Bài giảng Xử lý tín hiệu số
BÀI GIẢNG
Xử lý tín hiệu số
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
MỤC LỤC
Chương 1. Giới thiệu xử lý tín hiệu số ....................................................................1
Chương 2. Tín hiệu và hệ thống rời rạc................................................................ 21
Chương 3. Phân tích hệ rời rạc LTI dùng phép biến đổi Z..................................... 50
Chương 4. Phân tích tín hiệu và hệ thống rời rạc LTI trong miền tần số ...............67
Chương 5. Phép biến đổi Fourier rời rạc và ứng dụng.......................................... 88
Chương I
Chương
1
GIỚI THIỆU XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Chương này nêu tổng quát các vấn đề liên quan đến môn học. Nội dung chính chương này là:
-
Giải thích các khái niệm như: “Tín hiệu”, “Tín hiệu số”, “Xử lý tín hiệu”, “Xử lý tín
hiệu số”...
-
-
-
-
-
-
Các khâu cơ bản trong hệ thống xử lý tín hiệu số
Nêu một số ứng dụng của xử lý tín hiệu số
So sánh xử lý tương tự và xử lý số
Giải thích khái niệm “Tần số”
Các bước cơ bản chuyển đổi tín hiệu từ tương tự sang số
Các bước có bản chuyển đổi tín hiệu từ số sang tương tự
1.1 TÍN HIỆU, HỆ THỐNG và XỬ LÝ TÍN HIỆU
Để hiểu “Xử lý tín hiệu” là gì, ta sẽ tìm hiểu ý nghĩa của từng từ. Tín hiệu(signal) dùng để
chỉ một đại lượng vật lý mang tin tức. Về mặt toán học, ta có thể mô tả tín hiệu như là một
hàm theo biến thời gian, không gian hay các biến độc lập khác. Chẳng hạn như, hàm:
x(t) = 20t2 mô tả tín hiệu biến thiên theo biến thời gian t. Hay một ví dụ khác, hàm:
s(x, y) = 3x + 5xy + y2 mô tả tín hiệu là hàm theo hai biến độc lập x và y, trong đó x và y
biểu diễn cho hai tọa độ không gian trong mặt phẳng.
Hai tín hiệu trong ví dụ trên thuộc về lớp tín hiệu có thể được biểu diễn chính xác bằng hàm
theo biến độc lập. Tuy nhiên, trong thực tế, các mối quan hệ giữa các đại lượng vật lý và các
biến độc lập thường rất phức tạp nên không thể biểu diễn tín hiệu như trong hai ví dụ vừa nêu
trên.
Hình 1.1 Ví dụ tín hiệu tiếng nói
Lấy ví dụ tín hiệu tiếng nói- đó là sự biến thiên của áp suất không khí theo thời gian. Chẳng
hạn khi ta phát âm từ “away”, dạng sóng của từ đó được biểu diễn trên hình 1.1.
Một ví dụ khác là tín hiệu điện tâm đồ (ECG)- cung cấp cho bác sĩ những tin tức về tình
trạng tim của bệnh nhân, hay là tín hiệu điện não đồ (EEG) cung cấp tin tức về hoạt động của
não.
Các tín hiệu tiếng nói, ECG, EEG là các ví dụ về tín hiệu mang tin có thể biểu diễn là hàm
theo biến thời gian. Thực tế có những tín hiệu là hàm theo nhiều biến độc lập. Ví dụ như tín
- 1 -
Chương I
hiệu ảnh (image)- là sự thay đổi của cường độ ánh sáng theo không gian, có thể xem là hàm
độ sáng theo hai biến không gian.
Tất cả các tín hiệu đều do một nguồn nào đó tạo ra, theo một cách thức nào đó. Ví dụ tín hiệu
tiếng nói được tạo ra bằng cách ép không khí đi qua dây thanh âm. Một bức ảnh có được
bằng cách phơi sáng một tấm phim chụp một cảnh/ đối tượng nào đó. Quá trình tạo ra tín
hiệu như vậy thường liên quan đến một hệ thống, hệ thống này đáp ứng lại một kích thích
nào đó. Trong tín hiệu tiếng nói, hệ thống là hệ thống phát âm, gồm môi, răng, lưỡi, dây
thanh... Kích thích liên quan đến hệ thống được gọi là nguồn tín hiệu (signal source). Như
vậy ta có nguồn tiếng nói, nguồn ảnh và các nguồn tín hiệu khác.
Có thể định nghĩa hệ thống (system) là một thiết bị vật lý thực hiện một tác động nào đó lên
tín hiệu. Ví dụ, bộ lọc dùng để giảm nhiễu trong tín hiệu mang tin được gọi là một hệ thống.
Khi ta truyền tín hiệu qua một hệ thống, như bộ lọc chẳng hạn, ta nói rằng ta đã xử lý tín hiệu
đó. Trong trường hợp này, xử lý tín hiệu liên quan đến lọc nhiễu ra khỏi tín hiệu mong muốn.
Như vậy, xử lý tín hiệu (signal processing) là ý muốn nói đến một loạt các công việc hay các
phép toán được thực hiện trên tín hiệu nhằm đạt một mục đích nào đó, như là tách lấy tin tức
chứa bên trong tín hiệu hoặc là truyền tín hiệu mang tin từ nơi này đến nơi khác.
Ở đây ta cần lưu ý đến định nghĩa hệ thống, đó không chỉ đơn thuần là thiết bị vật lý mà còn
là các phần mềm xử lý tín hiệu hoặc là sự kết hợp giữa phần cứng và phần mềm.Ví dụ khi xử
lý số tín hiệu bằng các mạch logic, hệ thống xử lý ở đây là phần cứng. Khi xử lý bằng máy
tính số, tác động lên tín hiệu bao gồm một loạt các phép toán thực hiện bởi chương trình
phần mềm. Khi xử lý bằng các bộ vi xử lý- hệ thống bao gồm kết hợp cả phần cứng và phần
mềm, mỗi phần thực hiện các công việc riêng nào đó.
1.2 PHÂN LOẠI TÍN HIỆU
Các phương pháp ta sử dụng trong xử lý tín hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào đặc điểm của tín
hiệu. Có những phương pháp riêng áp dụng cho một số loại tín hiệu nào đó. Do vậy, trước
tiên ta cần xem qua cách phân loại tín hiệu liên quan đến những ứng dụng cụ thể.
