Bài giảng Kiến trúc máy tính - Chương 8: Hệ đếm

+

Chương 8

Hệ đếm

+

NỘI DUNG

1. Hệ đếm

a) Hệ thập phân

b) Hệ nhị phân

c) Hệ thập lục phân

2. Chuyển đổi giữa các hệ đếm

a) Hệ thập phân – Hệ nhị phân

b) Hệ thập phân – Hệ thập lục phân

c) Hệ nhị phân – Hệ thập lục phân

+

1. Hệ đếm

 Hệ đếm là một tập các ký hiệu (bảng chữ số) để biểu

diễn các số và xác định giá trị của các biểu diễn số.

 Phân loại:

 Hệ đếm không vị trí

 Hệ đếm có vị trí

 Các hệ đếm thông dụng

+

Hệ đếm có vị trí

 Nguyên tắc chung

 Cơ số của hệ đếm 푟 là số ký hiệu được dùng

 Trọng số bất kỳ của một hệ đếm là 푟^푖(i là số nguyên âm hoặc

dương) giúp phân biệt giá trị biểu diễn của các chữ số khác nhau

 Mỗi số được biểu diễn bằng một chuỗi các chữ số, trong đó số

ở vị trí thứ 푖 có trọng số 푟^푖

 Dạng tổng quát của một số trong hệ đếm có cơ số r là

. . . 푎₃푎₂푎₁푎₀. 푎₋₁푎₋₂푎₋₃. . .

푟

 Giá trị của chữ số a_ilà 1 số nguyên trong khoảng 0 < a_i< r.

 Dấu chấm giữa a₀và a_-1được gọi là radix point.

5

+

Biểu diễn số

 Biểu diễn tổng quát:

 Trong một số trường hợp, ta phải thêm chỉ số để tránh nhầm lẫn giữa

biểu diễn của các hệ đếm.

Ví dụ: 36₁₀, 36₈, 36₁₆

 Số quan trọng nhất (MSB): Chữ số ngoài cùng bên trái (mang giá trị

lớn nhất)

 Số ít quan trọng nhất (LSB): Chữ số ngoài cùng bên phải

+

1. Hệ đếm

a. Hệ thập phân

 Dựa trên 10 chữ số thập phân (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) để biểu diễn

các số. Cơ số = 10

 Ví dụ: 83₁₀, 4728₁₀,

 Phân bố trọng số:

Vị trí

…

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

…

Trọng

số

… 10³

10²

10¹

10⁰10⁻¹10⁻²10⁻³10⁻⁴

83 = (8 * 10¹) + (3 * 10⁰)

4728 = (4 * 10³) + (7 * 10²) + (2 * 10¹) + (8 * 10⁰)

442.256 = (4 * 10²) + (4 + 10¹) + (2 * 10⁰) + (2 * 10^-1) + (5 * 10^-2) + (6 * 10^-3)

+

1. Hệ đếm

b. Hệ nhị phân

 Hai chữ số, 1 và 0

 Cơ số 2

 Chữ số 1 và 0 trong ký hiệu nhị phân có cùng ý nghĩa như

trong ký hiệu thập phân:

0₂= 0₁₀

1₂= 1₁₀

 Để biểu diễn các số lớn hơn, mỗi chữ số trong một số nhị phân

có giá trị phụ thuộc vào vị trí của nó :

10₂= (1 * 2¹) + (0 * 2⁰) = 2₁₀

11₂= (1 * 2¹) + (1 * 2⁰) = 3₁₀

100₂= (1 * 2²) + (0 * 2¹) + (0 * 2⁰) = 4₁₀

Các giá trị phân số được biểu diễn bằng số mũ âm của cơ số:

1001.101 = 2³+ 2⁰+ 2^-1+ 2^-3= 9.625₁₀

+

Nhị phân sang thập phân:

 Nhân mỗi chữ số nhị phân

với 2ⁱvà cộng vào kết quả

Thập phân sang nhị phân:

 Đổi riêng phần nguyên và

phần thập phân

2. Chuyển đổi hệ thập phân và nhị phân

a. Phần nguyên:

Bài toán: Đổi số nguyên thập phân N thành dạng

Phần

nguyên

nhị phân.

Đầu tiên chia N cho 2 được N₁và phần dư R₀:

N = 2 * N₁+ R₀

R₀= 0 or 1

Tiếp theo, chia N₁cho 2 thu được số mới là N₂và

số dư mới R₁:

N₁= 2 * N₂+ R₁

R₁= 0 or 1

Sao cho

N = 2(2N₂+ R₁) + R₀= (N₂* 2²) + (R₁* 2¹) + R₀

Nếu tiếp tục

N₂= 2N₃+ R₂

+

Ta có

N = (N₃* 2³) + (R₂* 2²) + (R₁* 2¹) + R₀

Continued . . .

Do N >N₁> N_{2 . . .}, tiếp tục chia thì cuối cùng sẽ tạo ra

thương số N_m-1= 1 và phần dư R_m-2bằng 0 hoặc 1. Phần

Khi đó

nguyên

N = (1 * 2^m-1)+ (R_m-2* 2^m-2)+ . . . + (R₂* 2²) + (R₁* 2¹) + R₀

là dạng nhị phân của N.

Kết luận: Chuyển đổi phần nguyên từ cơ số 10

sang cơ số 2 bằng cách chia lặp đi lặp lại số

đó cho 2. Phép chia dừng lại khi kết quả lần

chia cuối cùng bằng 0.

