nh÷ng kh¶ n¨ng míi .............................................................. 209

5.3.1. Chñ ®Ò ®a gi¸c trong h×nh häc ph¼ng...............................................................210

5.3.2. Bµi to¸n quü tÝch trong h×nh häc ph¼ng ...........................................................211

5.4. KÕt luËn.................................................................................................. 213

Tµi liÖu dÉn.................................................................................................215

183

5.1. NhËn xÐt chung

5.1.1. PhÇn mÒm to¸n häc vµ vai trß cña ng−êi thÇy

Mét sè ng−êi Ýt tiÕp xóc víi m¸y tÝnh th−êng t−ëng r»ng m¸y tÝnh vµo nhµ

tr−êng sÏ lµm cho häc sinh l−êi häc to¸n vµ lµm cho c¸c thÇy d¹y to¸n "mÊt

thiªng". NÕu quan niÖm r»ng "häc to¸n lµ ®Ó lµm bµi tËp, cßn d¹y to¸n lµ d¹y c¸ch

lµm bµi tËp" th× ®óng nh− vËy. Trªn thùc tÕ, m¸y tÝnh sÏ lµm cho c¸c mÑo mùc, tiÓu

x¶o gi¶i bµi tËp trë thµnh "tÇm th−êng". Tr×nh ®é to¸n häc cña mçi ng−êi sÏ ®−îc

thÓ hiÖn (®¸nh gi¸) b»ng khèi l−îng kiÕn thøc c¬ b¶n vµ kh¶ n¨ng xö lý c¸c bµi

to¸n thùc tiÔn (mµ kh«ng qua mÑo mùc lµm bµi tËp, nh− l©u nay ng−êi ta vÉn lÇm

t−ëng). §iÒu nµy tÊt yÕu ®−a ®Õn ®Þnh h−íng viÖc d¹y vµ häc vµo nh÷ng kiÕn thøc

To¸n häc c¬ b¶n vµ, theo ®Þnh h−íng nµy, vai trß ng−êi thÇy sÏ ®−îc n©ng cao lªn

®óng tÇm cña m×nh: ng−êi thÇy cña sù nghiÖp truyÒn b¸ “v¨n ho¸ to¸n häc”, chø

kh«ng ph¶i lµ "thî ch÷a bµi tËp".

Kh«ng Ýt ng−êi vÉn cã ¶o t−ëng vÒ nh÷ng phÇn mÒm cã thÓ thay thÕ ng−êi thÇy

trong gi¶ng d¹y to¸n häc. Nh−ng cho ®Õn nay, víi c¸c kh¶ n¨ng tÝnh to¸n vµ biÓu

diÔn tuyÖt vêi, phÇn mÒm vµ m¸y tÝnh vÉn ch−a ®¸p øng ®−îc kú väng nµy. Ngo¹i

trõ mét sè chñ ®Ò s¬ ®¼ng ®−îc thÓ hiÖn b»ng nh÷ng phÇn mÒm d¹ng "häc mµ ch¬i

- ch¬i mµ häc", viÖc gi¶ng d¹y nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cña To¸n häc vÉn ®ßi hái

c«ng søc vµ tµi n¨ng s− ph¹m cña ng−êi thÇy, cßn m¸y tÝnh vµ phÇn mÒm chØ cã thÓ

lµ c«ng cô ®¾c lùc cho ng−êi thÇy ph¸t huy tµi n¨ng ®ã.

Ngµy nay, trong nhµ tr−êng (kÓ c¶ c¸c tr−êng phæ th«ng ë n«ng th«n), m¸y

tÝnh kh«ng cßn lµ xa l¹, nh−ng viÖc ®Ó cho m¸y tÝnh ®iÖn tö (cïng c¸c phÇn mÒm)

thùc sù trë thµnh c«ng cô cho viÖc gi¶ng d¹y cña thÇy vµ häc tËp cña trß vÉn cßn

gÆp kh«ng Ýt khã kh¨n, v−íng m¾c. Cã nhiÒu nguyªn nh©n dÉn ®Õn t×nh tr¹ng nµy,

nh−ng lý do c¬ b¶n lµ thiÕu nh÷ng phÇn mÒm vµ ph−¬ng ph¸p thiÕt thùc phï hîp

víi ®èi t−îng vµ néi dung ch−¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa hiÖn hµnh ë n−íc ta. Khi

kh«ng cßn ¶o t−ëng r»ng phÇn mÒm cã thÓ lµm nªn tÊt c¶, ng−êi ta sÏ thÊy r»ng

mét trong nh÷ng vÊn ®Ò cÇn ph¶i ®Æt ra mét c¸ch nghiªm tóc lµ: Kh«ng thÓ chØ biÕt

sö dông nh÷ng g× cã s½n, mµ cßn ph¶i biÕt gia c«ng c¸c ch−¬ng tr×nh hiÖn cã,

h−íng chóng vµo viÖc phôc vô cho néi dung, ph−¬ng ph¸p gi¶ng d¹y cña m×nh, vµ

chØ cã nh− thÕ ng−êi thÇy míi ph¸t huy ®−îc c¸c −u thÕ së tr−êng cña m×nh.

Nh− vËy, víi phÇn mÒm vµ m¸y tÝnh, ng−êi gi¸o viªn ch¼ng nh÷ng kh«ng ®−îc

phÐp û l¹i mét c¸ch thô ®éng vµo nh÷ng g× cã s½n, mµ ph¶i chñ ®éng ph¸t huy tèi

®a kh¶ n¨ng s¸ng t¹o cña m×nh. Qua ®ã, vai trß cña ng−êi thÇy kh«ng hÒ bÞ m¸y

mãc lÊn l−ít, mµ ®−îc n©ng lªn tÇm cao h¬n: Ng−êi thÇy cña sù s¸ng t¹o trong thêi

®¹i c«ng nghÖ míi, mµ kh«ng ph¶i cña sù nhåi nhÐt c¸c lo¹i tiÓu x¶o th«ng th−êng.

5.1.2. Maple ch−a ph¶i ®· s½n sµng cho mäi viÖc

HiÖn nay, cã kh«ng Ýt phÇn mÒm To¸n häc chuyªn dông cã kh¶ n¨ng hç trî

cho d¹y vµ häc to¸n. Maple lµ mét trong nh÷ng vÝ dô ®iÓn h×nh. Ta ®· thÊy nã lµ bé

ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n v¹n n¨ng, ®Ò cËp ®Õn hÇu hÕt mäi lÜnh vùc cña to¸n häc. C¸i

m¹nh cña nã chÝnh lµ ë chç mäi bé m«n ®Òu cã thÓ sö dông nã lµm ph−¬ng tiÖn

184

gi¶ng d¹y vµ häc tËp. ThÇy vµ trß sÏ dÔ dµng c¶m nhËn ®−îc tÝnh nhÊt qu¸n to¸n

häc xuyªn suèt trong tÊt c¶ c¸c bé m«n (vµ trong tÊt c¶ c¸c cÊp häc). Nh−ng còng

chÝnh c¸c tÝnh v¹n n¨ng ®· kh«ng cho phÐp Maple ®Ò cËp ®Õn c¸c vÊn ®Ò chi tiÕt

trong tõng bé m«n, tõng cÊp häc,... mµ nhiÒu khi l¹i lµ kh«ng thÓ thiÕu trong c«ng

viÖc gi¶ng d¹y cña thÇy. NÕu nh− víi ®¹i sè, sè häc, gi¶i tÝch,v.v... Maple cã kh¸

®Çy ®ñ c«ng cô ®Ó gi¶ng d¹y vµ häc tËp (tõ phæ th«ng lªn ®¹i häc), th× trong h×nh

häc ph¼ng nã chØ ®−a ra nh÷ng c«ng cô mang tÝnh c¬ së, cßn xa míi ®¸p øng ®−îc

néi dung gi¶ng d¹y bé m«n h×nh häc ë n−íc ta.