1.2.1 Tín hiệu nhiều hướng và tín hiệu nhiều kênh
Như đã nói trong mục 1.1, tín hiệu có thể được mô tả là hàm theo một hoặc nhiều biến độc
lập. Nếu tín hiệu là hàm theo một biến, ta gọi đó là các tín hiệu một hướng (one-dimention
signal), như tín hiệu tiếng nói, ECG, EEG. Ngược lại ta gọi là tín hiệu nhiều hướng (multi-
dimention signal), ví dụ như tín hiệu ảnh trắng đen, mỗi điểm ảnh là hàm theo 2 biến độc lập.
y
I(x1,y1)
y1
x
x1
Hình 1.2 Ví dụ tín hiệu ảnh màu (2 hướng- 3 kênh)
- 2 -
Chương I
Trong một số ứng dụng, tín hiệu được tạo ra không phải từ một mà là nhiều nguồn hay nhiều
bộ cảm biến. Các tín hiệu như vậy được gọi là tín hiệu đa kênh (multi-channel signal). Bức
ảnh trên hình 1.2 là một ví dụ về tín hiệu 2 hướng, 3 kênh. Ta thấy độ sáng I(x,y) ở mỗi một
điểm là hàm theo 2 biến không gian độc lập, độ sáng này lại phụ thuộc vào độ sáng của 3
màu cơ bản red, green và blue. Một ví dụ khác, tín hiệu ảnh TV màu là tín hiệu 3 hướng- 3
kênh, có thể biểu diễn bởi vector sau :
⎡
⎢
⎤
⎥
⎥
Ir (x, y,t)
I(x,y,t) = Ig (x,y,t)
⎢
⎢
⎥
Ib (x, y,t)
⎣
⎦
Trong giáo trình này, ta tập trung xét tín hiệu một hướng- một kênh, biến là biến thời gian
(mặc dù thực tế không phải lúc nào biến cũng là biến thời gian)
1.2.2 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc
Tín hiệu liên tục (continuous-time signal) hay còn gọi là tín hiệu tương tự là tín hiệu được
xác định tại tất cả các giá trị thời gian. Về mặt toán học, có thể mô tả tín hiệu này là hàm của
một biến liên tục, ví dụ tín hiệu tiếng nói.
Tín hiệu rời rạc (discrete-time signal) chỉ được xác định tại một số thời điểm nào đó.
Khoảng cách giữa các thời điểm này không nhất thiết phải bằng nhau, nhưng trong thực tế
thường là lấy bằng nhau để dễ tính toán. Có thể tạo ra tín hiệu rời rạc từ tín hiệu liên tục bằng
2 cách. Một là lấy mẫu tín hiệu liên tục, hai là đo hay đếm một đại lượng vật lý nào đó theo
một chu kỳ nhất định, ví dụ cân em bé hàng tháng, đo áp suất không khí theo giờ...
Tín hiệu x(tn ) = e− tn , n = 0,±1,±2,±3,... là một ví dụ về tín hiệu rời rạc. Ta có thể dùng
biến nguyên n thay cho biến thời gian rời rạc tn. Lúc này, tín hiệu trở thành một hàm theo
biến nguyên, về mặt toán ta có thể biểu diễn tín hiệu rời rạc là một dãy số (thực hoặc phức).
Ta sử dụng ký hiệu x(n) thay cho x(tn), nghĩa là tn = nT với T là hằng số- khoảng cách giữa
hai thời điểm rời rạc cạnh nhau. Hình 1.3 là một ví dụ về tín hiệu tiếng nói rời rạc.
Hình 1.3 Ví dụ tín hiệu rời rạc
1.2.3 Tín hiệu biên độ liên tục và tín hiệu biên độ rời rạc
Biên độ của cả tín hiệu liên tục và rời rạc đều có thể liên tục hay rời rạc.
Nếu tín hiệu có tất cả các giá trị trong một dải biên độ nào đó thì ta gọi đó là tín hiệu biên độ
liên tục (continuous-valued signal). Ngược lại, nếu tín hiệu chỉ lấy một số giá trị nào đó (còn
gọi là mức) trong một dải biên độ thì đó là tín hiệu biên độ rời rạc (discrete-valued signal).
- 3 -
Chương I
Khoảng cách giữa các mức biên độ này có thể bằng nhau hay không bằng nhau. Thường thì
ta biểu diễn các mức biên độ này bằng một số nguyên, đó là bội số của khoảng cách giữa hai
mức biên độ cạnh nhau. Tín hiệu rời rạc theo cả thời gian và biên độ được gọi là tín hiệu số
(digital signal). Hình 1.4 là một ví dụ về tín hiệu số.
Hình 1.4 Ví dụ tín hiệu số với 6 mức biên độ khác nhau
Để xử lý tín hiệu, trước hết phải thu lấy được tín hiệu. Ví dụ ta thu lấy tín hiệu âm thanh bằng
microphone, chuyển đổi tín hiệu âm thanh sang tín hiệu điện. Hay như tín hiệu ảnh, ta có thể
thu lấy bằng máy ảnh. Trong máy ảnh tương tự chẳng hạn, tín hiệu ánh sáng điều khiển các
phản ứng hóa học trên một tấm phim ảnh. Về bản chất, các tín hiệu tự nhiên đều là tương tự,
có số mức biên độ và số thời điểm đều là vô hạn. Do vậy, tín hiệu tương tự không phù hợp để
xử lý bằng các hệ thống số. Để xử lý số, tín hiệu tương tự được lấy mẫu vào các thời điểm rời
rạc, tạo thành tín hiệu rời rạc, sau đó lượng tử hóa biên độ của nó thành một tập các mức biên
độ rời rạc. Quá trình lượng tử hóa (quantization) tín hiệu, về cơ bản là một quá trình xấp xỉ
hóa. Nó có thể được thực hiện dễ dàng bằng cách làm tròn hay cắt gọt. Ví dụ tín hiệu có giá
trị là 8.62 có thể được xấp xỉ hóa thành 8 (nếu lượng tử hóa bằng cách cắt gọt) hay là 9 (nếu
lượng tử hóa bằng cách làm tròn)
1.2.4 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên
Quá trình phân tích toán học và xử lý tín hiệu yêu cầu phải mô tả được tín hiệu. Sự mô tả này
liên quan đến một mô hình tín hiệu. Dựa vào mô hình tín hiệu, ta có một cách phân loại tín
hiệu khác.
Các tín hiệu có thể được mô tả duy nhất bằng một biểu diễn toán học rõ ràng như là đồ thị,
bảng dữ liệu... được gọi là tín hiệu xác định (deterministic signal). Từ “xác định” ý muốn
nhấn mạnh là ta biết rõ và chắc chắn các giá trị của tín hiệu trong quá khứ, hiện tại và tương
lai.