Lấy các số dư theo chiều đảo ngược cho ta số

+

nhị phân cần tìm.

+

Ví dụ về chuyển đổi

từ thập phân sang

nhị phân cho phần

nguyên

Số nhị phân 0.b_-1b_-2b_-3. . . với b_i= 0 or 1 có giá trị

(b_-1* 2^-1) + (b_-2* 2^-2) + (b_-3* 2^-3) . . .

Có thể viết lại thành

2^-1* (b_-1+ 2^-1* (b_-2+ 2^-1* (b_-3+ . . . ) . . . ))

Bài toán: Đổi số F (0 < F < 1) từ thập phân sang nhị

phân. Biết rằng F có thể được biểu diễn dưới dạng

F = 2^-1* (b_-1+ 2^-1* (b_-2+ 2^-1* (b_-3+ . . . ) . . . ))

Nếu nhân F với 2, thu được,

Phần

thập

phân

2 * F = b_-1+ 2^-1* (b_-2+ 2^-1* (b_-3+ . . . ) . . . )

Tư biểu thức đó, ta thấy rằng phần nguyên của (2 *

F), phải bằng 0 hoặc 1 vì 0 < F < 1, đơn giản là b_-1.

Vì thế ta có thể nói (2 * F) = b_-1+ F₁, với 0 < F₁< 1

và trong đó

+

F₁= 2-1 * (b_-2+ 2^-1* (b_-3+ 2^-1* (b_-4+ . . . ) . . . ))

Để tìm b₋₂, ta lặp lại quá trình này. Tại mỗi bước,

phần phân số của kết quả bước trước được nhân

với 2.

Continued . . .

Kết luận: Nhân liên tiếp phần phân số của

số thập phân với 2. Lấy tuần tự phần

nguyên của tích thu được sau mỗi lần nhân

là kết quả cần tìm. Phần phân số của tích

được sử dụng làm số bị nhân trong bước

tiếp theo.

Phần

thập

phân

+

Ví dụ về chuyển đổi

từ thập phân sang

nhị phân cho phần

phân số

+

5. Hệ thập lục phân (Hexadecimal)

 Các chữ số nhị phân được nhóm thành các nhóm bốn bit

được gọi là nibble

 Mỗi tổ hợp có thể có của bốn chữ số nhị phân được biểu diễn

bằng 1 ký tự, như sau :

0000 = 0 0100 = 4

0001 = 1 0101 = 5

0010 = 2 0110 = 6

0011 = 3 0111 = 7

1000 = 8

1001 = 9

1010 = A

1011 = B

1100 = C

1101 = D

1110 = E

1111 = F

 Bởi vì 16 ký tự được sử dụng, biểu diễn này được gọi là hệ thập

lục phân và 16 ký tự đó là chữ số thập lục phân

 Ví dụ

2C₁₆= (2₁₆* 16¹) + (C₁₆* 16⁰) = (2₁₀* 16¹) + (12₁₀* 16⁰) = 44

+

Bảng 8.3

Thập phân, nhị

phân, và thập lục

phân

Biểu diễn thập lục phân

Không chỉ được dùng

để biểu diễn các số

nguyên mà còn là một

biểu diễn ngắn gọn để

biểu diễn dãy số nhị

Lý do sử dụng biểu

diễn thập lục phân:

phân bất kỳ

Trong hầu hết máy

tính, dữ liệu nhị phân

chiếm theo bội của 4

bit, tương đương với

bội của một số thập lục

phân duy nhất

Rất dễ dàng chuyển

đổi giữa nhị phân và

thập lục phân

Ngắn gọn hơn ký

hiệu nhị phân

+

Tổng kết

Hệ số đếm

Chương 8

 Chuyển đổi giữa nhị

phân và thập phân

 Hệ đếm

 Phần nguyên

 Phần phân số

 Hệ thập phân

 Hệ nhị phân

 Biểu diễn thập lục phân

Bài tập (1)

1/ Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: (1.1)₂, (1.4)₁₀, (1.5)₁₆

2/ Đổi giá trị biểu diễn

a) 54₈sang hệ cơ số 5

b) 312₄sang hệ cơ số 7

3/ Đổi các số nhị phân sau ra số trong hệ thập phân:

a) 001100

b) 011100

c) 101010

d)11100.011

e) 110011.10011

f) 1010101010.1

4/ Đổi các số thập phân sau ra số trong hệ nhị phân:

a) 64

b) 100

c) 255

d) 34.75

e) 25.25

f) 27.1875

Bài tập (2)

5/ Đổi các số thập lục phân sau ra số trong hệ thập phân:

a) B52

b) ABCD

d) 1111.1

c) D3.E

e) EBA.C

6/ Đổi các số thập phân sau ra số trong hệ thập lục phân:

a) 2560

b) 6250

c) 16245

f) 631.25

d) 204.125

e) 255.875

7/ Đổi các số thập lục phân sau ra số trong hệ nhị phân:

a) 568 b) A74 c) 1F.C d) 239.4

8/ Đổi các số nhị phân sau ra số trong hệ thập lục phân:

a) 1001.1111

b) 110101.011001

c) 101001111.111011

Bài giảng Kiến trúc máy tính - Chương 8: Hệ đếm - Nguyễn Thị Phương