Tuy nhiªn, Maple lµ mét hÖ thèng më, nã cho phÐp chóng ta t¹o lËp ®−îc

nh÷ng c«ng cô míi bæ sung cho nh÷ng g× nã ch−a ®Ò cËp tíi. Do vËy, ta cã thÓ lµm

phong phó h¬n gãi c«ng cô h×nh häc ph¼ng cña Maple, ®Ó nã cã thÓ ®¸p øng tèt

h¬n c«ng viÖc d¹y vµ häc bé m«n nµy theo ch−¬ng tr×nh ë n−íc ta. B»ng c¸ch nµy,

thÇy vµ trß cßn cã kh¶ n¨ng ®i xa h¬n nh÷ng g× ®Ò cËp trong ch−¬ng tr×nh hiÖn nay

mµ kh«ng gÆp khã kh¨n. Tãm l¹i, Maple kh«ng h¹n chÕ sù n¨ng ®éng s¸ng t¹o cña

thÇy vµ trß, mµ lu«n lu«n më ®−êng cho sù s¸ng t¹o nµy.

5.1.3. Maple ®· s½n sµng cho nhiÒu viÖc

Víi nh÷ng kh¶ n¨ng tÝnh to¸n vµ biÓu diÔn hiÖn cã, Maple ®· cã thÓ ®¸p øng

phÇn lín nhu cÇu hç trî cho gi¶ng d¹y vµ häc tËp cña c¶ thÇy lÉn trß. Tuy nhiªn,

còng nh− mäi c«ng cô lao ®éng kh¸c, Maple kh«ng thÓ tù nã lµm ra s¶n phÈm ®¸p

øng cho nhu cÇu nµy, mµ chØ cã ng−êi sö dông nã (tr−íc hÕt lµ ng−êi thÇy) míi cã

thÓ lµm ra nh÷ng s¶n phÈm ®ã. §Ó lµm ®−îc nh− vËy, ng−êi thÇy kh«ng chØ cÇn cã

nh÷ng hiÓu biÕt vÒ nh÷ng tÝnh n¨ng cña Maple, mµ cßn ph¶i cã n¨ng khiÕu vµ

chuyªn m«n s− ph¹m. Néi dung ch−¬ng nµy lµ chØ ra mét sè tÝnh n¨ng ®éc ®¸o cña

Maple trong hç trî gi¶ng d¹y To¸n häc, vµ ®−a ra nh÷ng gîi ý gióp cho b¹n ®äc cã

thÓ tiÕp cËn nhanh h¬n víi c«ng viÖc.

5.2. Mét sè øng dông trùc tiÕp

PhÇn mÒm lµ c«ng cô hç trî cho thµy tr×nh bµy c¸c minh häa víi chÊt l−îng

cao, gi¶m bít thêi gian lµm nh÷ng c«ng viÖc thñ c«ng, vôn vÆt, dÔ nhÇm lÉn,... ®Ó

cã ®iÒu kiÖn ®i s©u vµo c¸c vÊn ®Ò b¶n chÊt cña bµi gi¶ng. H¬n thÕ, nã cho thÊy râ

sù −u viÖt cña c¸c ph−¬ng ph¸p to¸n häc c¬ b¶n, gãp phÇn ®Þnh h−íng viÖc d¹y vµ

häc vµo c¸c chñ ®Ò nµy, ®Ó tr¸nh bÞ "sa lÇy" trong c¸c lo¹i "mÑo mùc vµ tiÓu x¶o".

5.2.1. Maple lµ c«ng cô minh häa hoµn h¶o

1. Nh÷ng minh ho¹ th«ng th−êng

Nh− ®· biÕt, muèn vÏ ®å thÞ, ta dïng lÖnh vÏ (plot) víi có ph¸p nh− ng«n ng÷

®êi th−êng. Víi Maple, c¸c bµi to¸n khã vÒ vÏ ®å thÞ (trong ch−¬ng tr×nh phæ th«ng

còng nh− ®¹i häc) sÏ trë nªn ®¬n gi¶n.

ThÝ dô (Thi HS giái miÒn B¾c, 1967) VÏ ®å thÞ cña hµm chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

185

x³− x²−2x

y =

− x +1

3

trªn miÒn x ∈[−4,5], y ∈[−5,12] ®−îc Maple thùc hiÖn b»ng lÖnh

[>plot(abs(x^3-x^2-2*x)/3-abs(x+1), x=-4..5,y=-5..12);

VÏ ®å thÞ hµm Èn cho bëi ph−¬ng tr×nh f (x, y) = 0 còng ®¬n gi¶n t−¬ng tù.

ThÝ dô VÏ ®−êng cong (bËc 4)

x²− y²− x⁴= 0

b»ng lÖnh

[>implicitplot(x^2-y^2-x^4=0,x=-1..1,y=-1..1);

L−u ý r»ng toµn bé c¸c ®−êng cong trong gi¸o tr×nh H×nh häc Gi¶i tÝch lµ ®−îc cho

d−íi d¹ng hµm Èn, cho nªn lÖnh nµy cho ta mét c«ng cô h÷u Ých trong gi¶ng d¹y

m«n H×nh häc Gi¶i tÝch.

ViÖc vÏ ®å thÞ hµm hai biÕn (trong kh«ng gian 3 chiÒu) lµ v−ît ngoµi kh¶ n¨ng

cña phÇn lín c¸c thÇy, cho nªn sù hç trî cña m¸y tÝnh lµ rÊt quan träng.

ThÝ dô VÏ ®å thÞ hµm sè

2

z = xe^{−x −y}

b»ng lÖnh

[>plot3d(x*exp(-x^2-y^2), x=-2..2,y=-2..2);

186

vµ ta sÏ thÊy m¸y cho ta h×nh vÏ biÓu diÔn mµ c¸c thÇy gi¸o khã lßng cã thÓ thùc

hiÖn ®−îc.

2. Mét sè ®å thÞ kh«ng ®¬n gi¶n

LÖnh vÏ ®å thÞ hµm Èn kh«ng chØ lµ c«ng cô vÏ c¸c ®−êng cong quen biÕt trong

H×nh gi¶i tÝch, mµ h¬n thÕ, nã cho phÐp vÏ c¶ c¸c ®−êng cong ®¹i sè phøc t¹p h¬n

nhiÒu, vµ mang l¹i cho nh÷ng ng−êi nghiªn cøu c¸c ®èi t−îng nµy nh÷ng bøc tranh

toµn c¶nh vÒ d¸ng ®iÖu cña chóng. Mét ®iÒu cÇn l−u ý r»ng nh÷ng ®−êng cong lo¹i

nµy th−êng cã h×nh d¹ng rÊt tinh tÕ, cho nªn cÇn vÏ chóng víi ®é chÝnh x¸c ®ñ cao

(b»ng c¸ch cho sè ®iÓm vÏ ®ñ lín). ThÝ dô, ®−êng cong elliptic y²− x³+ x = 0 lµ

rÊt quen thuéc víi nh÷ng ng−êi nghiªn cøu lý thuyÕt sè. MÆc dï c«ng thøc kh¸ ®¬n

gi¶n, nh−ng nÕu vÏ víi ®é chÝnh x¸c mÆc ®Þnh ta sÏ ®−îc mét ®å thÞ kh«ng ra g×

(ng−êi ®äc cã thÓ tù m×nh kiÓm nghiÖm ®iÒu nµy). Ta h·y vÏ víi ®é chÝnh x¸c cao,

b»ng lÖnh:

[>implicitplot(y^2-x^3+x=0,x=-2..2,y=-4..4,

numpoints=3000);

Mét thÝ dô kh¸c vÒ ®−êng cong ®¹i sè lµ ®−êng cong víi ph−¬ng tr×nh

6[x(x³−3xy²+ 2) + y(3x²y− y³) +(x³−3xy²+ 2)²+(3x²y− y³)²= 0

Nh×n c«ng thøc, ta khã lßng mµ h×nh dung ra d¸ng ®iÖu cña nã (cho dï cã træ hÕt

tµi nghÖ kh¶o s¸t hµm sè häc ®−îc trong c¸c lß luyÖn). H·y xem Maple cho ta bøc

tranh râ nÐt vÒ ®−êng cong nµy.