Tuy nhiên trong nhiều ứng dụng thực tế, có những tín hiệu không thể biểu diễn chính xác
bằng các công thức toán học hay những mô tả toán như vậy là quá phức tạp. Ta không thể
đoán trước sự biến thiên của các giá trị của loại tín hiệu này. Ta gọi đây là tín hiệu ngẫu
nhiên (random signal). Ví dụ tín hiệu nhiễu là tín hiệu ngẫu nhiên.
Ta cần lưu ý rằng việc phân loại tín hiệu thực thành xác định hay ngẫu nhiên không phải lúc
nào cũng rõ ràng. Đôi khi, xem tín hiệu là xác định hay ngẫu nhiên đều dẫn đến những kết
quả có ý nghĩa. Nhưng đôi khi, việc phân loại sai sẽ dẫn đến kết quả bị lỗi, bởi vì có những
công cụ toán chỉ có thể áp dụng cho tín hiệu xác định, trong khi các công cụ khác lại chỉ áp
dụng cho tín hiệu ngẫu nhiên. Điều này sẽ trở nên rõ ràng hơn khi ta kiểm tra các công cụ
toán cụ thể.
1.3 HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU
1.3.1 Các khâu cơ bản trong một hệ thống xử lý số tín hiệu
Như đã nói trên, hầu hết các tín hiệu bắt gặp trong khoa học và kỹ thuật đều là tương tự. Có
thể xử lý trực tiếp các tín hiệu đó bằng một hệ thống tương tự thích hợp. Trong trường hợp
- 4 -
Chương I
này, ta nói tín hiệu được xử lý trực tiếp ở dạng tương tự, như minh họa trên hình 1.5. Cả tín
hiệu vào và ra đều là tín hiệu tương tự.
T/h tương
tự vào
T/h tương
tự ra
Bộ xử lý tín
hiệu tương tự
Hình 1.5 Xử lý tín hiệu tương tự
Xử lý số là một phương pháp khác để xử lý tín hiệu tương tự, như minh họa trên hình 1.6.
Tín hiệu tương tự phải được chuyển đổi thành dạng số (A/D) trước khi xử lý. Điều không
may là quá trình chuyển đổi tương tự/ số này không bao giờ hoàn hảo, nghĩa là tín hiệu số
không phải là biểu diễn chính xác cho tín hiệu tương tự ban đầu. Khi tín hiệu tương tự được
chuyển thành tín hiệu số gần đúng nhất, quá trình xử lý sẽ được thực hiện bằng một bộ xử lý
tín hiệu số DSP (Digital Signal Processor), tạo ra một tín hiệu số mới. Trong hầu hết các ứng
dụng, tín hiệu số cần được chuyển đổi ngược lại thành tín hiệu tương tự (D/A) ở cuối quá
trình xử lý. Tuy nhiên, cũng có những ứng dụng liên quan đến phân tích tín hiệu, trong đó
không cần chuyển đổi D/A. Hình 1.6 là sơ đồ khối một hệ thống xử lý tín hiệu bằng phương
pháp số. Bộ xử lý tín hiệu số DSP có thể là một mạch logic, một máy tính số hoặc là một bộ
vi xử lý lập trình được.
T/h tương
tự vào
Bộ chuyển
đổi A/D
Bộ xử lý tín
hiệu số DSP
Bộ chuyển
đổi D/A
T/h tương
tự ra
T/h số vào
T/h số ra
Hình 1.6 Xử lý số tín hiệu
1.3.2 Ưu điểm của xử lý số so với xử lý tương tự
Có nhiều nguyên nhân khác nhau khiến cho xử lý số được ưa chuộng hơn là xử lý trực tiếp
tín hiệu tương tự. Trước tiên, hệ thống số có thể lập trình được, tạo ta tính mềm dẻo trong
việc cấu hình lại các hoạt động xử lý bằng cách đơn giản là thay đổi chương trình, trong khi
đó để cấu hình lại hệ tương tự, ta phải thiết kế lại phần cứng, rồi kiểm tra và thẩm định xem
các hoạt động đó có đúng không.
Độ chính xác cũng đóng một vai trò qua trọng trong việc lựa chọn bộ xử lý tín hiệu. Độ sai
lệch của các linh kiện tương tự khiến cho các nhà thiết kế hệ thống vô cùng khó khăn trong
việc điều khiển độ chính xác của hệ thống tương tự. Trong khi đó, việc điều khiển độ chính
xác của hệ thống số lại rất dễ dàng, chỉ cần ta xác định rõ yêu cầu về độ chính xác rồi quyết
định lựa chọn các bộ chuyển đổi A/D và DSP có độ dài từ thích hợp, có kiểu định dạng dấu
phẩy tĩnh hay dấu phẩy động.
Tín hiệu số dễ dàng lưu trữ trên các thiết bị băng đĩa từ mà không bị mất mát hay giảm chất
lượng. Như vậy tín hiệu số có thể truyền đi xa và có thể được xử lý từ xa. Phương pháp xử lý
số cũng cho phép thực hiện các thuật toán xử lý tín hiệu tinh vi phức tạp hơn nhiều so với xử
lý tương tự, nhờ việc xử lý được thực hiện bằng phần mềm trên các máy tính số.
Trong một vài trường hợp, xử lý số rẻ hơn xử lý tương tự. Giá thành thấp hơn là do các phần
cứng số rẻ hơn, hoặc là do tính mềm dẻo trong xử lý số.
Tuy nhiên, xử lý số cũng có một vài hạn chế. Trước tiên là sự hạn chế về tốc độ hoạt động
của các bộ chuyển đổi A/D và bộ xử lý số DSP. Sau này ta sẽ thấy những tín hiệu băng thông
- 5 -
Chương I
cực lớn yêu cầu tốc độ lấy mẫu của bộ A/D cực nhanh và tốc độ xử lý của DSP cũng phải
cực nhanh. Vì vậy, phương pháp xử lý số chưa áp dụng được cho các tín hiệu tương tự băng
thông lớn.
Nhờ sự phát triển nhanh chóng của công nghệ máy tính và công nghệ sản xuất vi mạch mà
lĩnh vực xử lý tín hiệu số (DSP) phát triển rất mạnh trong vài thập niên gần đây. Ứng dụng
của DSP ngày càng nhiều trong khoa học và công nghệ. DSP đóng vai trò quan trọng trong
sự phát triển của các lĩnh vực như viễn thông, đa phương tiện, y học, xử lý ảnh và tương tác
người-máy...