187

[>implicitplot(6*x*(x^3-3*x*y^2+2)+6*y*(3*x^2*y-y^3)=-

(x^3-3*x*y^2+2)^2-(3*x^2*y-y^3)^2,

x=-5..5,y=-5..5, numpoints=50000);

NhËn xÐt: Râ rµng kh«ng cã "mÑo" nµo gióp ta vÏ ®−îc c¸c lo¹i ®å thÞ nh− trªn, vµ

c¸c lo¹i kü thuËt "kh¶o s¸t hµm sè" còng kh«ng thÓ gãp phÇn c¶i thiÖn t×nh huèng.

Gi¶i ph¸p “cøu c¸nh” cho nh÷ng t×nh huèng khã kh¨n nµy l¹i ch¼ng ph¶i lµ mét

“phÐp mµu kú diÖu” nµo, mµ chÝnh lµ mét ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n ai còng cã thÓ

hiÓu ®−îc (nh− sÏ thÊy trong phÇn sau). Tuy nhiªn, ®iÒu nµy kh«ng cã nghÜa r»ng

phÇn d¹y vÒ c¸c kü thuËt kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè trong ch−¬ng tr×nh phæ

th«ng lµ kh«ng cßn ý nghÜa. Ng−îc l¹i, nã vÉn rÊt cÇn thiÕt vµ ta kh«ng nªn hiÓu sai

vÒ vai trß cña nã. Môc tiªu cña phÇn nµy lµ ®Ó n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh cña

hµm sè thÓ hiÖn qua ®¹o hµm. Nã kh«ng thÓ ®−îc xem lµ c«ng cô ®Ó vÏ ®å thÞ (nh−

nhiÒu ng−êi nhÇm t−ëng vµ ®· ®æ rÊt nhiÒu thêi gian cho viÖc luyÖn kü x¶o xung

quanh chñ ®Ò nµy). Ai còng biÕt, ®å thÞ cña hÇu hÕt c¸c hµm sè gÆp trong thùc tiÔn

lµ kh«ng thÓ vÏ ®−îc b»ng c¸c kü x¶o kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ mµ ta häc trong ch−¬ng

tr×nh phæ th«ng. Mét ®iÒu thó vÞ lµ c«ng cô v¹n n¨ng ®Ó vÏ ®å thÞ l¹i cã thÓ ®−îc

thiÕt lËp dùa trªn mét ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n, ®¬n gi¶n vµ lu«n lu«n kh¶ thi.

5.2.2. Maple gì bá sù huyÒn bÝ cho mét sè chñ ®Ò

Trong ch−¬ng tr×nh phæ th«ng cã 2 chñ ®Ò ®−îc ng−êi d¹y, ng−êi häc, vµ nhÊt

lµ c¸c lß luyÖn quan t©m rÊt nhiÒu, ®ã lµ: gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ vÏ ®å thÞ. §iÒu ®¸ng

nãi ë ®©y lµ ng−êi häc cµng ®i s©u vµo c¸c chñ ®Ò nµy l¹i cµng thªm hoang mang,

bëi c¸c bµi to¸n th¸ch ®è th−êng mu«n h×nh mu«n vÎ, vµ c¸ch xö lý còng mçi bµi

mét kiÓu. Dï cã häc hÕt c¸c lß luyÖn, häc sinh vÉn kh«ng ch¾c r»ng m×nh cã thÓ

lµm ®−îc mét bµi to¸n "kh¸c kiÓu" so víi nh÷ng g× ®· häc. ChÝnh ®iÒu nµy ®· lµm

cho phÇn lín nh÷ng ng−êi ®· häc to¸n theo kiÓu “luyÖn thi” hiÖn nay lu«n xem nã

lµ mét bé m«n "thÇn bÝ". Lý do thËt ®¬n gi¶n: ng−êi ta ®· qu¸ lo luyÖn cho häc sinh

gi¶i bµi tËp b»ng mÑo, mµ quªn kh«ng d¹y cho häc sinh c¸c ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n,

vèn kh«ng khã hiÓu mµ l¹i mang tÝnh v¹n n¨ng, kh«ng ng¹i bÊt cø "bµi to¸n l¹"

nµo. Chóng ta sÏ ®iÓm qua c¸c ph−¬ng ph¸p ®ã.

188

1. LÖnh vÏ d·y ®iÓm: c«ng cô nÒn t¶ng trong ®å häa ph¼ng

ViÖc vÏ mét d·y ®iÓm tuy rÊt ®¬n gi¶n vÒ mÆt ý t−ëng, nh−ng trªn thùc tÕ l¹i lµ

mét c«ng cô rÊt m¹nh. XÐt cho cïng, mäi ®−êng cong ®Òu ®−îc Maple vÏ b»ng

lÖnh nµy (trùc tiÕp hay gi¸n tiÕp), bëi v× c¸ch chung nhÊt ®Ó vÏ ®−êng cong lµ lÊy

mét sè ®iÓm (®ñ nhiÒu) råi nèi chóng l¹i. ChÝnh ph−¬ng ph¸p nµy còng sÏ lµ c«ng

cô gióp cho ta thÓ hiÖn nh÷ng ®−êng cong mµ Maple cßn ch−a cã dÞp ®Ò cËp tíi (thÝ

dô nh− nh÷ng ®−êng quü tÝch trong h×nh häc ph¼ng mµ sau nµy chóng ta cã dÞp nãi

tíi). Víi m¸y tÝnh, ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n nµy l¹i trë thµnh c¸i m¸y vÏ hïng m¹nh

cho ng−êi thÇy thÓ hiÖn mäi ý t−ëng vÒ ®å ho¹ cña m×nh. Cã 2 kh¶ n¨ng thùc hiÖn

viÖc nµy:

a) VÏ mét tËp ®iÓm b»ng lÖnh pointplot

ThÝ dô VÏ mét d·y ®iÓm gåm c¸c gi¸ trÞ cña hµm sin(.) t¹i 30 ®iÓm c¸ch ®Òu nhau

trªn ®o¹n [0,π].

[>pointplot({seq([n,sin(n*Pi/30)],n=0..30)},symbol=cross);

Theo mÆc ®Þnh, c¸c ®iÓm ®−îc vÏ c« lËp (rêi nhau). Tuú chän symbolcho

phÐp ta thÓ hiÖn c¸c ®iÓm d−íi c¸c d¹ng kh¸c nhau (®iÓm vu«ng, ®iÓm trßn, ch÷

thËp,...) theo ý muèn.

Muèn nèi c¸c ®iÓm (thµnh mét ®−êng gÊp khóc) ta sö dông tuú chän nèi c¸c

®iÓm (connect=true). CÇn ®Æc biÖt l−u ý lµ nÕu c¸c ®iÓm ®· cho lµ mét tËp hîp

(kh«ng s¾p thø tù c¸c ®iÓm) th× m¸y sÏ nèi tuú tiÖn (vµ th«ng th−êng ta sÏ ®−îc mét

bøc tranh hçn ®én). Muèn tr¸nh t×nh tr¹ng nµy, ta chuyÓn tËp ®iÓm sang d¹ng mét

danh s¸ch (list) c¸c ®iÓm, vµ khi Êy m¸y sÏ nèi c¸c ®iÓm theo thø tù tr−íc-sau nh−

trong danh s¸ch, vµ sÏ cho ra mét “®−êng cong” thùc sù. NÕu ta kh«ng chuyÓn tËp

®iÓm sang d¹ng danh s¸ch ®iÓm th× Maple cã thÓ nèi tuú tiÖn (v× tËp ®iÓm kh«ng cã

thø tù).

Ta cã thÓ dïng lÖnh nµy ®Ó vÏ ®å thÞ mäi hµm sè trªn ®êi. ThÝ dô, ta vÏ ®å thÞ

hµm sè sin (trªn mét chu kú) b»ng c¸ch lÊy 60 ®iÓm råi cho vÏ ®−êng gÊp khóc nèi

60 ®iÓm ®ã:

[>pointplot([seq([n,sin(n*Pi/30)],n=0..60)],

connect=true);

189

DÜ nhiªn, lÊy cµng nhiÒu ®iÓm th× ®å thÞ cµng trung thùc, nh−ng thêi gian tÝnh to¸n

sÏ l©u h¬n.

b) VÏ d·y ®iÓm b»ng lÖnh plot

Ta ®· biÕt lÖnh plotdïng ®Ó vÏ ®å thÞ c¸c hµm trong mÆt ph¼ng. Tuy nhiªn,

víi viÖc ®Æt tuú chän lµ vÏ ®iÓm (style=point) th× ta sÏ ®−îc mét d·y ®iÓm rêi

r¹c (nh− dïng lÖnh pointplot ®· tr×nh bµy trªn).

ThÝ dô Ta vÏ mét d·y ®iÓm nh− trªn b»ng lÖnh plot (víi tuú chän

style=point) vµ ký hiÖu ®iÓm b»ng ch÷ thËp (cross):

[>plot([[i,sin(-Pi+i*2*Pi/60)]$i=0..60],

style=point,symbol=cross);

Víi tuú chän lµ style=lineta sÏ ®−îc mét ®−êng nèi liÒn c¸c ®iÓm, vµ do

®ã còng ®−îc ®å thÞ cña hµm sè sin(.) trªn mét chu kú. B¹n ®äc h·y tù m×nh thùc

hiÖn lÖnh sau ®Ó xem kÕt qu¶:

[>plot([[i,sin(-Pi+i*2*Pi/60)]$i=0..60], style=line);

NhËn xÐt: Lµm viÖc víi m¸y mãc th−êng ®em ®Õn cho chóng ta mét c¸ch suy nghÜ

míi. Con ®−êng vÏ ®å thÞ th«ng qua kh¶o s¸t hµm sè t−ëng nh− lµ kh«n ngoan,

nh−ng trªn thùc tÕ l¹i kh«ng hiÖu qu¶, mÊt nhiÒu thêi gian h¬n mµ còng chØ biÕt

quÈn quanh víi vµi d¹ng hµm sè ®Æc biÖt (cã thÓ kh¶o s¸t ®−îc). Con ®−êng vÏ trùc

tiÕp (tÝnh thËt nhiÒu ®iÓm råi nèi l¹i), t−ëng lµ th« thiÓn, nh−ng thùc ra l¹i rÊt m¹nh,

vµ cho phÐp xö lý bÊt kú d¹ng hµm sè nµo. §©y chÝnh lµ mét trong nh÷ng −u thÕ

cña thêi ®¹i c«ng nghÖ th«ng tin. Nh− vËy, trong thêi ®¹i nµy, viÖc kh¶o s¸t hµm sè

(cña ch−¬ng tr×nh phæ th«ng) chØ nªn xem lµ ®Ó cñng cè kiÕn thøc vÒ tÝnh chÊt cña

®¹o hµm, chø kh«ng nªn xem lµ mét ph−¬ng ph¸p chñ ®¹o ®Ó vÏ ®å thÞ. Còng chÝnh

v× vËy, kh«ng nªn dµnh qu¸ nhiÒu thêi gian cho viÖc kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ qu¸ nhiÒu

c¸c d¹ng hµm sè ®Æc biÖt.

190

2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vµ ph−¬ng ph¸p ®å thÞ

a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh v« tû

Gi¶i ph−¬ng tr×nh lµ vÊn ®Ò dÔ ®è vµ khã gi¶i, cho nªn tõ l©u nã th−êng ®−îc

xem lµ mét chñ ®Ò th¸ch ®è cho nhiÒu thÕ hÖ thÇy trß. NÕu muèn, ng−êi ta cã thÓ

luyÖn c¶ ®êi ng−êi mµ kh«ng biÕt hÕt mÑo gi¶i ph−¬ng tr×nh. ChÝnh ®iÒu nµy ®· gãp

phÇn lµm t¨ng sù "thÇn bÝ" cña m«n To¸n, vµ g©y cho ng−êi ta c¶m gi¸c bÊt lùc

tr−íc nã. Víi Maple, c¶m gi¸c nµy sÏ bÞ lo¹i bá, v× chØ cÇn mét c©u lÖnh ®¬n gi¶n ta

kh«ng ng¹i mét ph−¬ng tr×nh nµo.

ThÝ dô Ta cho m¸y gi¶i ph−¬ng tr×nh x⁵−3x⁴+ 2x³+ x²− x +1= 0 b»ng lÖnh

sau:

[> solve(x^5-3*x^4+2*x^3+x^2-x+1,{x});

{x = RootOf(_Z⁵− 3 _Z⁴+ 2 _Z³+ _Z²− _Z + 1, index = 1)}

{x = RootOf(_Z⁵− 3 _Z⁴+ 2 _Z³+ _Z²− _Z + 1, index = 2)}

{x = RootOf(_Z⁵− 3 _Z⁴+ 2 _Z³+ _Z²− _Z + 1, index = 3)}

{x = RootOf(_Z⁵− 3 _Z⁴+ 2 _Z³+ _Z²− _Z + 1, index = 4)}

{x = RootOf(_Z⁵− 3 _Z⁴+ 2 _Z³+ _Z²− _Z + 1, index = 5)}

Râ rµng ph−¬ng tr×nh cã 5 nghiÖm, vµ Maple tù ®éng g¸n cho chóng c¸c "tªn"

nh− trªn (nghÜa "n«m" lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x⁵−3x⁴+ 2x³+ x²− x +1).