Để thấy rõ ảnh hưởng to lớn của xử lý tín hiệu số, ta xem ví dụ về sự phát triển của máy ảnh,
từ máy ảnh tương tự truyền thống đến máy ảnh số ngày nay. Máy ảnh truyền thống hoạt động
dựa trên các đặc điểm vật lý của thấu kính quang học, trong đó chất lượng bức ảnh càng đẹp
khi hệ thống thấu kính càng to và rộng. Khi máy ảnh số mới ra đời với thấu kính nhỏ hơn thì
chất lượng ảnh chụp thấp hơn nhiều so với tương tự. Tuy nhiên, khi năng lực xử lý của các
bộ vi xử lý mạnh hơn và các thuật toán xử lý tín hiệu số tinh vi hơn được áp dụng thì các
nhược điểm về quang học được khắc phục và chất lượng ảnh được cải thiện rõ rệt. Hiện nay,
các máy ảnh số cho chất lượng ảnh vượt trội hơn so với tương tự. Hơn nữa, các máy ảnh số
cài trong điện thoại di động hiện nay có thấu kính rất nhỏ nhưng vẫn có thể cho chất lượng
ảnh rất tốt. Chất lượng ảnh ở đây phụ thuộc vào năng lực của DSP chứ không phải phụ thuộc
vào kích thước của thấu kính quang học. Nói cách khác, công nghệ máy ảnh số đã sử dụng
năng lực tính toán của DSP để khắc phục các hạn chế về vật lý.
Tóm lại, DSP là một lĩnh vực dựa trên nguyên ý của toán học, vật lý và khoa học máy tính và
có những ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
1.4 KHÁI NIỆM TẦN SỐ TRONG TÍN HIỆU LIÊN TỤC VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC
Từ vật lý chúng ta biết rằng tần số liên quan chặt chẽ với kiểu chuyển động có chu kỳ gọi là
dao động và được mô tả bằng hàm sin. Khái niệm tần số liên quan trực tiếp đến khái niệm
thời gian. Thực tế thì tần số có thứ nguyên là đảo ngược của thời gian. Do vậy bản chất của
thời gian (liên tục hoặc rời rạc) sẽ có ảnh hưởng đến bản chất của tần số.
1.4.1 Tín hiệu sin liên tục
Một dao động điều hòa đơn giản được mô tả toán học bằng hàm sin liên tục sau:
xa (t) = Acos(Ωt+θ), -∞<t<∞
Tín hiệu này được xác định bởi 3 thông số: A là biên độ, Ω là tần số góc tính bằng radian trên
giây (rad/s) và θ là góc pha tính bằng radian (rad) (hình 1.7). Thay vì dùng Ω, ta có thể dùng
F tính bằng số chu kỳ trên giây hay hertz (Hz), ở đây: Ω = 2πF . Vậy ta có thể viết lại:
xa (t) = Acos(2πFt+θ), -∞<t<∞
xa(t)
Tp = 1/F
Acosθ
t
-A
Hình 1.7 Tín hiệu sin liên tục
- 6 -
Chương I
Tín hiệu sin liên tục ở trên có các đặc điểm sau đây:
1. Với F cố định, tín hiệu sin liên tục xa(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là Tp = 1/F,
nghĩa là ta luôn luôn có:
xa (t + Tp ) = xa (t), − ∞ < t < ∞
2. Các tín hiệu sin liên tục có tần số khác nhau thì khác nhau.
3. Việc tăng tần số sẽ dẫn đến tăng tốc độ của dao động của tín hiệu, tức là tăng số chu
kỳ dao động trong một khoảng thời gian cho trước. Vì thời gian t liên tục nên ta có
thể tăng F đến vô cùng.
Ta cũng có thể biểu diễn tín hiệu sin liên tục ở một dạng khác, thường được gọi là phasor như
sau:
A
A
xa (t) = Acos(Ωt+θ)= ej(Ωt+θ ) + e− j(Ωt+θ )
2
2
Theo cách biểu diễn phasor, có thể xem tín hiệu sin liên tục là tổng của 2 tín hiệu điều hòa
hàm mũ phức có biên độ bằng nhau và liên hợp phức với nhau, tần số góc ở đây là ±Ω: tần số
dương và âm. Để thuận tiện về mặt toán, ta sử dụng cả khái niệm tần số dương và âm. Vậy
dải tần số của tín hiệu liên tục là −∞ < F < ∞ .
1.4.2 Tín hiệu sin rời rạc
Tín hiệu sin rời rạc được biểu diễn như sau:
x(n) = Acos(ωn+θ), -∞<n<∞
ở đây n là biến nguyên gọi là số mẫu, A là biên độ, ω là tần số góc tính bằng radian trên mẫu
(rad/mẫu) và θ là góc pha tính bằng radian (rad).
Thay vì dùng ω, ta có thể dùng tần số f với quan hệ: ω = 2πf . Ta viết lại x(n) như sau:
x(n) = Acos(2πfn+θ), -∞<n<∞
Tần số f có thứ nguyên là chu kỳ trên mẫu (chu kỳ/mẫu). Tạm thời bây giờ chúng ta chưa xét
đến mối quan hệ giữa F và f, ta xem như tín hiệu sin rời rạc là độc lập với tín hiệu sin liên
tục. Hình 1.8 là biểu diễn tín hiệu sin rời rạc với ω = π /6 (rad/mẫu) và pha θ = π /3(rad).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-10
-5
0
5
10
15
Hình 1.8 Tín hiệu sin rời rạc
Khác với tín hiệu sin liên tục, tín hiệu sin rời rạc có các đặc điểm sau đây:
1. Tín hiệu sin rời rạc tuần hoàn khi và chỉ khi tần số f là một số hữu tỷ.
Từ định nghĩa, tín hiệu rời rạc x(n) tuần hoàn với chu kỳ N (N>0) khi và chỉ khi
- 7 -
Chương I
x(n + N) = x(n) ∀n
Giá trị N nhỏ nhất được gọi là chu kỳ cơ bản.
Giả sử tín hiệu sin rời rạc tần số f0 tuần hoàn, ta có:
cos[2πf0 (n+N)+θ]=cos(2πf0n+θ)
Quan hệ này chỉ đúng khi tồn tại một số nguyên k sao cho:
k
2πf0N = 2kπ ⇔ f0 =
N
Theo đây, ta thấy tín hiệu sin rời rạc chỉ tuần hoàn khi f0 có thể biểu diễn dưới dạng tỷ
của hai số nguyên, nghĩa là f0 là một số hữu tỷ.