Tho¹t nh×n, t−ëng nh− lµ chuyÖn kh«i hµi, theo kiÓu nãi "t«i lµ con bè t«i", nh−ng

thùc ra Maple ®· cho kÕt qu¶ tÝnh to¸n rÊt nghiªm tóc. Së dÜ Maple ph¶i dïng c¸c

tªn nh− trªn ®Ò g¸n cho nghiÖm v× chóng lµ nh÷ng sè v« tû "ch−a ®−îc biÕt tíi bao

giê". Còng nh− víi c¸c sè v« tû kh¸c (sè e, sè π,v.v...), Maple cho phÐp ta cã thÓ

nhËn biÕt c¸c sè v« tû míi nµy th«ng qua c¸c ®¸nh gi¸ xÊp xØ thËp ph©n cña chóng

(víi møc ®é chÝnh x¸c tuú ý). ThÝ dô, khi ra lÖnh ®¸nh gi¸ xÊp xØ thËp ph©n cña c¸c

biÓu thøc trªn (chÝnh x¸c tíi 20 ch÷ sè ch¼ng h¹n), ta thÊy ngay r»ng Maple "kh«ng

nãi ®ïa":

[> evalf(%,20);

{x = 1.6411949491892497386+.42963618789678146139*I},

{x = .25110451749507366281+.61626684895576560125*I},

{x = -.78459893336864680277},

{x = .25110451749507366281-.61626684895576560125*I},

{x = 1.6411949491892497386-.42963618789678146139*I}

Râ rµng, víi c¸c ph−¬ng tr×nh nh− trªn, tÊt c¶ c¸c mÑo mùc cña c¸c "lß luyÖn"

trë nªn v« hiÖu. Nh−ng biÕt sö dông Maple, mét häc sinh b×nh th−êng kh«ng ng¹i

gi¶i quyÕt nh÷ng bµi to¸n khã h¬n gÊp nhiÒu lÇn.

Tuy nhiªn, Maple vÉn kh«ng thÓ tù nã gi¶i ®−îc mäi ph−¬ng tr×nh cã thÓ gÆp.

Khi Êy, chóng ta cã thÓ "chØ dÉn" cho m¸y lµm viÖc “kh«ng chª vµo ®©u ®−îc”.

191

b) Ph−¬ng ph¸p ®å thÞ

Víi c¸c ph−¬ng tr×nh siªu viÖt, viÖc tÝnh to¸n nghiÖm th−êng rÊt khã kh¨n.

M¸y th−êng chØ cho ra 1 nghiÖm nµo ®ã. Muèn cã ®−îc nhiÒu nghiÖm h¬n, ta cã

thÓ dïng ph−¬ng ph¸p ®å thÞ. H·y vÏ ®å thÞ trªn miÒn ®ñ réng ®Ó quan s¸t. ThÊy

vïng nµo cã nghiÖm ta phãng ®¹i vïng ®ã (b»ng c¸ch thu nhá vïng vÏ) ®Ó nh×n

thÊy nghiÖm chÝnh x¸c h¬n, vµ ta cã thÓ lÆp l¹i nhiÒu lÇn qu¸ tr×nh nµy cho ®Õn khi

cã ®−îc nghiÖm víi ®é chÝnh x¸c mµ ta muèn.

ThÝ dô Khi cho m¸y gi¶i ph−¬ng tr×nh 3.2^x+ 2.3^x−5^x−1= 0 ta thÊy m¸y chØ cho

1 nghiÖm (sau khi ®· ra lÖnh cho m¸y ®¸nh gi¸ xÊp xØ thËp ph©n). ThËt vËy,

[> solve(3*2^x+2*3^x-5^x-1);

RootOf(3.2^{_ Z}+ 2.3^{_ Z}−5^{_ Z}−1)

[> evalf(%);

2.232119390

NÕu vÏ ®å thÞ trªn kho¶ng qu¸ lín, cã thÓ ta sÏ kh«ng thu ®−îc th«ng tin trung

thùc. V× vËy, chØ nªn vÏ trªn nh÷ng ®o¹n võa ph¶i (kh«ng qu¸ 10 ®¬n vÞ), vµ nÕu

cÇn th× vÏ trªn nhiÒu ®o¹n riªng biÖt, råi thu thËp th«ng tin tæng hîp. Trong vÝ dô

nµy, b»ng nh÷ng ®¸nh gi¸ ®¬n gi¶n, ta cã thÓ thÊy r»ng ph−¬ng tr×nh kh«ng cã

nghiÖm ngoµi ®o¹n [-4,3], cho nªn ta chØ cÇn vÏ ®å thÞ cña hµm trªn ®o¹n nµy lµ ®ñ.

[> with(plots):

plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1, x=-4..3);

KÕt qu¶ trªn cho thÊy, ngoµi nghiÖm ®· biÕt (x=2.232119390), ph−¬ng tr×nh cßn cã

1 nghiÖm n÷a trªn vïng (-4,0). §Ó thÊy râ h¬n, ta h·y phãng ®¹i vïng nµy, b»ng

c¸ch chØ cho m¸y vÏ trªn ®o¹n [-4,0]:

[> plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1, x=-4..0);

192

KÕt qu¶ l¹i cho thÊy, chÝnh x¸c h¬n, nghiÖm n»m ë trong kho¶ng (-2,-1.8). Ta tiÕp

tôc phãng ®¹i, tøc lµ chØ cho m¸y vÏ trªn ®o¹n nµy

[> plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1, x=-2..-1.8);

KÕt qu¶ phãng ®¹i l¹i cho thÊy râ h¬n r»ng nghiÖm ë trong vïng (-1.91,-1.90). TiÕp

tôc phãng ®¹i

[> plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1, x=-1.91..-1.90);

193

Vµ ta l¹i thÊy r»ng nghiÖm n»m trong vïng (-1.907,-1.906). Phãng ®¹i tiÕp ta thÊy

[> plot(3*2^x+2*3^x-5^x-1, x=-1.907..-1.906);

NÕu b»ng lßng víi ®é chÝnh x¸c tíi 4 ch÷ sè thËp ph©n ta cã thÓ lÊy nghiÖm lµ x=-

1.9065, cßn nÕu ch−a b»ng lßng th× ta l¹i tiÕp tôc qu¸ tr×nh phãng ®¹i b»ng c¸ch

cho m¸y vÏ trªn ®o¹n [-1.9065,1.90645] vµ sÏ chän ®−îc nghiÖm xÊp xØ x=-

1.90648.

Víi bÊt ph−¬ng tr×nh siªu viÖt, thñ tôc tiÕn hµnh còng hoµn toµn t−¬ng tù.

3. Maple cho phÐp ®Ò cËp nh÷ng chñ ®Ò hãc bóa vµ khuyÕn khÝch

t×m tßi s¸ng t¹o

Kh¶ n¨ng tÝnh to¸n m¹nh cña Maple gióp ta thùc hiÖn nhanh chãng c¸c tÝnh

to¸n thö nghiÖm víi khèi l−îng lín, vµ do ®ã hç trî ®¾c lùc cho viÖc xo¸ sæ c¸c gi¶

thuyÕt sai lÇm, ®ång thêi còng cñng cè thªm lßng tin vµo c¸c gi¶ thuyÕt ®óng. §©y

chÝnh lµ c«ng cô ®Ó gióp häc sinh m¹nh d¹n h¬n trong viÖc t×m tßi, kh¸m ph¸.

194

ThuËt to¸n ph©n tÝch mét sè ra thõa sè nguyªn tè th× ai còng biÕt. Nh−ng viÖc

t×m mét sè nguyªn tè lín, hay nhËn biÕt mét sè lín cã ph¶i lµ nguyªn tè hay kh«ng,

vèn lµ viÖc cã ý nghÜa quan träng vÒ mÆt øng dông, l¹i lµ mét viÖc hoµn toµn kh«ng

dÔ dµng, nÕu kh«ng nãi lµ cùc kú gian nan, v× nã ®ßi hái khèi l−îng tÝnh to¸n rÊt

lín.

H·y xem xÐt gi¶ thuyÕt sau ®©y.

Gi¶ thuyÕt: TÝch cña c¸c sè nguyªn tè liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 3 sau khi bít ®i 2 sÏ lµ

sè nguyªn tè.