Để xác định chu kỳ cơ bản của tín hiệu sin rời rạc, ta biểu diễn f0 dưới dạng tỷ của hai số
nguyên k/N, sau đó đưa k/N về dạng phân số tối giản. Lúc đó mẫu số của phân số tối giản
chính là chu kỳ cơ bản. Ví dụ f1 = 31/50, nghĩa là N1 = 50 hay N2 = 25/50 = 1/2 nghĩa là
N2 = 2.
2. Các tín hiệu sin rời rạc có tần số khác nhau một bội số nguyên lần 2π thì trùng nhau.
Ta xét tín hiệu sin rời rạc x(n) = cos(ω0n+θ) . Dễ dàng nhận thấy rằng:
x(n) = cos[(ω0 +2π )n+θ]=cos(ω0n+2πn+θ)=cos(ω0n+θ)
Vậy tất cả các tín hiệu sin rời rạc có dạng:
xk (n) = cos(ωkn+θ), k = 0,1,2,...
với
ωk = ω0 + 2kπ, −π ≤ ω0 ≤ π
đều trùng nhau. Nói cách khác, các tín hiệu sin rời rạc có tần số nằm trong dải
1
−π ≤ ω ≤ π hay − 12 ≤ f ≤ thì mới khác biệt nhau. Vì lý do đó nên ta gọi những tín
2
hiệu sin rời rạc có tần số nằm ngoài dải [-π,π ] là phiên bản (alias) của những tín hiệu
rời rạc có tần số nằm trong dải [-π,π ] tương ứng. Dải tần −π ≤ ω ≤ π được gọi là dải cơ
bản. Nói rộng hơn, dải cơ bản là dải tần số có bề rộng là 2π. Như vậy, dải cơ bản cũng có
thể là dải 0 ≤ ω ≤ 2π , π ≤ ω ≤ 3π ... Nhưng thực tế thường chọn dải cơ bản là:
−π ≤ ω ≤ π hay là 0 ≤ ω ≤ 2π
3. Tốc độ cao nhất của tín hiệu sin rời rạc đạt được khi ω = π hay ω = −π , tương
1
đương với f = hay f = − 12
2
Ta có thể thấy rõ điều này qua ví dụ minh họa với tín hiệu x(n) = cosω0n . Lần lượt cho
π π π
ω0 = 0, , , ,π ta có chu kỳ tương ứng là N = ∞,16,8,4,2. Ta thấy chu kỳ giảm khi
8 4 2
tần số tăng, tức là tốc độ dao động của tín hiệu tăng.
1.4.3 Tín hiệu điều hòa hàm mũ phức
Cũng như tín hiệu sin điều hòa, tín hiệu điều hòa hàm mũ phức đóng một vai trò quan trọng
trong phân tích tín hiệu và hệ thống. Trong phần này chúng ta xét tín hiệu điều hòa hàm mũ
phức trong cả miền thời gian liên tục và rời rạc.
- 8 -
Chương I
1. Tín hiệu điều hòa hàm mũ phức liên tục
Xét tín hiệu sau:
sk (t) = ejkΩ t = ejk2πF t k = 0,±1,±2...
0
0
Lưu ý rằng với mỗi k, tín hiệu sk(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là 1/(kF0) = Tp/k và chu kỳ
chung là Tp. Khi k khác nhau thì tín hiệu sk (t) cũng khác nhau.
Từ sk (t), ta có thể tổ hợp tuyến tính các tín hiệu sk(t) lại với nhau để tạo thành một tín hiệu
tuần hoàn xa(t) với chu kỳ cơ bản là Tp = 1/F0 như sau:
∞
∞
c ejkΩ t
0
x (t) =
c s (t) =
∑
∑
a
k
k
k
k=−∞
k=−∞
Biểu diễn này được gọi là khai triển Fourier của xa (t), các hằng số phức ck là các hệ số
Fourier và sk(t) là các hài bậc k của xa(t)
2. Tín hiệu điều hòa hàm mũ phức rời rạc
Vì tín hiệu sin rời rạc chỉ tuần hoàn khi tần số là một số hữu tỷ nên ta chọn f0 = 1/N và định
nghĩa tín hiệu điều hòa hàm mũ phức rời rạc là:
sk (n) = ejk2πf n = ejk2πn / N k = 0,±1,±2...
0
Khác với tín hiệu liên tục, ở đây ta thấy:
sk+N (n) = ej2π(k+N)n / N = ej2πnsk (n) = sk (n)
Điều này nghĩa là khi chọn k sai khác nhau một bội số nguyên của N thì sk(n) sẽ trùng nhau,
do đó ta chỉ cần xét với k = n0 đến k = n0 + N -1. Để cho tiện, ta thường chọn n0 = 0. Vậy ta
có:
sk (n) = ejk2πf n = ejk2πn / N k = 0,1,2,..., N −1
0
Theo đó, tín hiệu s(n) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản N có thể khai triển thành chuỗi Fourier
như sau:
N−1
N−1
x(n) = c s (n) = c ej2πkn / N
∑
∑
k
k
k
k=0
k=0
ở đây ck là hệ số Fourier và sk (n) là hài bậc k của x(n).
1.5 BIẾN ĐỔI TƯƠNG TỰ - SỐ (A/D)
Hầu hết các tín hiệu thực tế như tiếng nói, tín hiệu sinh học, tín hiệu địa chấn, radar, sonar,
tín hiệu thông tin như audio, video... đều là tín hiệu tương tự. Để xử lý tín hiệu tương tự bằng
phương pháp số, trước hết phải chuyển tín hiệu tương tự sang dạng số. Quá trình này gọi là
biến đổi A/D.
Quá trình A/D về cơ bản gồm 3 bước như minh họa trong hình 1.9.
T/h tương
tự xa(t)
T/h số
010011...
Lấy mẫu
Lượng tử hóa
Mã hóa
T/h rời rạc x(n)
T/h lượng tử xq(n)
- 9 -
Chương I
Hình 1.9 Bộ chuyển đổi A/D cơ bản
1. Lấy mẫu (sampling) là quá trình chuyển đổi tín hiệu từ liên tục thành rời rạc bằng
cách lấy từng mẫu (sample) của tín hiệu liên tục tại các thời điểm rời rạc. Vậy nếu tín
hiệu xa(t) được đưa vào bộ lấy mẫu thì đầu ra là xa(nT) ≡ x(n) với T là chu kỳ lấy
mẫu. Sau lấy mẫu, tín hiệu liên tục trở thành dãy các giá trị rời rạc và có thể lưu trữ
trong bộ nhớ máy tính để xử lý. Thực tế thì giá trị của tín hiệu tại các thời điểm lấy
mẫu thường được duy trì cho đến mẫu tiếp theo. Do đó quá trình lấy mẫu còn được
gọi là lấy mẫu và giữ mẫu (sample and hold). Có thể nói quá trình lấy mẫu này là cầu
nối giữa thế giới tương tự và thế giới số.