NghÜa lµ: nÕu ký hiÖu p_klµ nguyªn tè thø k (kÓ tõ sè 3 trë ®i)

th× A_n= p₁p₂.p₃...p_n−2 , lµ mét sè nguyªn tè víi mäi n.

Giaã s− L¹i §øc ThÞnh viÕt r»ng: "B»ng c¸ch thö, ta thÊy r»ng c¸c sè A₃, A₄,

A₅, A₆, A₇®Òu lµ sè nguyªn tè. Cã lÏ thö víi mét vµi gi¸ trÞ n÷a cña n ta sÏ t×m

®−îc mét hîp sè. Tuy nhiªn muèn kiÓm tra A th× cÇn ph¶i lµm 300 phÐp chia vµ

8

®Ó kiÓm tra A₉cÇn tíi 1300 phÐp chia, tøc lµ mÊt vµi buæi lµm tÝnh” (xem trong

TuyÓn tËp 30 n¨m t¹p chÝ To¸n häc vµ Tuæi trÎ, NXB Gi¸o dôc, 1997). Víi m¸y

tÝnh, mét häc sinh b×nh th−êng còng cã thÓ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt nµy.

ThÝ dô Ta dÔ dµng nhËn biÕt c¸c sè

A₇= 3.5.7.11.13.17.19-2 ,

A = 3.5.7.11.13.17.19.23-2

8

cã ph¶i lµ nguyªn tè hay kh«ng, b»ng lÖnh ifactor (ph©n tÝch mét sè ra thõa sè

nguyªn tè)

[>ifactor(3*5*7*11*13*17*19-2);

(4849843)

[>ifactor(3*5*7*11*13*17*19*23-2);

(111546433)

Chóng qu¶ lµ nguyªn tè thËt. Ta tiÕp tôc thö víi sè tiÕp theo lµ

A₉= 3.5.7.11.13.17.19.23.29-2

[>ifactor(3*5*7*11*13*17*19*23*29-2);

(43) (167) (450473)

Vµ ta thÊy r»ng A₉lµ mét hîp sè. Nh− vËy, ta ®· cã c©u tr¶ lêi cho gi¶ thuyÕt ®au

®Çu nãi trªn trong vßng kh«ng ®Çy mét phót.

Râ rµng, x−a nay c¸c gi¶ thuyÕt nh− trªn lu«n ®−îc xem lµ khã. Nh−ng khi lµm

viÖc víi Maple, mét häc sinh b×nh th−êng còng cã thÓ kiÓm ®Þnh mét gi¶ thuyÕt

195

nh− ta ®· lµm. Do vËy, phÇn mÒm tÝnh to¸n nãi chung, vµ Maple nãi riªng, lµm cho

to¸n häc gÇn l¹i víi tÊt c¶ mäi ng−êi, vµ cã thÓ nãi kh«ng ngoa r»ng nã lµ c«ng cô

ch¾p c¸nh cho kh¶ n¨ng s¸ng t¹o, chø kh«ng ph¶i lµ lµm cïn t− duy nh− ai ®ã nhÇm

t−ëng.

5.2.3. Maple hç trî gi¶ng d¹y c¸c chñ ®Ò khã

Mét nÐt næi bËt cña c¸c phÇn mÒm tÝnh to¸n hiÖn ®¹i lµ chóng kh«ng chØ biÕt

gióp ta tÝnh to¸n, mµ cßn cã kh¶ n¨ng hç trî ®¾c lùc cho t− duy, suy luËn, vµ do ®ã

nã rÊt h÷u Ých trong gi¶ng d¹y còng nh− nghiªn cøu khoa häc. Nã lµ c«ng cô hç trî

cho ta v−ît qua c¸c ®iÓm khã trong ch−¬ng tr×nh, c¸c chñ ®Ò liªn quan ®Õn nh÷ng

kh¸i niÖm c¬ b¶n To¸n häc, nh−: giíi h¹n, hµm sè, ®¹o hµm, tÝch ph©n,... C¸i khã ë

®©y kh«ng ph¶i lµ ë chç gi¶i cho ®−îc c¸c lo¹i bµi tËp to¸n, mµ lµ ë chç gi¶ng sao

cho häc sinh hiÓu ®−îc b¶n chÊt cña c¸c kh¸i niÖm nµy còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p

t− duy, lý luËn do chóng mang l¹i. Cho ®Õn nay, ®©y vÉn lµ c«ng viÖc mµ hÇu hÕt

c¸c thÇy d¹y To¸n ®Òu ng¹i vµ muèn nÐ tr¸nh. Víi sù hç trî cña Maple, chóng ta

cã thÓ tõng b−íc kh¾c phôc ®−îc t×nh tr¹ng nµy. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh ho¹.

1. Chñ ®Ò giíi h¹n

a) C¸c ph−¬ng ph¸p biÓu diÔn d·y ®iÓm

B»ng lÖnh vÏ d·y ®iÓm, Maple cã thÓ minh häa mét d·y sè d−íi d¹ng mét tËp

®iÓm trªn trôc sè nh− ta vÉn th−êng lµm. ThÝ dô, ta minh häa 100 ®iÓm ®Çu cña d·y

1

n + 3

u_n=

b»ng lÖnh (sau khi gäi c«ng cô vÏ b»ng lÖnh with(plots)):

[>pointplot([seq([1/(n+3),0],n=1..100)],symbol=box,color=red);

Ta thÊy mçi ®iÓm hiÖn ra nh− mét « vu«ng nhá mµu ®á (dÜ nhiªn, ta cã thÓ g¸n

cho ®iÓm nhiÒu lo¹i h×nh thï vµ mµu s¾c kh¸c n÷a). C¸ch biÓu diÔn truyÒn thèng

nµy cã mét −u ®iÓm lµ cho phÐp ta dÔ dµng ph¸t hiÖn ra c¸c ®iÓm tô råi rót ra tÝnh

héi tô cña d·y (nÕu ®iÓm tô chØ cã duy nhÊt mét th× d·y héi tô, cßn ng−îc l¹i th×

196

1

u_n= (-1)ⁿ+

d·y kh«ng héi tô). ThÝ dô, ®èi víi d·y

ta cã minh ho¹ 100

n + 3

phÇn tö ®Çu tiªn nh− sau:

[> pointplot([seq([(-1)^n+sin(n)/(n+3),0],n=1..100)],

symbol=circle,color=red);

Tuy nhiªn, ph−¬ng ph¸p minh ho¹ nµy cã mét nh−îc ®iÓm lµ kh«ng cho ta

thÊy ®−îc thø tù c¸c phÇn tö trong d·y (viÖc ®¸nh dÊu tªn c¸c ®iÓm kh«ng thÓ thùc

hiÖn ®−îc khi c¸c ®iÓm ë qu¸ gÇn nhau). Ngoµi ra, khi hai phÇn tö (ph©n biÖt) cña

d·y cã gi¸ trÞ b»ng nhau th× chØ ®−îc biÓu diÔn b»ng 1 ®iÓm, do ®ã nÕu cã rÊt nhiÒu

phÇn tö cã gi¸ trÞ nh− nhau th× còng chØ ®−îc biÓu diÔn bëi 1 ®iÓm, vµ trªn h×nh vÏ

ta sÏ kh«ng nhËn ra ®−îc nã lµ ®iÓm tô hay ®iÓm c« lËp.