2. Lượng tử hóa (quantization) là quá trình chuyển đổi tín hiệu rời rạc có biên độ liên
tục thành tín hiệu rời rạc có biên độ rời rạc (còn gọi là tín hiệu số). Mỗi mẫu tín hiệu
được biểu diễn bằng một giá trị chọn từ trong tập hữu hạn các giá trị có thể có. Sự
khác nhau giữa giá trị của mẫu chưa lượng tử hóa x(n) và giá trị của mẫu đã lượng tử
hóa xq(n) gọi là sai số lượng tử hóa (quantization error). Nếu bỏ qua sai số này thì
thuật ngữ tín hiệu rời rạc và tín hiệu số có thể sử dụng thay thế cho nhau.
3. Số hóa (digitization) là quá trình biểu diễn mỗi giá trị rời rạc xq(n) bằng một dãy số
nhị phân b bit.
Hình 1.10 minh họa quá trình biến đổi A/D qua một ví dụ cụ thể.
Hình 1.10 Biến đổi A/D 3 bit
Trong phần này, ta sẽ xét chi tiết quá trình chuyển đổi A/D, gồm lấy mẫu, lượng tử hóa và
mã hóa. Nếu băng thông của tín hiệu tương tự là hữu hạn và tần số lấy mẫu đủ lớn thì việc
lấy mẫu sẽ không làm mất mát tín tức và không làm méo tín hiệu. Trong khi đó, lượng tử hóa
là quá trình xấp xỉ hóa nên sẽ gây méo tín hiệu. Độ méo này phụ thuộc vào số bit b. Số bit
tăng sẽ làm giảm méo nhưng dẫn đến giá thành tăng.
1.5.1 Lấy mẫu tín hiệu tương tự
Như đã giới thiệu ở trên, quá trình lấy mẫu được mô tả bởi quan hệ sau:
- 10 -
Chương I
x(n) ≡ xa(nT)
ở đây x(n) là tín hiệu rời rạc có được bằng cách lấy mẫu tín hiệu tương tự xa(t) vào các thời
điểm cách nhau T giây. Khoảng thời gian T giữa các mẫu cạnh nhau gọi là chu kỳ lấy mẫu và
Fs = 1/T gọi là tốc độ lấy mẫu (mẫu/s) hay tần số lấy mẫu (Hz).
Từ đây suy ra mối quan hệ giữa biến thời gian liên tục t và biến thời gian rời rạc n như sau:
n
t = nT =
F
s
Như vậy cũng sẽ tồn tại một quan hệ giữa biến tần số F (hay Ω) của tín hiệu liên tục và biến
tần số f (hay ω) của tín hiệu rời rạc. Để thiết lập mối quan hệ này, ta xét tín hiệu sin liên tục
sau:
xa (t) = Acos(2πFt+θ)
Lấy mẫu tín hiệu này với tần số Fs = 1/T (mẫu/s), ta được tín hiệu rời rạc sau:
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
2πnF
x (nT) ≡ x(n) = Acos(2πFnT+θ)=Acos
+ θ
a
F
s
So sánh tín hiệu này với tín hiệu sin rời rạc đã xét trong (1.4.2), ta được quan hệ giữa F và f
là quan hệ tuyến tính như sau:
F
f =
F
s
Điều này tương đương với:
ω = ΩT
Tần số f còn được gọi là tần số chuẩn hóa (normalized frequency) hay tần số số. Ta có thể sử
dụng tần số f để tính tần số F (Hz) nếu biết tần số lấy mẫu.
Kết hợp các dải biến thiên của tần số F (hay Ω) và f (hay ω) với quan hệ vừa tìm ra, ta có
bảng tóm tắt 1.1 sau:
Tín hiệu liên tục
Ω = 2πF
Tín hiệu rời rạc
ω = 2πf
[rad/s]
[Hz]
[rad/mẫu]
[chu kỳ/mẫu]
−∞ < Ω < ∞
−∞ < F < ∞
ω = ΩT, f = F/ F
s
−π ≤ ω ≤ π
−1/ 2 ≤ f ≤1/ 2
Ω = ω/T, F = f.F
s
−π/T ≤ Ω ≤ π/T
−F / 2 ≤ F ≤ F / 2
s
s
Bảng 1.1 Quan hệ giữa các biến tần số
- 11 -
Chương I
Từ quan hệ trên, ta thấy điểm khác biệt chính giữa tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc là dải
biến thiên của tần số F và f (hay Ω và ω). Việc lấy mẫu một tín hiệu liên tục chính là sắp xếp
dải tần số vô hạn của biến F (hay Ω) vào dải tần số hữu hạn của biến f (hay ω). Vì tần số cao
nhất của tín hiệu rời rạc là f = ½ (hay ω = π) nên với tần số lấy mẫu là Fs, tần số tương ứng
cao nhất của F và Ω là:
F
1
s
Fmax
=
=
2
2T
π
T
Ωmax = πF =
s
Như vậy, tần số cao nhất của tín hiệu liên tục khi lấy mẫu với tần số Fs là Fmax = Fs /2. Khi
tần số của tín hiệu liên tục lớn hơn tần số Fs /2 thì sẽ xảy ra sự mập mờ (ambiguity)hay còn
gọi là chồng phổ (aliasing). Ta có thể thấy rõ điều này qua ví dụ minh họa sau:
Cho 2 tín hiệu sin khác nhau có tần số lần lượt là 10 Hz và 50 Hz :
x1(t) = cos2π(10)t
x2 (t) = cos2π(50)t
Lấy mẫu 2 tín hiệu này với tần số Fs = 40Hz, tín hiệu rời rạc là :
10
40
50
40
π
n = cos n
2
⎛
⎝
⎞
⎠
x1(n) = cos2π
⎜
⎟
5π
n = cos
2
⎛
⎞
x2 (n) = cos2π
n
⎜
⎝
⎟
⎠
Nhận xét thấy x2 (n) = x1 (n). Như vậy, 2 tín hiệu sin rời rạc này không phân biệt được với
nhau. Ta nói tần số 50 Hz là phiên bản của tần số 10 Hz tại tần số lấy mẫu là 40 Hz.
Ta có thể suy ra tổng quát là tần số (F0 + kFs) (Hz) là phiên bản của tần số F0 (Hz) tại tần số
lấy mẫu là Fs (Hz).
Từ ví dụ trên, ta có thể dễ dàng thấy tần số cao nhất để không xảy ra sự chồng phổ là 20 Hz.