Cã mét c¸ch minh ho¹ kh¸c, kh¾c phôc ®−îc c¸c nh−îc ®iÓm cña ph−¬ng ph¸p

minh ho¹ trªn, cho phÐp ta ph©n biÖt ®−îc thø tù c¸c ®iÓm (tr−íc - sau) trong d·y

sè, vµ do ®ã còng ph©n biÖt ®−îc c¸c phÇn tö cã cïng gi¸ trÞ. Ph−¬ng ph¸p nµy

còng ®−îc dùa vµo lÖnh vÏ d·y ®iÓm, nh−ng cho phÐp c¸c ®iÓm r¶i trªn mÆt ph¼ng

2 chiÒu, mµ kh«ng buéc chóng n»m trªn trôc hoµnh. ThÝ dô, víi d·y nh− trªn ta cã

minh ho¹ sau:

[> pointplot([seq([n,(-1)^n+sin(n)/(n+3)],n=1..100)],

symbol=cross,color=red);

Ta dÔ dµng nhËn ra r»ng, hoµnh ®é cña mçi ®iÓm (trong c¸ch biÓu diÔn nµy)

còng chÝnh lµ chØ sè cña phÇn tö t−¬ng øng trong d·y. NÕu chiÕu c¸c ®iÓm lªn trôc

197

tung th× ta sÏ nhËn ®−îc tËp ®iÓm biÓu diÔn d·y theo ph−¬ng ph¸p minh ho¹ thø

nhÊt.

Ta sÏ qui −íc gäi c¸ch biÓu diÔn thø hai nµy lµ biÓu diÔn 2 chiÒu (vµ c¸ch biÓu

diÔn tr−íc lµ biÓu diÔn 1 chiÒu). Tõ ®©y vÒ sau ta sÏ chØ dïng c¸ch biÓu diÔn 2 chiÒu

®Ó tr¸nh c¸c "nhËp nh»ng" cã thÓ x¶y ra.

b) D·y héi tô

Ph−¬ng ph¸p minh ho¹ d·y sè b»ng mét d·y ®iÓm gióp ta dÔ dµng h×nh dung ra

®−îc thÕ nµo lµ mét d·y sè héi tô ®Õn 0. ThÝ dô, ®Ó xem xÐt tÝnh héi tô cña d·y

sin(n)

sè a_n=

, ta dïng lÖnh vÏ 100 ®iÓm cña d·y (tõ thø 1 ®Õn thø 100):

n +1

[>pointplot([seq([n,sin(n)/(1+n)],n=1..100)]);

KÕt qu¶ cho ta thÊy mét d·y c¸c ®iÓm, tuy "giao ®éng" xung quanh trôc hoµnh,

nh−ng cã tÝnh chÊt rÊt râ rµng lµ cµng xa gèc to¹ ®é (øng víi n cµng lín) th× cµng

gÇn s¸t vµo trôc hoµnh (tøc lµ cµng gÇn víi 0). Cã thÓ vÏ bÊt cø mét "khóc ®u«i"

nµo cña d·y ta còng sÏ thÊy r»ng, nÕu cµng ë xa gèc to¹ ®é, chóng cµng "cïng nhau

b¸m s¸t quanh trôc hoµnh". ThÝ dô, b»ng mét lÖnh t−¬ng tù nh− trªn, ta cã thÓ xem

c¸c ®iÓm ë "khóc ®u«i" víi chØ sè tõ 100 ®Õn 150, vµ ta sÏ thÊy (sau khi phãng ®¹i

theo chiÒu däc ®Ó dÔ so s¸nh)

Râ rµng lµ c¸c ®iÓm ë khóc sau nµy cßn "b¸m s¸t trôc hoµnh" h¬n lµ c¸c ®iÓm khóc

tr−íc. Cã thÓ vÏ bÊt cø "khóc ®u«i" nµo kh¸c ta còng ®Òu thÊy tÝnh chÊt nh− vËy

(cµng ë xa th× cµng s¸t trôc hoµnh). §ã chÝnh lµ b¶n chÊt cña d·y sè héi tô ®Õn 0.

c) D·y kh«ng héi tô

T−¬ng tù nh− trªn, ta cã thÓ cho ®−îc mét h×nh dung dÔ dµng vÒ d·y kh«ng héi

tô tíi 0, ®ã chÝnh lµ nh÷ng d·y mµ ta lu«n t×m ®−îc nh÷ng ®iÓm ë xa gèc täa ®é mµ

vÉn kh«ng "b¸m gÇn" trôc hoµnh.

ThÝ dô, víi d·y sè







ⁿ



1

n



a = sin(n) +

,





n





ta quan s¸t 150 ®iÓm ®Çu cña d·y vµ thÊy r»ng

198

Râ rµng, mÆc dï phÇn lín c¸c ®iÓm cã thÓ n»m gÇn trôc hoµnh, nh−ng ta lu«n t×m thÊy

(ngay c¶ ë xa gèc to¹ ®é) cã nh÷ng ®iÓm kh«ng gÇn trôc hoµnh. NÕu lÊy mét "khóc ®u«i"

xa h¬n, gåm c¸c phÇn tö tõ thø 150 ®Õn 200 ch¼ng h¹n, ta còng vÉn ph¸t hiÖn thÊy nh÷ng

mét vµi phÇn tö nh− vËy vµ dï cã lÊy nh÷ng khóc ®u«i xa h¬n n÷a t×nh h×nh còng cø nh−

thÕ (chØ xin l−u ý r»ng khóc ®u«i nªn lÊy ®ñ dµi ®Ó kh«ng "lät" c¸c phÇn tö "lÎ loi" nµy, v×

chóng kh¸ th−a).

§ã chÝnh lµ b¶n chÊt cña d·y kh«ng héi tô vÒ 0.

Mét vÝ dô kh¸c, phøc t¹p h¬n mét chót, nh−ng cho ta h×nh dung râ nÐt h¬n vÒ b¶n chÊt

cña d·y kh«ng héi tô. Trong vÝ dô nµy, c¸c phÇn tõ "v« tæ chøc" ë c¸c khóc ®u«i kh«ng

th−a thít, mµ kh¸ ®«ng ®óc. XÐt d·y sè

n

1

v_n= sin(n) +

.

n

vµ c¸c "khóc ®u«i" cña d·y (tõ 1000 ®Õn 2000, vµ tõ 2000 ®Õn 3000) còng ®−îc thÓ hiÖn

nh− sau:

199

(Minh ho¹ "khóc ®u«i" cña d·y tõ phÇn tö thø 1000 ®Õn phÇn tö thø 2000)

(Minh ho¹ "khóc ®u«i" cña d·y tõ phÇn tö thø 2000 ®Õn phÇn tö thø 3000)

L−u ý r»ng phÇn lín c¸c phÇn tö cña d·y lµ n»m gÇn s¸t trôc hoµnh, cho nªn ta thÊy

trôc hoµnh nh− mét v¹ch ®en (mµ kh«ng nh− mét ®−êng th¼ng)

NÕu hiÓu ®−îc thÕ nµo lµ mét d·y sè héi tô vÒ 0 th× sÏ dÔ dµng hiÓu ®−îc thÕ

nµo lµ mét d·y sè héi tô vÒ mét sè a nµo ®ã, v× r»ng d·y u héi tô tíi a khi vµ

{

}

n

chØ khi d·y v_n= u_n−a lµ héi tô tíi 0.

Râ rµng, b»ng ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù, ta dÔ dµng minh ho¹ b¶n chÊt cña 2

nguyªn lý c¬ b¶n trong phÐp tÝnh giíi h¹n, ®ã lµ: nguyªn lý vÒ giíi h¹n cña d·y ®¬n

®iÖu bÞ chÆn vµ nguyªn lý vÒ giíi h¹n cña d·y bÞ kÑp gi÷a 2 d·y cã cïng giíi h¹n.

B¹n ®äc h·y tù m×nh thùc hiÖn ®iÒu nµy.