Đây chính là Fs /2 tương ứng với ω = π. Tần số Fs /2 còn được gọi là tần số gập (folding
frequency), vì để xác định tần số phiên bản (lớn hơn Fs / 2), ta có thể chọn Fs / 2 làm điểm
chốt rồi gập (hay phản xạ) tần số phiên bản vào dải cơ sở [0, Fs /2].
Ví dụ 1.1
Cho tín hiệu tương tự:
xa (t) = 3cos100πt
(a) Xác định tần số lấy mẫu nhỏ nhất để tránh chồng phổ
(b) Giả sử tín hiệu trên được lấy mẫu với tần số Fs = 200 Hz, tín hiệu rời rạc sau lấy mẫu
là gì ?
(c) Giả sử tín hiệu trên được lấy mẫu với tần số Fs = 75 Hz, tín hiệu rời rạc sau lấy mẫu
là gì ?
(d) Xác định tần số (0 < F < Fs) của tín hiệu sin mà có các mẫu trùng với các mẫu của
tín hiệu (c)
- 12 -
Chương I
1.5.2 Định lý lấy mẫu
Cho một tín hiệu tương tự, ta chọn tần số lấy mẫu như thế nào ? Để trả lời câu hỏi này, ta
phải có một số thông tin chi tiết về các đặc điểm của tín hiệu được lấy mẫu, bao gồm biên độ,
tần số và pha của các thành phần tần số khác nhau. Tuy nhiên, những thông tin như vậy thì ta
lại không được biết trước. Ta chỉ có thể biết được tần số lớn nhất của một lớp tín hiệu nào đó
(như là lớp tín hiệu tiếng nói, lớp tín hiệu video...). Dựa vào tần số lớn nhất này, ta có thể xác
định được tần số lấy mẫu cần thiết để chuyển tín hiệu từ tương tự sang số.
Vì tần số lớn nhất này có thể thay đổi chút ít trong các tín hiệu cùng lớp (ví dụ tiếng nói của
những người nói khác nhau thì có tần số lớn nhất khác nhau) nên để đảm bảo tần số lớn nhất
không vượt quá Fs /2 (để tránh chồng phổ) thì trước khi lấy mẫu tín hiệu, ta cho nó đi qua
một bộ lọc, lọc bỏ các tần số trên Fs/2. Bộ lọc này được gọi là lọc chống chồng phổ (anti-
aliasing filter)
Từ tần số Fmax đã biết, ta có thể chọn tần số lấy mẫu tương ứng Fs > 2Fmax
Với tần số lấy mẫu như thế này, tất cả các thành phần tần số của tín hiệu tương tự được biểu
diễn dưới dạng các mẫu mà không bị chồng phổ, và do vậy, ta có thể khôi phục lại tín hiệu
tương tự từ các mẫu rời rạc mà không bị méo bằng cách sử dụng một phương pháp nội suy
thích hợp. Công thức nội suy được trình bày trong định lý lấy mẫu như sau :
Nếu tần số cao nhất trong tín hiệu liên tục xa(t) là Fmax và tín hiệu được lấy mẫu với tần số
Fs>2Fmax thì có thể khôi phục chính xác xa(t) từ các mẫu rời rạc xa(nT) bằng cách sử dụng
công thức nội suy sau :
- 13 -
Chương I
∞
sin 2πFmax (t − nT)
2πFmax (t − nT)
x (t) =
x (nT)
a
∑
a
n=−∞
Tần số lấy mẫu Fs = 2Fmax được gọi là tần số Nyquist (do Nyquist tìm ra năm 1928)- là tần số
lấy mẫu nhỏ nhất để tránh chồng phổ.
Chứng minh (xem SGK)
Ví dụ 1.2
Cho tín hiệu tương tự :
xa (t) = 3cos50πt+10sin300πt-cos100πt
Xác định tần số Nyquist.
Ví dụ 1.3
Cho tín hiệu tương tự :
xa (t) = 3cos2000πt+5sin6000πt+10cos12000πt
(a) Xác định tần số Nyquist
(b) Giả sử tín hiệu được lấy mẫu với tốc độ 5000 (mẫu/s), tìm tín hiệu rời rạc có được
sau lấy mẫu
(c) Xác định tín hiệu tương tự ya(t) khôi phục từ tín hiệu rời rạc (giả sử nội suy lý tưởng)
- 14 -
Chương I
1.5.3 Quan hệ giữa phổ của tín hiệu rời rạc và phổ của tín hiệu liên tục
Lấy mẫu tín hiệu tương tự xa(t), về mặt toán học chính là:
xs (t) = xa (t).s(t)
Trong đó xs(t) là tín hiệu sau lấy mẫu, s(t) là dãy xung vuông tuần hoàn chiều cao h, độ rộng
xung là τ, chu kỳ là T và có τ→0, hτ→1. Khai triển Fourier cho dãy s(t) trên rồi lấy giới hạn,
ta được :
τ
T
sin kπ
2π
T
2π
T
∞
∞
jk
t
t
ejk
hτ
T
1
s(t) = lim
τ→0
e
=
∑
∑
τ
Tk=−∞
k=−∞
hτ→1
kπ
T
Vậy có thể biểu diễn tín hiệu rời rạc dưới dạng sau :
2π
T
∞
t
ejk
1
x (t) = x (t)
∑
s
a
T
k=−∞
Từ đây ta tìm được phổ của tín hiệu rời rạc theo công thức biến đổi Fourier như sau :
∞
∞
2π
T
∞
xa (t)e− j(Ω−k )tdt
1
Xs (Ω) = xs (t)e− jΩtdt =
∑
∫
∫
T k=−∞
−∞
k=−∞
∞
∞
1
2π
T
1
⎛
⎝
⎞
=
X Ω − k
=
X Ω − kF
(
)
∑
∑
a
⎜
⎟
⎠
a
s
T k=−∞
T k=−∞
Từ đây ta có kết luận: phổ của tín hiệu rời rạc là xếp chồng tuần hoàn của phổ của tín hiệu
liên tục với chu kỳ là Fs.
Như vậy việc lấy mẫu tín hiệu liên tục tạo ra một dãy mẫu rời rạc trong miền thời gian và
đồng thời cũng có ảnh hưởng trong miền tần số nữa. Hình vẽ 1.11a là phổ 2 phía của tín hiệu
gốc chưa lấy mẫu và hình vẽ 1.11b là phổ của tín hiệu rời rạc được lấy mẫu với 3 tần số lấy
mẫu khác nhau, ở đây W là băng thông của tín hiệu tương tự- cũng chính là tần số cao nhất
Fmax
Qua đây ta thấy các phổ của tín hiệu rời rạc khác nhau khi lấy mẫu với các tần số khác nhau.
Nếu lấy mẫu với tần số trên tần số Nyquist F ≥ 2Fmax = 2W thì các bản copy của phổ gốc
s
(gọi là ảnh phổ) không bị chồng lên nhau. Lúc này ta có thể khôi phục lại tín hiệu gốc ban
đầu từ tín hiệu rời rạc bằng cách cho tín hiệu rời rạc đi qua bộ lọc thông thấp tần số cắt là
F
max = W. Bộ lọc này được gọi là bộ lọc khôi phục hay bộ lọc ảnh phổ (anti-imaging filter).
Nếu lấy mẫu với tần số thấp hơn tần số Nyquist thì các ảnh phổ sẽ bị chồng lên nhau, phổ
tổng là đường nét đứt trên hình 1.11b(iii), lúc này ta không thể khôi phục lại tín hiệu gốc ban
đầu.
Khi tín hiệu là thông dải ( W < F < W2 ), ta không cần lấy mẫu với tần số gấp đôi tần số lớn
1
nhất. Thay vào đó, tần số lấy mẫu phụ thuộc vào băng thông của tín hiệu W2 – W1 cũng như
- 15 -
Chương I
Hçnh 1.11 Phổ của tín hiệu gốc và tín hiệu rời rạc
Hình 1.11 Phổ của tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc
vị trí của phổ trên trục tần số. Tần số lấy mẫu ít nhất là gấp đôi băng thông của tín hiệu. Điều
quan trọng ở đây là phải chọn tần số lấy mẫu sao cho hiện tượng chồng phổ không xảy ra.
Ví dụ 1.4
Cho một tín hiệu liên tục có phổ từ 120-160 kHz. Vẽ phổ 2 phía của tín hiệu rời rạc có được
bằng cách lấy mẫu tín hiệu trên với 3 tần số lấy mẫu khác nhau sau đây :
(a) Fs = 80 kHz
(b) Fs = 100 kHz
(c) Fs = 120 kHz
Tần số lấy mẫu thích hợp là bao nhiêu trong 3 tần số trên ? Giải thích.
- 16 -
Chương I
1.5.4 Lượng tử hóa tín hiệu có biên độ liên tục
Như đã trình bày trên đây, lượng tử hóa chính là biến đổi tín hiệu rời rạc có biên độ liên tục
thành tín hiệu có biên độ rời rạc bằng cách biểu diễn mỗi mẫu x(n) bằng một giá trị xq(n)
chọn từ một tập hữu hạn các giá trị biên độ. Hình 1.12 minh họa hoạt động lượng tử hóa. Qua
đây ta thấy lượng tử hóa gây ra lỗi lượng tử, là sai khác giữa giá trị lượng tử và giá trị thực sự
của mẫu. Gọi eq(n) là sai số lượng tử hóa, ta có :
eq (n) = xq (n) − x(n)
Xq(n)
Mức lượng
tử hóa
Bước lượng
tử hóa
Hình 1.12 Minh họa sự lượng tử hóa
Về mặt toán, lượng tử hóa chính là làm tròn hay cắt gọt các giá trị của các mẫu rời rạc. Gọi
giá trị lượng tử hóa là mức lượng tử hóa, khoảng cách giữa hai mức lượng tử hóa cạnh nhau
là bước lượng tử hóa ∆, sai số lượng tử hóa trong trường hợp làm tròn nằm trong giới hạn là:
∆
2
∆
2
− ≤ eq (n) ≤
Nếu xmin và xmax là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x(n) và L là số mức lượng tử hóa thì :
xmax − xmin
∆ =
L −1
Ta gọi xmax – xmin là dải động của tín hiệu và ∆ là độ phân giải. Lưu ý rằng khi dải động cố
định thì việc tăng số mức lượng tử hóa sẽ làm giảm kích thước bước lượng tử hóa, lỗi lượng
tử hóa giảm và độ chính xác trong chuyển đổi A/D tăng lên.
Về lý thuyết thì lượng tử hóa luôn làm mất mát thông tin. Lý do là tất cả các mẫu có giá trị
- 17 -
Chương I
∆
2
∆
2
nằm trong dải − ≤ x(n) <
đều được lượng tử hóa thành cùng một giá trị.
Chất lượng của tín hiệu ra bộ chuyển đổi A/D được biểu diễn bằng tỷ số tín hiệu trên nhiễu
lượng tử hóa SQNR (signal-to-quantization noise ratio) :
Px
SQNR =
P
q
Trong đó Px là công suất trung bình của tín hiệu liên tục và Pq là công suất trung bình của lỗi
lượng tử hóa.
Giả sử ta xét lượng tử hóa tín hiệu sin liên tục chu kỳ T0.
Công suất trung bình của tín hiệu là :
T0
1
2π
T0
A2
2
Px =
(Acos t)2 dt =
∫
T0
0
Nếu lấy mẫu đúng với định lý lấy mẫu thì lượng tử hóa là quá trình duy nhất gây ra lỗi trong
chuyển đổi A/D. Do đó, ta có thể tính lỗi lượng tử hóa bằng cách lượng tử hóa tín hiệu xa(t)
thay cho tín hiệu rời rạc x(n). Tín hiệu xa(t) hầu như là tuyến tính trong khoảng giữa hai mức
lượng tử hóa cạnh nhau. Lỗi lượng tử hóa là :
eq (t) = xa (t) − xq (t)
như chỉ ra trong hình 1.13.
xa(t)
eq(t)
∆/2
∆
-∆/2
-τ
0
τ
t
-τ 0 τ
t
Hình 1.13 Lỗi lượng tử hóa trong trường hợp lượng tử hóa tín hiệu sin
Công suất lỗi Pq được tính là:
τ
1
1 τ
Pq =
eq2 (t)dt =
eq2 (t)dt
∫
∫
2τ −τ
τ 0
Vì e (t) = ∆ / 2τ t, − τ ≤ t ≤ τ nên ta có:
(
q
2
1 τ
∆
∆
2
⎛
⎜
⎞
⎠
Pq =
t2dt =
⎟
∫
τ 0 2τ
12
⎝
Nếu bộ lượng tử hóa có b bit và dải động là 2A thì ∆ = 2A / 2b . Do đó:
A2 /3
22b
Pq =
- 18 -
Tải về để xem bản đầy đủ
110 trang
20960
Free
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xử lý tín hiệu số", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
File đính kèm:
- bai_giang_xu_ly_tin_hieu_so.pdf