2. Chñ ®Ò Hµm sè

a) Kh¸i niÖm hµm sè

Hµm sè lµ mét chñ ®Ò kh«ng dÔ d¹y trong ch−¬ng tr×nh phæ th«ng, vµ cã

kh«ng Ýt thÇy c« muèn bá qua chñ ®Ò nµy. C¸i khã lµ ë chç: chñ ®Ò nµy lu«n ®−îc

"hµm sè lµ mét phÐp cho t−¬ng øng mçi sè x (trong miÒn x¸c ®Þnh) víi mét sè y

(trong miÒn gi¸ trÞ)...", ng−êi thÇy chØ cßn biÕt viÖn ra vµi biÓu thøc ®¹i sè quen biÕt

häc sinh lu«n hiÓu nhÇm hµm sè lµ mét biÓu thøc ®¹i sè. Muèn cho häc sinh cã

®−îc c¸i nh×n toµn diÖn h¬n vÒ hµm sè th× ph¶i cã ®−îc c¸c minh ho¹ cã tÝnh thuyÕt

phôc h¬n, ph¶i cho häc sinh thÊy ®−îc phÐp øng lµ mét kh¸i niÖm tæng qu¸t h¬n lµ

viÖc tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc ®¹i sè th«ng th−êng. M¸y tÝnh lµ mét c«ng cô hç trî

thuéc" nh−ng thÓ hiÖn mét c¸ch rÊt râ nÐt b¶n chÊt “phÐp øng” cña hµm sè (dÜ

200

tr×nh bµy mét thÝ dô cã tÝnh ®iÓn h×nh vµ phôc vô cho viÖc ®i xa h¬n sau nµy).

Trong phÇn giíi h¹n d·y sè chóng ta ®· biÕt r»ng víi mçi sè x th× giíi h¹n cña

n

x

n









,

lim 1 +







n → ∞

Nh− vËy, ta cã thÓ thiÕt lËp ®−îc mét phÐp øng: cho mçi sè x t−¬ng øng víi gi¸

trÞ cña giíi h¹n d·y sè nªu trªn. Khi Êy, theo ®Þnh nghÜa, ta cã ®−îc mét hµm sè vµ

cã thÓ ký hiÖu nã lµ E(x), tøc lµ

n

x

n









.

E := x → lim 1 +







n → ∞

Cho ®Õn nay, nh÷ng hµm sè kiÓu nµy cßn Ýt ®−îc xem xÐt lµ v× viÖc tÝnh gi¸ trÞ

cña nã (b»ng thñ c«ng) th−êng rÊt khã kh¨n, ngo¹i trõ t¹i mét sè ®iÓm rÊt ®Æc biÖt.

M¸y tÝnh chÝnh lµ ph−¬ng tiÖn hç trî ®¾c lùc cho ta kh¾c phôc vÊn ®Ò nµy. M¸y dÔ

dµng tÝnh cho ta gi¸ trÞ cña hµm t¹i bÊt kú ®iÓm nµo. Tr−íc hÕt ta d¹y cho m¸y biÕt

[> E:= x->limit((1+x/n)^n,n=infinity);

n

x

n









E := x → lim 1 +







n → ∞

Sau khi cho thùc hiÖn lÖnh (còng tøc lµ khai b¸o xong hµm sè), ta cã thÓ tÝnh

gi¸ trÞ cña hµm sè t¹i bÊt kú ®iÓm nµo. ChØ xin l−u ý r»ng gi¸ trÞ cña hµm th−êng lµ

nh÷ng sè v« tû "l¹ ho¾c" mµ ta ch−a tõng biÕt ®Õn (vµ do ®ã ch−a cã ký hiÖu biÓu

chÝnh x¸c do ta tuú chän), nh− ta vÉn th−êng lµm víi c¸c sè v« tû quen biÕt kh¸c.

ThÝ dô, muèn biÕt gi¸ trÞ cña hµm t¹i mét sè ®iÓm nh− x=1.25, x=2.3, x=-

[> evalf(E(1.25),50);

3.4903429574618413761305460296722654826517343987624

[> evalf(E(2.3),50);

9.9741824548147207399576151569088580014787011936840

[> evalf(E(-0.7),50);

.49658530379140951470480009339752896170766716571182

Cø nh− vËy, ta cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña hµm t¹i bÊt kú ®iÓm nµo. Vµ nh− vËy, hµm sè

E(x) ®· ®−îc x¸c ®Þnh theo "®óng bµi b¶n" ®Þnh nghÜa.

201

Mét ®iÒu cÇn l−u ý lµ m¸y tÝnh xö lý c¸c hµm sè "kh«ng quen thuéc" kiÓu nµy

còng gièng hÖt nh− c¸c hµm sè b×nh th−êng. NghÜa lµ ta cã thÓ tÝnh giíi h¹n, xÐt

tÝnh liªn tôc, lÊy ®¹o hµm, vÏ ®å thÞ,... cña nã mét c¸ch dÔ dµng. VÝ dô, ta cho m¸y

vÏ ®å thÞ cña hµm trªn ®o¹n [-2,3] b»ng lÖnh

[> plot(E(x),x=-2..3);

Thùc ra, nh÷ng hµm sè ph¶i tÝnh nhê m¸y (nh− hµm kiÓu nµy) kh«ng ph¶i lµ Ýt

gÆp. C¸c hµm l−îng gi¸c lµ nh÷ng vÝ dô kh¸ ®iÓn h×nh, vµ quen thuéc h¬n n÷a h¬n

lµ nh÷ng hµm cã chøa c¨n thøc.

b) Hµm sè mò

khoa phæ th«ng (líp 11-12) hiÖn nay viÖc ®Þnh nghÜa hµm sè mò chØ mang tÝnh

phiÕn diÖn, cèt sao cho häc sinh thõa nhËn r»ng luü thõa bËc v« tû còng gièng nh−

luü thõa bËc h÷u tû. C¸c s¸ch gi¸o khoa ®¹i häc ë ta th× l¹i coi hµm sè mò lµ mét

kh¸i niÖm ®· biÕt tõ phæ th«ng nªn còng kh«ng cho mét ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c. VÊn

®Ò ®Æt ra: LiÖu cã thÓ ®Þnh nghÜa hµm sè mò mét c¸ch "nghiªm tóc vÒ mÆt to¸n

häc" trong ch−¬ng tr×nh phæ th«ng hay kh«ng?

VÒ mÆt lý thuyªt thuÇn tóy, ®iÒu nµy lµ thùc hiÖn ®−îc nh−ng kh«ng ph¶i lµ dÔ

dµng, nhÊt lµ víi c¸c häc sinh d−íi trung b×nh.

B»ng sù hç trî cña phÇn mÒm vµ m¸y tÝnh, ta cã thÓ lµm cho viÖc nµy trë nªn

dÔ dµng h¬n ®èi víi mäi ®èi t−îng. H·y nhí l¹i hµm sè E(x) mµ ta ®Þnh nghÜa

trong phÇn trªn. M¸y tÝnh ®· gióp ta tÝnh mäi gi¸ trÞ cña nã mét c¸ch dÔ dµng. Tuy

nhiªn, kh«ng chØ cã vËy, m¸y cßn cã thÓ kiÓm chøng mét sè tÝnh chÊt (®Þnh tÝnh)

rÊt thó vÞ cña nã, mµ viÖc chøng minh trùc tiÕp (b»ng thñ c«ng) lµ kh«ng dÔ chót

nµo.

TÝnh chÊt 1

E(0) = 1

0 < E(x)

(i)

x

(ii)

víi mäi

202